黑龙江省哈尔滨第九中学2024届高一上数学期末学业水平测试试题含解析

黑龙江省哈尔滨第九中学2024届高一上数学期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（）A. B.C. D.2．已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.3．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积可能等于A. B.C. D.24．16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知，，设，则所在的区间为（是自然对数的底数）（）A. B.C. D.5．已知集合M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，则M∩N=（）A. B.C. D.6．已知为第二象限角，则的值是（）A.3 B.C.1 D.7．如果，，那么（）A. B.C. D.8．函数的定义域是（）A. B.C.R D.9．在平行四边形中，设，，，，下列式子中不正确是（）A. B.C. D.10．设，,下列图形能表示从集合A到集合B的函数图像的是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知幂函数的图象过点，则___________.12．若、是方程的两个根，则__________.13．已知符号函数sgn（x），则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为_____14．对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调递增的；②当时，函数的值域也是，则称是函数的一个“递增黄金区间”.下列函数中存在“递增黄金区间”的是：___________.（填写正确函数的序号）①；②；③；④.15．定义域为上的函数满足，且当时，，若，则a的取值范围是______16．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）求证：用单调性定义证明函数是上的严格减函数；（2）已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.18．已知集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.19．已知直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为6（Ⅰ）若直线l过点（3，1），求原点O关于直线l对称点的坐标；（Ⅱ）是否存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由20．函数的部分图象如图所示.（1）求、及图中的值；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值21．命题p：方程x2+x+m=0有两个负数根；命题q：任意实数x∈R，mx2－2mx＋1>0成立；若p与q都是真命题，求m取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】由条件两边平方可得，代入夹角公式即可得到结果.【题目详解】由，可得：，又是两个单位向量，∴∴∴它们的夹角等于故选C【题目点拨】本题考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，以及已知三角函数求角，清楚向量夹角的范围2、C【解题分析】由，即，分别作出函数和的图象如图，由图象可知表示过定点的直线，当过时，此时两个函数有两个交点，当过时，此时两个函数有一个交点，所以当时，两个函数有两个交点，所以在内有且仅有两个不同的零点，实数的取值范围是，故选C.3、C【解题分析】如果主视图是从垂直于正方体的面看过去，则其面积为1；如果斜对着正方体的某表面看，其面积就变大，最大时，（是正对着正方体某竖着的棱看），面积为以上表面的对角线为长，以棱长为宽的长方形，其面积为，可得主视图面积最小是1，最大是，故选C.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4、A【解题分析】根据指数与对数运算法则直接计算.【题目详解】，所以故选：A.5、B【解题分析】根据集合交集的定义可得所求结果【题目详解】∵，∴故选B【题目点拨】本题考查集合的交集运算，解题的关键是弄清两集合交集中元素的特征，进而得到所求集合，属于基础题6、C【解题分析】由为第二象限角，可得，再结合，化简即可.【题目详解】由题意，，因为为第二象限角，所以，所以.故选：C.7、D【解题分析】根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.【题目详解】因为，所以，故A错误；因为，当时，得，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.【题目点拨】本题考查不等式的性质，属于简单题.8、A【解题分析】显然这个问题需要求交集.【题目详解】对于：，；对于：，；故答案为：A.9、B【解题分析】根据向量加减法计算，再进行判断选择.【题目详解】;;;故选：B【题目点拨】本题考查向量加减法，考查基本分析求解能力，属基础题.10、D【解题分析】从集合A到集合B的函数，即定义域是A，值域为B，逐项判断即可得出结果.【题目详解】因为从集合A到集合B的函数，定义域是A，值域为B；所以排除A,C选项，又B中出现一对多的情况，因此B不是函数，排除B.故选D【题目点拨】本题主要考查函数图像，能从图像分析函数的定义域和值域即可，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由幂函数的解析式的形式可求出和的值，再将点代入可求的值，即可求解.【题目详解】因为是幂函数，所以，，又的图象过点，所以，解得，所以.故答案为：.12、【解题分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由

，运算求得结果【题目详解】、是方程的两个根，，，，，故答案为：13、【解题分析】根据的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合【题目详解】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x=1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即当x＞0时，函数f（x）的零点是；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即当x＜0时，函数f（x）的零点是综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x的零点的集合为：故答案为【题目点拨】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思想、分类讨论思想，是基础题14、②③【解题分析】由条件可得方程有两个实数解，然后逐一判断即可.【题目详解】∵在上单调递增，由条件②可知，即方程有两个实数解；∵x+1=x无实数解，∴①不存在“递增黄金区间”；∵的两根为：1和2，不难验证区间[1，2]是函数的一个“递增黄金区间”；在同一坐标系中画出与的图象如下：由图可得方程有两个根，∴③也存在“递增黄金区间”；在同一坐标系中画出与的图象如下：所以没有实根，∴④不存在.故答案为：②③.15、【解题分析】根据，可得函数图象关于直线对称，当时，，可设，根据，即可求解；【题目详解】解：，的函数图象关于直线对称，函数关于y轴对称，当时，，那么时，，可得，由，得解得：；故答案为.【题目点拨】本题考查了函数的性质的应用及不等式的求解，属于中档题.16、【解题分析】由对数真数大于零可知在上恒成立，利用分离变量的方法可求得，此时结合复合函数单调性的判断可知在上单调递增，由此可确定的取值范围.【题目详解】由题意知：在上恒成立，在上恒成立，在上单调递减，，；当时，单调递增，又此时在上单调递增，在上单调递增，满足题意；实数的取值范围为.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）存在，为；（3）2.【解题分析】(1)先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；假设函数的图像存在对称中心，(2)结合函数的对称性及恒成立问题可建立关于，的方程，进而可求，；(3)由已知代入整理可得，的关系，然后结合恒成立可求的范围，进而可求【小问1详解】设，则，∴，∴函数是上的严格减函数；【小问2详解】假设函数的图像存在对称中心，则恒成立，整理得恒成立，∴，解得，，故函数的对称中心为；【小问3详解】∵对任意,，都存在,及实数，使得，∴，即，∴，∴，∵,，∴,，∵,，∴,,，∴，即，∴，∴，即的最大值为218、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据并集的概念运算可得结果；（2）分类讨论集合是否为空集，根据交集结果列式可得答案.【题目详解】（1）当时，，所以.（2）因为，（i）当，即时，，符合题意；（ii）当时，，解得或.综上所述，实数的取值范围是.【题目点拨】易错点点睛：容易漏掉集合为空集的情况.19、（I）（，）（Ⅱ）直线l的方程为4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0【解题分析】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）．直线l的方程为：，直线l过点（3，1），代入可得．与ab=12联立解得：a，b．即可得出直线l的方程．设原点O关于直线l对称点的坐标为（m，n），利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，可得，与ab=12联立解得a，b即可得出【题目详解】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）直线l的方程为：=1，∵直线l过点（3，1），∴=1与ab=12联立解得：a=6，b=2∴直线l的方程为：=1化为：x+3y-6=0设原点O关于直线l对称点坐标为（m，n），则×=-1，-6=0，化为：m+3n-12=0联立解得m=，n=∴原点O关于直线l对称点的坐标为（，）（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，则=1，与ab=12联立解得：，或可得：直线l的方程，4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0【题目点拨】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20、（1），，；（2），.【解题分析】（1）由可得出，结合可求得的值，由结合可求得的值，可得出函数的解析式，再由以及可求得的值；（2）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可求