《数字信号处理导论-第3章》

3.1连续信号的傅里叶变换3.2抽样定理3.3离散信号的傅里叶变换（DTFT）3.4离散傅里叶级数（DFS）3.5离散傅里叶变换（DFT）3.6用DFT计算线性卷积3.7与DFT有关的几个问题傅立叶变换是信号分析与处理的基本工具第3章离散傅里叶变换

法国数学家、物理学家。1768年生于欧塞尔，1830年5卒于巴黎。1798年随拿破仑远征埃及，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数、傅立叶分析等理论均由此创始。

傅立叶（Fourier,1768-1830）1.连续周期信号(周期为T0)2.连续时间非周期信号3.离散非周期信号4.离散周期信号(周期为N)两门课共整体介绍四种信号的频谱优点：从信号表示的角度引入四种信号的Fourier变换，建立信号Fourier分析的整体概念，有利于比较相互之间的异同点。缺点：难以同时接受四种信号频谱？容易造成混淆？连续周期信号连续非周期信号离散非周期信号离散周期信号离散非周期频谱连续非周期频谱连续周期频谱离散周期频谱两门课共整体介绍四种信号的频谱用DFT对模拟信号作频谱分析过程信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换1.傅立叶级数3.1连续信号的傅立叶变换FS傅立叶系数是第次谐波的系数,所以在频率坐标轴上是离散的，间隔是。2.傅立叶变换：FTFS：若是非周期信号，可以认为：由有频谱密度1.连续离散2.密度强度FTFS

请深刻理解FS和FT的定义，及它们的区别与联系！FT存在的必要条件：说法1：说法2：因为因为所以，如果是绝对可积的，那么它一定是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取更稳妥（即更严格）。周期信号：可以实现傅里叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号；？那么，周期信号可否实现傅里叶变换

在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。周期信号FS例：令求其傅立叶变换。因为：所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：现利用函数将作傅立叶变换：FSFT线谱3.3抽样定理现研究信号抽样的数学模型：请掌握公式的推导！FTDTFT的性质周期延拓，无穷迭加迭加后可能产生的影响离散序列x(n)频谱与抽样间隔Ts之间的关系离散序列x(n)频谱与抽样间隔T之间的关系离散序列x(n)频谱与抽样间隔T之间的关系混叠(aliasing)或要求：若保证相等则要保留全部信息即：抽样频率至少要等于信号最高频率的两倍。此即抽样定理。Nyquist抽样定理，或Shannon抽样定理如何保证？1.做频谱分析，了解的行为；2.使用抗混迭滤波器，限制的范围。：抽样频率；：折迭频率；如果抽样频率不满足要求，将出现频谱的混迭（Aliasing),将无法恢复原信号。

抽样定理的工程应用许多实际工程信号不满足带限条件抗混低通滤波器

混叠误差与截断误差比较抽样定理的工程应用不同抽样频率的语音信号效果比较抽样频率fs=44,100Hz抽样频率fs=5,512Hz抽样频率fs=5,512Hz抽样前对信号进行了抗混叠滤波如何由重建出

工程上：使用D/A转换器；在满足抽样定理的情况下，的一个周期即等于，因此，可截取之。?理论上：导出如下：其余为零插值函数插值公式权重DiscreteTimeFourierTransform,DTFTDTFT3.2离散时间信号的傅里叶变换DTFT和Z变换的关系！（一）定义1.

是离散的，所以变换需要求和；2.是的连续函数；3.是的周期函数，周期为；4.存在的条件是空间（二）特点可以看作是将在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是；5.DTFT7.由可以得到的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频频分析；6.是在单位圆上取值时的变换：8.反变换四种傅立叶变换:时域频域1.连续非周期连续非周期()FT2.连续周期

离散非周期

()FS3.离散非周期连续周期（）DTFT4.离散周期离散周期DFS

？切实理解四种FT之间的对应关系四种傅立叶变换1.线性2.移位3.奇偶、虚实性质（三）性质如果是实信号，即如果是实偶信号，即则是的实函数！4.时域卷积定理则：5.如果则：时域卷积定理频域卷积定理！如果6.时域相关定理互相关：自相关：自相关函数的DTFT始终是的实函数！DTFT7.Parseval’s定理

注意：Parseval’s定理有着不同的表示形式；上述关系只对能量信号成立；：能量谱8.Wiener—Khinchin定理对功率信号，其自相关函数定义为：定义：功率谱说明：1.在内的积分等于信号的功率，所以称为功率谱，同理，为能量谱；2.始终是的实函数；3.相关函数和功率谱是随机信号分析与处理的主要工具，它们都需要靠“估计”得到，这就形成了丰富的“估值理论”。4.典型信号的DTFT例1:低通高通？？（四）应用分析其幅频响应。极零分析法：46例2.信号截短对DTFT的影响注意：所有有限长的信号都应看作一无限长的信号和一矩形窗相乘的结果。关键是对频域的影响。

越大，主瓣越窄函数过零点令：则：是周期的线谱，与卷积后，频谱将发生失真，影响其分辨率(Resolution)卷积的结果是的主瓣对起到了‘平滑’的作用，降低了中谱峰的分辨能力。两个线谱和函数的卷积：窗函数频谱：峰值左、右第一个过零点之间的距离称为主瓣，主瓣外第一个峰值称为边瓣。我们希望主瓣的宽度越小越好，边瓣的幅度越小越好。若想分辨出两个谱峰，数据的长度：是矩形窗主瓣的宽度如何对作频谱分析显然：因为是离散的，故频谱是周期的；因为是周期的，故频谱是离散的；

即：

的频谱应是离散的、且是周期的。但：是功率信号，不能直接作DTFT；3.4离散傅立叶级数（DFS）周期序列?52离散、非周期FS:离散化离散、周期周期：离散、周期?即：是周期的，周期是，间隔是

是周期的，周期是，间隔是所以，各取一个周期，有：此即DFS!DFS中，仍取无穷长，实际上没必要！改为：此即DFT!从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；FT、FS、DTFT、DFS都不符合要求但利用DFS的时域、频域的周期性，各取一个周期，就形成新的变换对：DFT从原理上，和的各自一个周期即可表示完整的序列；但DFT并不是“第五种”傅立叶变换！为什么要由DFS过渡到DFT？

这一对式子，左、右两边都是离散的，有限长，因此可方便地用来实现频谱分析。但使用时，一定要想到，它们均来自DFS,即和都是周期的！3.5离散傅立叶变换（DFT）DFT的图形解释3.5.3Z变换、DTFT、DFT之间的关系关系：3.5.4DFT的性质1.线性

这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且2.的性质a)周期性b)可约性c)共轭对称性d)正交性3.循环移位有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。

为实序列：4.奇、偶、虚、实对称性质复序列纯虚序列？5.Parseval’s定理6.时域循环卷积线性卷积都是点序列当和DFT联系起来时，注意到、

都是以为周期的周期序列。移位时有移进也有移出。

循环卷积定义为：点序列循环卷积定理循环卷积过程：1）补零、换元2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）循环移位5）相乘相加NN…-3-2-101234567…543210111100…10011110011……11110011110…1001111100111110011111000111100011118

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7、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：其中：任意序列可表示成和之和:其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：定义：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：圆周共轭对称序列满足：圆周共轭反对称序列满足：同理：其中：

序列DFT共轭对称性

序列DFT实数序列的共轭对称性纯虚序列的共轭对称性

序列DFT

例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:3.6用DFT计算线性卷积都是非周期如何用DFT来