2022年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷

第1页（共1页）2022年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）下列四个实数中，最大的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．π D．42．（4分）2月4日的北京冬奥会开幕式精彩纷呈，展示了中国人民的文化自信．据估计有约5亿观众收看了北京冬奥会开幕式，在收视率方面超过了往届任何冬奥会．用科学记数法可以把5亿表示成（）A．5×109 B．50×108 C．5×108 D．50×1073．（4分）小竹将正方体小冰块摆成了如图所示的样子．如果小竹从左侧看这堆小冰块，他会看到（）A． B． C． D．4．（4分）点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（3，5） B．（5，3） C．（﹣3，5） D．（﹣3，﹣5）5．（4分）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）A． B． C． D．16．（4分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（）A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70 C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝707．（4分）如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是24，且点B是AC的中点，则k的值为（）A． B．16 C．8 D．8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3．正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝9，AD＝6，BE＝3，则DF的长是（）A． B．4 C． D．310．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝6，∠ACB＝2∠A，CE平分∠ACB交AB于E，D是边BC上的点，且CD：DB＝2：3，AE：EB＝2：1，连结AD交CE于F，连结FB，则△AFB面积的最大值是（）A．4 B． C． D．6二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：x2﹣9＝．12．（5分）一组数据1，2，5，x，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为．13．（5分）若是方程组的解，则一次函数y＝ax+b的图象不经过第象限．14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．15．（5分）如图，正方形ABCD和Rt△CEF，AB＝10，CE＝CF＝6，连接BF，DE，在△CEF绕点C旋转过程中，当∠CDE最大时，S△BCF＝．16．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，已知BE＝2，AB＝AE＝CE，且∠AEF＝∠B，设AB＝x，＝y，则y关于x的函数关系式是．三、解答题（本题有8小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算：；（2）解不等式组：．18．（8分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中m的值为；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为；（3）若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为人；（4）若从校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．19．（8分）如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．（1）△ABC的周长为；（2）如图，点D、P分别是AB与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（3）请在图中画出△ABC的角平分线BE．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（2，0），（4，0），与y轴交于点（0，4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）点（x，y）在该二次函数上．①当y＝时，求x的值；②当m≤x≤m+2时，y的最小值为﹣，求m的取值范围．21．（8分）如图，为测量山高AB，一架无人机在山脚（C处）的正上方（D处），测得山顶（B处）的俯角为30°，若保持飞行高度不变继续行驶2km到达E处，此时测得B，C两处的俯角为45°，60°．（1）求无人机的飞行高度；（2）求山高AB．22．（12分）今年以来，东钱湖旅游市场迎来复苏，接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩东钱湖景区的游客人数一月份为30万人次，三月份为43.2万人次．（1）求二月和三月这两个月中，东钱湖景区游客人数平均每月的增长率；（2）位于东钱湖的福泉山、陶公岛景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：方式1：只购买陶公岛景点，30元/人；方式2：只购买福泉山景点，50元/人；方式3：陶公岛和福泉山联票，76元/人．预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万，为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买陶公岛门票的400人和原计划只购买福泉山门票的600人改为购买联票．①联票价格下降5元，请通过计算预测四月份的门票总收入；②请问：当联票价格下降多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？23．（12分）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是（填序号）；①矩形②菱形③正方形（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“婆氏四边形”；（3）在（2）的条件下，BD＝4，且AB＝DC．①当DC＝2时，求AC的长度；②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．24．（14分）等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β．（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；（2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC＝2∠BAC；（3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM＝2α﹣45°，①求证：GM∥BC，GM＝BC；②请直接写出的值．

2022年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）下列四个实数中，最大的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．π D．4【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜π＜4，∴最大的数是4，故选：D．2．（4分）2月4日的北京冬奥会开幕式精彩纷呈，展示了中国人民的文化自信．据估计有约5亿观众收看了北京冬奥会开幕式，在收视率方面超过了往届任何冬奥会．用科学记数法可以把5亿表示成（）A．5×109 B．50×108 C．5×108 D．50×107【解答】解：5亿＝500000000＝5×108．故选：C．3．（4分）小竹将正方体小冰块摆成了如图所示的样子．如果小竹从左侧看这堆小冰块，他会看到（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看，共有两列，每列的小正方形的个数分别为2，故选：C．4．（4分）点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（3，5） B．（5，3） C．（﹣3，5） D．（﹣3，﹣5）【解答】解：点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（3，5）．故选：A．5．（4分）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）A． B． C． D．1【解答】解：∵四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，∴现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为＝，故选：B．6．（4分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（）A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70 C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70【解答】解：设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，依题意得：10x+5(x﹣1)＝70．故选：A．7．（4分）如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是24，且点B是AC的中点，则k的值为（）A． B．16 C．8 D．【解答】解：连接OB，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作GB⊥x轴于点G，如图所示：∵B是AC的中点，∴＝＝12，根据k的几何意义，S△AOH＝S△BOG＝，∴S△AHC＝S△AOC﹣S△AOH＝24﹣，S△BGC＝S△BOC﹣S△BOG＝12﹣，∵∠AHC＝∠BGC＝90°，∠ACH＝∠BCG，∴△AHC∽△BGC，∵B是AC的中点，∴相似比为1：2，∴面积的比为1：4，即S△BGC：S△AHC＝1：4，∴（12﹣）：（24﹣）＝1：4，解得k＝16．故选：B．8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3．正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，∴4a+b＝1，故错误；④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；故选：B．9．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝9，AD＝6，BE＝3，则DF的长是（）A． B．4 C． D．3【解答】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N，∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，∴BC＝CH＝6，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝6，∠B＝∠CHE＝90°，在△CPH和△CPN中，，∴△CPH≌△CPN（AAS），∴NP＝PH，CH＝CN＝4，∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，∴四边形BCNM是矩形，又∵CN＝CB＝6，∴四边形BCNM是正方形，∴MN＝BM＝6，∴EM＝3，∵EP2＝EM2+PM2，∴（3+NP）2＝32+（6﹣NP）2，∴NP＝2，∵tan∠DCF＝＝，∴＝，∴DF＝3，故选：D．10．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝6，∠ACB＝2∠A，CE平分∠ACB交AB于E，D是边BC上的点，且CD：DB＝2：3，AE：EB＝2：1，连结AD交CE于F，连结FB，则△AFB面积的最大值是（）A．4 B． C． D．6【解答】解：过F点作FN⊥AB于点N，过E点作EM∥BC，交AD于点M，∴△AEM∽△ABD，△EFM∽△CFD，∴AE：AB＝ME：BD，ME：CD＝EF：CF，∵AE：EB＝2：1，AB＝6，∴AE：AB＝2：3，∴AE＝4，∴ME：BD＝2：3，∵CD：DB＝2：3，∴ME＝CD，∴EF＝CF，即EF＝CE，∵CE平分∠ACB交AB于E，∴∠ACB＝2∠ACE，∠ACB＝2∠A，∴∠ACE＝∠A，∴CE＝AE＝4，∴EF＝2，当FN＝EF时，FN最大，即△ABF的面积最大，∴S△ABF的最大值为：，故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．12．（5分）一组数据1，2，5，x，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为4．【解答】解：∵数据1，2，5，x，3，6的众数为5，∴x＝5，则数据为1，2，3，5，5，6，∴这组数据的中位数为＝4，故答案为：4．13．（5分）若是方程组的解，则一次函数y＝ax+b的图象不经过第二象限．【解答】解：由方程组，解得，∵若是方程组的解，∴，∴y＝ax+b＝3a﹣1，∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．故答案为：二．14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB＝＝4．综上所述，BP的长为3或4．15．（5分）如图，正方形ABCD和Rt△CEF，AB＝10，CE＝CF＝6，连接BF，DE，在△CEF绕点C旋转过程中，当∠CDE最大时，S△BCF＝24．【解答】解：如图，作BH⊥CF于H，在△CEF绕点C旋转过程中，点E在以C为圆心，6为半径的圆上，∴当DE为此圆的切线时，∠CDE最大，即DE⊥CE，∴∠DEC＝90°，∴DE＝＝＝8，∵∠ECH＝∠DCB＝90°，∴∠DCE＝∠BCH，在△BCH和△DCE中，，∴△BCH≌△DCE（AAS），∴BH＝DE＝8，∴S△BCF＝×6×8＝24，故答案为：24．16．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，已知BE＝2，AB＝AE＝CE，且∠AEF＝∠B，设AB＝x，＝y，则y关于x的函数关系式是y＝．【解答】解：延长AD与EF的延长线交于点M，如下图，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵四边形ABCD是平行四边形，∵AD∥BC，AD＝BC，∴∠MAE＝∠AEB，∵∠B＝∠AEF，∴∠B＝∠AEB＝∠MAE＝∠MEA，∴△MAE∽△ABE，∴，∵AB＝AE＝EC＝x，BE＝2，∴，∴MA＝，∵AD＝BC＝x+2，∴DM＝AM﹣AD＝﹣x﹣2，∵DM∥CE，∴△DMF∽△CEF，∴，∵，∴y＝，故答案为：y＝．三、解答题（本题有8小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算：；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）原式＝2+1﹣1＝2；（2），由①得：x＞﹣3，由②得：x+1≥3x﹣3，x≤2，∴不等式组的解集是﹣3＜x≤2．18．（8分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有60人，条形统计图中m的值为10；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为96°；（3）若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为850人；（4）若从校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），不了解的人数有：60﹣4﹣30﹣16＝10（人），故答案为：60，10；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝96°；故答案为：96°；（3）根据题意得：1500×＝850（人），答：估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为850人；故答案为：850；（4）由题意列树状图：由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．19．（8分）如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．（1）△ABC的周长为9+；（2）如图，点D、P分别是AB与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（3）请在图中画出△ABC的角平分线BE．【解答】解：（1）由题意AB＝＝5，BC＝4，AC＝＝，∴△ABC的周长＝5+4+＝9+，故答案为：9+；（2）如图，点Q即为所求；（3）如图，线段BE即为所求．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（2，0），（4，0），与y轴交于点（0，4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）点（x，y）在该二次函数上．①当y＝时，求x的值；②当m≤x≤m+2时，y的最小值为﹣，求m的取值范围．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣4），把点（0，4）代入得4＝8a，解得a＝，∴y＝（x﹣2）（x﹣4），∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+4；（2）①当y＝时，则＝x2﹣3x+4，解得x1＝1，x2＝5；故x的值为1或5；②y＝x2﹣3x+4＝（x﹣3）2﹣，∴当x＝3时，函数有最小值﹣，∴当m≤3≤m+2时，即1＜m＜3时，y有最小值﹣，故m的取值范围是1≤m≤3．21．（8分）如图，为测量山高AB，一架无人机在山脚（C处）的正上方（D处），测得山顶（B处）的俯角为30°，若保持飞行高度不变继续行驶2km到达E处，此时测得B，C两处的俯角为45°，60°．（1）求无人机的飞行高度；（2）求山高AB．【解答】解：（1）在Rt△DCE中，∠DEC＝60°，DE＝2km，∴DC＝DEtan60°＝2×＝2（km），∴无人机的飞行高度为2km；（2）延长AB，DE，交于点F，则AF⊥DF，DC＝AF＝2km，设BF＝xkm，在Rt△DFB中，∠FDB＝30°，∴DF＝＝＝xkm，在Rt△EFB中，∠FEB＝45°，∴EF＝＝＝xkm，∵DF﹣EF＝DE，∴x﹣x＝2，∴x＝+1，∴BF＝（+1）km，∴AB＝AF﹣BF＝2﹣（+1）＝（﹣1）km，∴山高AB为（﹣1）km．22．（12分）今年以来，东钱湖旅游市场迎来复苏，接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩东钱湖景区的游客人数一月份为30万人次，三月份为43.2万人次．（1）求二月和三月这两个月中，东钱湖景区游客人数平均每月的增长率；（2）位于东钱湖的福泉山、陶公岛景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：方式1：只购买陶公岛景点，30元/人；方式2：只购买福泉山景点，50元/人；方式3：陶公岛和福泉山联票，76元/人．预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万，为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买陶公岛门票的400人和原计划只购买福泉山门票的600人改为购买联票．①联票价格下降5元，请通过计算预测四月份的门票总收入；②请问：当联票价格下降多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？【解答】解：（1）设每月的增长率为x，由题意得，30（1+x）2＝43.2，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），答：每月的增长率为20%；（2）①当联票价格下降5元，方式1的收入为30×（2﹣0.04×5）＝54（万元），方式2的收入为50×（1﹣0.06×5）＝35（万元），方式3的收入为（76﹣5）×（1+0.04×5+0.06×5）＝106.5（万元），所以四月份的门票总收入为54+35+106.5＝195.5（万元）；②设联票价格下降x元，四月份的门票总收入为y万元，由题意得，y＝30（2﹣0.04x）+50（1﹣0.06x）+（76﹣x）（1+0.04x+0.06x）＝﹣0.1x2+2.4x+186＝﹣0.1（x﹣12）2+200.4．∵a＝﹣0.1＜0，∴当x＝12时，y最大为200.4，答：当联票价格下降12元时，四月份的门票总收入最大，最大值是200.4万元．23．（12分）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是③（填序号）；①矩形②菱形③正方形（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“婆氏四边形”；（3）在（2）的条件下，BD＝4，且AB＝DC．①当DC＝2时，求AC的长度；②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．【解答】（1）解：若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是正方形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°．∴∠ABC＝∠ADC＝90°．∴平行四边形ABCD是矩形．∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD．∴矩形ABCD是正方形．故答案为：③；（2）证明：连接AC，交PD于点G，交BD于点E，如图，∵∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，∴△APD∽△BPC．∴．∵∠APD＝∠BPC＝90°，∴∠APD+∠DPC＝∠BPC+∠DPC．即：∠APC＝∠DPB．∴△APC∽△DPB．∴∠PAC＝∠PDB．∵∠APD＝90°，∴∠PAC+∠PGA＝90°．∵∠PGA＝∠DGE，∴∠PDB+∠DGE＝90°．∴∠GED＝90°．∴AC⊥BD．∵四边形ABCD内接于圆，∴四边形ABCD为“婆氏四边形”；（3）解：①由（2）知：AC⊥BD与点E，设CE＝x，∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AB＝DC，∴BE＝CE＝x．∵BD＝4，∴DE＝4﹣x．∵CE2+DE2＝CD2，∴．解得：x＝．∵当x＝时，BE＝x＝3＞4，∴x＝不合题意，舍去．∴x＝．∴BE＝x＝3﹣．∴DE＝BD﹣BE＝+1．∵△ABE∽△DCE，∴．∴AE＝DE＝3+．∴AC＝AE+CE＝3++＝2+2；②设DC的长度为a，CE＝x，∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AB＝DC，∴BE＝CE＝x．∵BD＝4，∴DE＝4﹣x．∵CE2+DE2＝CD2，∴．∴4x+16﹣a2＝0．∵Δ＝﹣4×4（16﹣a2）≥0，