二面角及其度量

二面角及其度量

一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。

一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。2新授OBA

AB

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。3定义:AB

二面角

－AB－

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB表示方法：三、二面角的画法请同学们把自己的课本打开一定的角度，并改变放法归纳出两种画法：平卧式和直立式

四、二面角的度量

请同学们将书本打开、合上，注意观察这一过程中两个面的相对位置

发现：各二面角的“开合程度”，即大小不一样

想一想：该怎样度量二面角的大小呢？还用量角器吗？

lOO1ABA1B1∠AOB∠A1O1B1？

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角9二面角的大小用它的平面角来度量度量：二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10

lOAB作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明

1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”16

我们可以用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量。①方向向量法

将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为其中ABDCLBA二面角的度量ll二面角的度量二面角的范围：②法向量法注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角例1．如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm,AC=6cm，BD=8cm，CD=cm，求这个二面角的度数。2.(变式)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD例2．已知：二面角α－l－β的度数为θ(0≤θ≤)，在α面内有△ABC，它在β内的射影为△A’BC，它们的面积分别为S，S’，求证：S’=Scosθ.证明：不妨假定△ABC的边BC在l上，作BC边的高AD，AD在β内的射影为A’D，根据正射影的性质，知A’D=ADcosθ，

S’=BC×A’D

=BC×ADcosθ=Scosθ.例4．已知E,F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角C－D1B1－B的大小。60°（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角C－D1B1－B的大小。例5.正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。CADBC1B1A1解法一(方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,

则故则可设=1，，则B(0,1,0)

yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小在中，

由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE解法二（法向量）同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz

在坐标平面yoz中

设面的一个法向量为同法一，可求B(0,1,0)∴可取＝(1,0,0)为面的法向量

∴yxzCADBC1B