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文档简介

二面角及其度量

一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中的每一部分都叫做半平面。

一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分,其中的每一部分都叫做射线。2新授OBA

AB

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。3定义:AB

二面角

-AB-

l二面角

-l-

二面角C-AB-DABCD5OBA∠AOB表示方法:三、二面角的画法请同学们把自己的课本打开一定的角度,并改变放法归纳出两种画法:平卧式和直立式

四、二面角的度量

请同学们将书本打开、合上,注意观察这一过程中两个面的相对位置

发现:各二面角的“开合程度”,即大小不一样

想一想:该怎样度量二面角的大小呢?还用量角器吗?

lOO1ABA1B1∠AOB∠A1O1B1?

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角9二面角的大小用它的平面角来度量度量:二面角的平面角必须满足:3)角的边都要垂直于二面角的棱1)角的顶点在棱上2)角的两边分别在两个面内

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10

lOAB作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角的计算:1、找到或作出二面角的平面角2、证明

1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”16

我们可以用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量。①方向向量法

将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角。如图,设二面角的大小为其中ABDCLBA二面角的度量ll二面角的度量二面角的范围:②法向量法注意法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角例1.如图,在一个二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB,AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,CD=cm,求这个二面角的度数。2.(变式)如图,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.BACD例2.已知:二面角α-l-β的度数为θ(0≤θ≤),在α面内有△ABC,它在β内的射影为△A’BC,它们的面积分别为S,S’,求证:S’=Scosθ.证明:不妨假定△ABC的边BC在l上,作BC边的高AD,AD在β内的射影为A’D,根据正射影的性质,知A’D=ADcosθ,

S’=BC×A’D

=BC×ADcosθ=Scosθ.例4.已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点,求:(1)A1D与EF所成角的大小;(2)A1F与平面B1EB所成角的大小;(3)二面角C-D1B1-B的大小。60°(2)A1F与平面B1EB所成角的大小;(3)二面角C-D1B1-B的大小。例5.正三棱柱中,D是AC的中点,当时,求二面角的余弦值。CADBC1B1A1解法一(方向向量):如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a,侧棱长为b,

则故则可设=1,,则B(0,1,0)

yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F,则〈〉即为二面角的大小在中,

由于且,所以在中,同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE解法二(法向量)同法一,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz

在坐标平面yoz中

设面的一个法向量为同法一,可求B(0,1,0)∴可取=(1,0,0)为面的法向量

∴yxzCADBC1B

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