专题08函数的图象-《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》

专题08函数的图象【热点聚焦】高考对函数图象的考查，主要有作图、识图、用图，考查数形结合思想的应用.命题形式有基本初等函数的图象、由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、方程问题、不等式问题等，常见的函数图象应用命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质等．常常与导数结合考查.【重点知识回眸】一.幂函数、指数函数、对数函数的图象1.五种幂函数的图象2．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．4．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．二．利用描点法作函数的图象描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描点、连线．三．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减．(2)对称变换(3)伸缩变换(4)翻转变换（5）图象变换的策略（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求②横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化例如：可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位③纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行例如：有两种方案方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）四.常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq\f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．【典型考题解析】热点一基本初等函数的图象【典例1】（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【典例2】（浙江·高考真题（文））在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【典例3】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断．【详解】当时，A正确；当时，B正确；当时，D正确；当时，无此选项．故选：ABD．热点二作函数的图象【典例4】（2021·全国·高考真题（文））已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【总结提升】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．热点三图象的变换【典例5】（2022·全国·高三专题练习）函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.【典例6】（四川·高考真题（文））函数的图象可能是

()A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】对进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案.【详解】①当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则A错误；又时，，则函数过点，故B错误；②当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则D错误；又时，，则函数过点，故C正确；故选：C【规律方法】1．平移变换当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．2．对称(翻折)变换y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．热点四函数图象的辨识【典例7】（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.【典例8】（2022·天津·高考真题）函数的图象为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，，则函数为奇函数，排除CD选项；当时，，排除B选项.故选：A.【典例9】（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.【总结提升】辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．热点五：从图象到解析式【典例10】（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.【典例11】（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，当时，，与图象不符，排除C.故选：D.【总结提升】1.根据图象找解析式，一般先找差异，再验证.2．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．热点六：函数图象的应用【典例12】（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.【典例13】（2017·天津·高考真题（文））已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【详解】满足题意时的图象恒不在函数下方，当时，函数图象如图所示，排除C,D选项；当时，函数图象如图所示，排除B选项，本题选择A选项.【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知得出函数是周期函数，周期为2，函数的零点个数转化为函数的图象与的图象的交点个数，作出函数的图象（其中的图象由奇偶性与周期性结合作出），然后分析交点个数得出参数范围．【详解】由得，又是奇函数，所以，即是周期函数，周期为2，也是周期函数，且最小正周期是，由奇偶性和周期性作出函数的图象，再作出的图象，如图，函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点个数，是R上的奇函数，所以，从而，，易知它们在上有4个交点，从而在上也有4个交点，而时，点是一个交点，所以，在上，，，即是上交点，从而在上交点上交点为，由周期性在上两函数图象交点为，所以．综上，．故选：A．【典例15】（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递增C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递增【答案】B【解析】【分析】先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t＝||，则y＝lnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案.【详解】解：由，得x≠±．又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，∵11．可得内层函数t＝||的图象如图，在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，又对数式y＝是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减．故选：B．【总结提升】1.根据函数的图象研究函数性质的方法(1)观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域．(2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性．(3)根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性．2.利用函数图象研究不等式当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解．3.利用函数图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标．【精选精练】一.单选题1．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像与函数的图像的交点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．0【答案】C【解析】【分析】作出两个函数的图像，由图像可得交点个数．【详解】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．故选：C．3．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，，据此可知选项B错误.故选：A.4．（2022·北京·高三专题练习）已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】作出函数与的图象，数形结合可得出不等式的解集.【详解】根据图中信息作出函数、的图象如下图所示：因为，则，且，由图可知，不等式的解集为.故选：C.5．（2022·内蒙古通辽·二模（文））若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】先求得的解析式中参数的值和的取值范围，再去判断其图像形状.【详解】因为函数在R上是奇函数，所以，所以，经检验，满足题意，又因为为减函数，所以，则（）由可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD；又，可知选项A错误.所以的大致图象为B．故选：B6．（2022·四川广安·模拟预测（文））华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．”所以研究函数时往往要作图，那么函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性排除BC，根据当时，排除A，继而得解.【详解】因为，所以，所以为偶函数，排除BC，当时，，且，所以当时，，排除A；故选：D.7．（2023·全国·高三专题练习）从函数，，，，中任选两个函数，记为和，若或的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据图象可知函数过定点，当时，为减函数；当时或交替出现，结合排除法和选项中函数的图象与性质，即可得出结果.【详解】由图象可知，函数过定点，当时，，为减函数；当时，或交替出现.若，则，不符合题意，故A错误；若，则，即函数过定点，又，当时，，不符合题意，故B错误；若，则，不符合题意，故D错误.故选：C8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】作出函数与的图象，由图象观察即可求解【详解】由，得，知周期，令，得.作出函数与的图象如图所示.由函数的图象知，有两个零点.故选：A9．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数若方程（且）有唯一实根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】作出函数图象，由图象结合临界情况下对应的值，数形结合即可写出满足条件的范围.【详解】若，即有作出函数，的图象，如图，由图象，可以发现当时,两者无公共点，当时，即，时，有两个公共点，故由图象可知，当时，两者有唯一公共点，当时，由与相切于点时，由可得，结合图象可知，时，两者有唯一公共点.综上，a的取值范围是.故选：D【点睛】关键点点睛：根据所给分段函数，分析出函数在上的具体解析式，做出函数的图象，找出临界情形，由数形结合的方法是解决此问题的关键.10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据条件分，和三种情况讨论，由，求出的取值范围．【详解】解：显然当时，，不满足条件；当时，易知，当时，，于是，而由，可得，即，所以也不满足条件，当时，函数，因为关于的不等式的解集为，若，则在上，函数的图象应在函数的图象的下方，如图所示，要使在上，函数的图象在函数的图象的下方，只要即可，即，化简可得，解得，所以的取值范围为.综上，的取值范围为.故选：C.二、多选题11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若关于x的不等式在区间上有唯一的整数解，则实数m的取值可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】CD【解析】【分析】将不等式等价变形为，构造函数，，作出函数图象，结合图象求出有唯一正整数解的m取值范围作答.【详解】依题意，，设，，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则有，，当时，恒有，又函数的图象是恒过点的直线，在同一坐标系内作出函数的图象和直线，如图，因在区间上有唯一的整数解，观察图象知，的唯一的整数解是1，因此，，且，即，解得，因，即1，不满足，，满足.故选：CD【点睛】关键点睛：涉及不等式有整数解问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数性质，画出函数图象，数形结合是解决问题的关键.三、填空题12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图，则________．【答案】8【解析】【分析】由图像可得：过点和，代入解得a、b．【详解】由图像可得：过点和，则有：，解得．∴．故答案为：8．13．（2023·全国·高三专题练习）函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.【答案】【解析】【分析】根据，可的点与的坐标，进而可得参数值，计算可得解.【详解】，点，，所以，，将两点坐标分别代入，，得，，，故答案为：.14．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数满足，在时，，则关于x的方程在上根的个数是___．【答案】4【解析】【分析】根据可得是周期函数，根据的对称性和周期性画出函数图象，然后在同一直角坐标系中观察与图象的交点情况即可求解.【详解】解：满足，故可得，所以函数是以2为周期的周期函数，且是偶函数根据，得该函数在[0，4]上的图象为：再在同一坐标系中做出函数的图象，当时，，当时，，而当时，如图，当时，两函数图象有四个交点．所以方程在[0，4]上有4个根．故答案为：4．15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是__．【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，结合图象得到函数的始终在的下方，联立方程组，根据，求得的值，进而得到答案.【详解】由题意，函数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知，要使的恒成立，只需函数的始终在的下方，若时，显然不成立，所以，当时，联立方程组，整理得，令，解得或，当时，可得，此时切点坐标为，符合题意；当时，可得，此时切点坐标为，不符合题意，所以实数的取值范围是.故答案为：.四、双空题16．（2021·北京八十中高三阶段练习）已知函数，若方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围