导数中函数的构造问题（原卷版）

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现.类型一利用f(x)与xn构造函数【典例1】(1)（2022·河北衡水中学模拟预测）已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．(2)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集____．【解题指导】观察条件和结论特点→构造函数→判断构造函数的单调性、奇偶性→画出相应函数的图象→再根据图象写出解集．【解析】（1）构造F(x)＝eq\f(fx,x2)，则F′(x)＝eq\f(f′x·x－2fx,x3)，当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，可以推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1)．（2）构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，可以推出当x＜0时，F′(x)＜0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．]【素养技法】利用f(x)与xn构造函数(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq\f(f（x）,xn).【跟踪训练】（2022·岳阳一中一模）设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x＜0时，有xf′(x)－f(x)＞0恒成立，则不等式f(x)＞0的解集为________．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】构造F(x)＝eq\f(fx,x)，则F′(x)＝eq\f(f′x·x－fx,x2)，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＞0，可以推出当x＜0时，F′(x)＞0，F(x)在(－∞，0)上单调递增．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．类型二利用f(x)与ex构造函数【典例2】（1）（2022·山东临沂一模）已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f(x)满足：(x－1)[f′(x)－f(x)]＞0，f(2－x)＝f(x)·e2－2x，则下列判断一定正确的是()A．f(1)＜f(0) B．f(2)＞e2f(0)C．f(3)＞e3f(0) D．f(4)＜e4f(0)（2）（2022·江苏省如皋中学模拟预测）若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞e2x的解集为________．【解题指导】观察条件和结论特点→构造函数（要注意F(x)＝eq\f(fx,xn)与F(x)＝eq\f(fx,enx)，F(x)＝xnf(x)与F(x)＝enxf(x)的构造条件）→判断构造函数的单调性、奇偶性→确定答案【解析】（1）构造F(x)＝eq\f(fx,ex)，则F′(x)＝eq\f(exf′x－exfx,e2x)＝eq\f(f′x－fx,ex)，导函数f′(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]＞0，则x＞1时F′(x)＞0，F(x)在[1，＋∞)上单调递增．当x＜1时F′(x)＜0，F(x)在(－∞，1]上单调递减．又由f(2－x)＝f(x)e2－2x⇔F(2－x)＝F(x)⇒F(x)关于x＝1对称，从而F(3)＞F(0)即eq\f(f3,e3)＞eq\f(f0,e0)，∴f(3)＞e3f(0)，故选C.（2）构造F(x)＝eq\f(fx,e2x)，则F′(x)＝eq\f(e2xf′x－2e2xfx,e4x)＝eq\f(f′x－2fx,e2x)，函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，则F′(x)＞0，F(x)在R上单调递增．又∵f(0)＝1，则F(0)＝1，f(x)＞e2x⇔eq\f(fx,e2x)＞1⇔F(x)＞F(0)，根据单调性得x＞0.【素养技法】利用f(x)与ex构造函数(1)出现f′(x)－f(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(f（x）,ex)；(2)出现f′(x)＋f(x)的形式，构造函数F(x)＝f(x)ex.【跟踪训练】f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)＞f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是()A.f(a)＜eaf(0) B.f(a)＞eaf(0)C.f(a)＜eq\f(f（0）,ea) D.f(a)＞eq\f(f（0）,ea)【答案】B【解析】令g(x)＝eq\f(f（x）,ex)，则g′(x)＝eq\f(f′（x）ex－f（x）ex,（ex）2)＝eq\f(f′（x）－f（x）,ex)＞0.∴g(x)在R上为增函数，又a＞0，∴g(a)＞g(0)，即eq\f(f（a）,ea)＞eq\f(f（0）,e0).故f(a)＞eaf(0).类型三利用f(x)与sinx，cosx构造函数【典例3】（2022·烟台市教育科学研究院模拟预测）已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式中成立的是（

）．A．B．C．D．【解题指导】由已知条件构造函数→求导→函数为偶函数→在上单调递增→利用其单调性逐个分析判断即可【解析】∵偶函数对于任意的满足，且，∴可构造函数，则，∴为偶函数且在上单调递增，∴，，，由函数单调性可知，即，∴BD对，A错，对于C，，∴C正确，故选：BCD．【素养技法】sinx，cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，下面是常考的几种形式．F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝eq\f(fx,sinx)，F′(x)＝eq\f(f′xsinx－fxcosx,sin2x)；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝eq\f(fx,cosx)，F′(x)＝eq\f(f′xcosx＋fxsinx,cos2x)【跟踪训练】（2022·山西朔州·高三期中）已知函数定义在上，是它的导函数，且恒有成立，又知，若关于的不等式解集是___________.【答案】【解析】，令，在上为增函数,由，,所以不等式的解集为.类型四构造具体函数关系式【典例4】（2022·南京师大附中模拟预测）若lnx－lny＜eq\f(1,lnx)－eq\f(1,lny)(x＞1，y＞1)，则()A.ey－x＞1 B.ey－x＜1C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1【解题指导】认真分析题目所给条件，寻找(或变形后寻找)结构相同的式子，结合所求构造函数．【解析】依题意，lnx－eq\f(1,lnx)＜lny－eq\f(1,lny)，令f(t)＝t－eq\f(1,t)(t≠0).则f′(t)＝1＋eq\f(1,t2)＞0，所以f(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；又x＞1，y＞1，得lnx＞0，lny＞0，又lnx－eq\f(1,lnx)＜lny－eq\f(1,lny).则f(lnx)＜f(lny).又f(t)在(0，＋∞)上单调递增.则lnx＜lny，∴1＜x＜y，即y－x＞0，所以ey－x＞e0＝1，A正确，B不正确；又y－x－1无法确定与0的关系，故C、D不正确.【素养技法】不等式两边凑配成相同的形式，构造具体的函数利用单调性求解.【跟踪训练】（2022·长郡中学一模）已知α，β∈，且αsinα－βsinβ＞0，则下列结论正确的是()A．α＞βB．α2＞β2C．α＜β D．α＋β＞0【答案】B【解析】构造函数f(x)＝xsinx，则f′(x)＝sinx＋xcosx.当x∈时，f′(x)≥0，f(x)是增函数，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，又f(x)为偶函数，∴αsinα－βsinβ＞0⇔αsinα＞βsinβ⇔f(α)＞f(β)⇔f(|α|)＞f(|β|)⇔|α|＞|β|⇔α2＞β2，故选B.1．（2023·福建厦门·统考二模）已知，，，则（

）A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c2．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．（2023·四川成都·统考模拟预测）已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．4．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数记为，若对于任意实数，有，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．（2022·四川南充·统考一模）设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．6．（2023·山西晋中·统考二模）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（

）A． B． C． D．8．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知，设，，，则（

）A． B．C． D．9．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．10．（2023·河南·校联考模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．11．（多选题）（2022秋·海南·高三海南华侨中学校考阶段练习）已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（

）A． B．C． D．12．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，对于任意，都有，则使不等式成立的的值可以为（

）A． B．1 C．2 D．313．（多选题）（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（

）A． B．C． D．14．（多选题）（2020·山东青岛·校考一模）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（

）A．< B．>0C．> D．>15．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若且，则有（

）A．可能是奇函数或偶函数 B．C．若A与B为锐角三角形的两个内角，则D．16．（2023·全国·高三专题练习）设，则的大小关系为___________.（从小到大顺