2020年中考专题复习：垂直模型中的相似及变形

第题型二：模型中的相似题型二：模型中的相似思路导航思路导航在中，，于，则在这个图形中，我们可以得到个直角三角形，这个直角三角形两两相似，即进而可以得到组比例关系，这组比例关系中，有个比例式比较特殊：⑴；⑵；⑶，这个比例式转化为乘积式为：⑴；⑵；⑶，这就是著名的“射影定理”典题精练典题精练⑴如图，在中，为直角，于点，，，写出其中的一对相似三角形是________和_________；并写出它的面积比__________________．⑵如图，中，于，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（）①；②；③；④；⑤A．1B．2 C．3 D．4⑶如图，是斜边上的高，如果两条直角边，则_______．⑴答案不唯一，和，；⑵C；⑶由题意，，，则，，又，，，，，则，∴．如图，已知中，，是边上中线，是边上的中线，且于点，于点，若，，求的长．连结∵，∴，即，又∵，且则，，∴，，∵是边中线，是边中线，∴，∴，∴，在中，，∴，∴．题型三：三垂直的应用题型三：三垂直的应用思路导航思路导航三垂直模型中包括三垂直全等和三垂直相似，在解题的过程中要善于发现和使用，并要学会根据具体情况构造三垂直模型.例题精讲例题精讲如图，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，求的长．∵∴，∴，∴；在中，典题精练典题精练⑴如图，梯形中，，，为上一点，且，若，，，则=．⑵如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么．⑴10；⑵4⑴如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E.F、G、H分别落在边AD.AB.BC.CD上，则DE的长为．⑵如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是．⑴2．⑵．抓住相似模型．，∴设，，∴在中，，∴正方形的面积为．⑴等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB.AC交于点E.F.如图，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.⑵如图，梯形中，∥，，，点分别在线段上，且，若，求长．【解析】⑴可证△EBP∽△PCF.∴．设BP=x，则．解得.∴PE的长为4或．⑵在梯形中，∥，，，∴∴∵∴∴∴△∽△∴即：解得：．如图，在矩形中，为中点，交于，连结．⑴与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．⑵设，是否存在这样的值，使得与相似，若存在，证明你的结论，并求出的值；若不存在，说明理由．⑴相似．在矩形中，．因为，、、共线，所以．又∵，∴∴∴∵∴又∵∴⑵存在，由于，∴只能是，．由⑴知，∴．∴．即．反过来，在时，，，，，∴．∴．精讲:相似三角形经典模型总结【探究一】模型介绍：⑴A字型与反A字型；⑵8字型与反8字型；⑶双垂直模型与母子型；⑷三垂直模型与一线三等角模型；⑸手拉手相似模型；【探究二】模型联系：思维拓展训练(选讲)思维拓展训练(选讲)如图，中，，于，平分交于，于．求证：．由，，∴∴，即又∵和中，，∴∴，∴∵是的平分线，，∴，则已知：如图，在正方形中，，点是边上的动点（点不与端点重合），的垂直平分线分别交于点，交的延长线于点．⑴设，试用含的代数式表示的值；⑵在⑴的条件下，当时，求的长．⑴过点作，分别交于两点．∵是线段的垂直平分线，∴．∵，∴∵H是AE的中点，∴M是AD的中点∴是的中位线，∴．∵四边形是正方形，∴四边形是矩形．∴．∴．∵，∴．∴，即．⑵过点作于点，则四边形和四边形都是矩形．∵，解得．∴，．∵，∴，即．又∵∴解得．∴．已知，，，，为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）．⑴当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；⑵在图1中，连结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出自变量的范围；⑶当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小．⑴中，，∴，∴，即，过点作于E，如图=1\*GB2⑴则而⑵如图=2\*GB2⑵，过点分别作于，于点.∵，∴∴设，则，∴，，∴⑶答：证明：如图=3\*GB2⑶，过点分别作于，于点.∵，∴∴又∵，∴∴∴∴等腰直角中，、分别为直角边、上的点，且，过、分别作的垂线，交斜边于、．求证：．如图，延长至，使，连接则，于是可证于是∵∴∴∴∴∴．复习巩固复习巩固题型一模型中的相似巩固练习如图，是一块锐角三角形余料，边长毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？∵四边形为正方形∴∴设边长为，，即∴（毫米）答：边长为毫米．题型二模型中的相似巩固练习如图，斜边上的高为，若，，则，，．，，．如图，中，，于，是上任意一点，连结，过作于，求证：．∵，∴又∴∴，即又∵为直角三角形，∴又∴∴，即∴．如图，在中，，，．点在斜边上，分别作，，垂足分别为、，得四边形．设，．⑴用含的代数式表示为；⑵求与之间的函数关系式，并求出的取值范围；⑶设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值．⑴；⑵可证∴∴∴⑶当时，取到最大值为．题型三三垂直的应用巩固练习如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．点为线段上一点（不包括端点），且，求的面积． 如图，设，则．∵，∴．又，∴．又∵．∴∴．即．解得，（不符合题意，舍去）．∴，即．当时，，∴，，．