2019九年级数学下册-第2章2.2.2-第2课时-圆周角定理的推论2及圆内接四边形同步练习1

PAGEPAGE12.2.2第2课时圆周角定理的推论2及圆内接四边形一、选择题1．2018·南充如图K－13－1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是()图K－13－1A．58°B．60°C．64°D．68°2．如图K－13－2，小华同学设计了一个测直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点O靠在圆周上，读得OE的长为8个单位，OF的长为6个单位，则圆的直径为()图K－13－2A．4个单位B．10个单位C．12个单位D．15个单位3．如图K－13－3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数为()图K－13－3A．55°B．50°C．45°D．40°4．如图K－13－4，AB是半圆⊙O的直径，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数为()图K－13－4A．55°B．60°C．65°D．70°5．如图K－13－5，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，4)，M是第三象限内eq\o(OB,\s\up8(︵))上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为()图K－13－5A．5B．4C．3D．4eq\r(2)二、填空题6．2017·淮安如图K－13－6，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4:3:5，则∠D的度数是________.eq\a\vs4\al(链接听课例2归纳总结)图K－13－67．如图K－13－7，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在⊙A上，BE是⊙A的一条弦，则tan∠OBE＝________．图K－13－78．2018·北京如图K－13－8，点A，B，C，D在⊙O上，eq\o(CB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝________°.图K－13－89．如图K－13－9，已知⊙O的弦AB＝3，点C在⊙O上，且∠ACB＝60°，则⊙O的直径是________．图K－13－9三、解答题10．已知：如图K－13－10，△ABC的三个顶点均在⊙O上，AD是△ABC中BC边上的高，AE是⊙O的直径．求证：AB·AC＝AD·AE.eq\a\vs4\al(链接听课例1归纳总结)图K－13－1011．如图K－13－11，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，AE是⊙O的直径，弦AF与BC相交于点D，若BE＝CF，求证：AF⊥BC.图K－13－1112．如图K－13－12，BD是⊙O的直径，A，C是⊙O上的两点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E.(1)求证：△ABD∽△AEB；(2)若AD＝1，DE＝3，求BD的长．图K－13－1213．如图K－13－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE.(1)求证：AC＝AE；(2)求过A，B，C三点的圆的半径．图K－13－1314．如图K－13－14所示，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝2eq\r(3)，求CD的长．图K－13－14素养提升动点问题如图K－13－15，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，点F在eq\o(AC,\s\up8(︵))上由点A向点C运动(点A，C除外)，AF与DC的延长线相交于点M.(1)求证：△AFD∽△CFM.(2)点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．图K－13－151．[解析]A∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°.∵OA＝OC，∠OAC＝32°，∴∠C＝∠OAC＝32°，∴∠B＝90°－32°＝58°.故选A.2．[解析]B连接EF.∵∠FOE＝90°，∴EF为圆的直径，EF＝eq\r(OF2＋OE2)＝eq\r(62＋82)＝10.故选B.3．[解析]C∠B＝∠DCE－∠F＝55°.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EDC＝∠B＝55°，∴∠E＝180°－∠DCE－∠EDC＝45°.故选C.4．[解析]C连接BD，如图．∵D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，即eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))，∴∠ABD＝∠CBD，而∠ABC＝50°，∴∠ABD＝eq\f(1,2)×50°＝25°.∵AB是半圆⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°－25°＝65°.5．[解析]B连接OC，如图所示．∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∵∠BMO＝120°，∴∠BCO＝120°，∠BAO＝60°.∵AC＝OC，∠BAO＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴⊙C的半径＝OA＝4.故选B.6．[答案]120°[解析]∵∠A，∠B，∠C的度数之比为435，∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，即4x＋5x＝180°，解得x＝20°，∴∠B＝3x＝60°，∴∠D＝180°－60°＝120°.7．[答案]eq\f(4,5)[解析]如图，连接EC.由题知∠ECO＝∠OBE.在Rt△EOC中，OE＝4，OC＝5，则tan∠ECO＝eq\f(4,5).故tan∠OBE＝eq\f(4,5).8．709．[答案]2eq\r(3)[解析]过点A作直径AD，连接BD，如图，则∠ABD＝90°.又∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝30°.∵AB＝3，∴AD＝eq\f(AB,cos30°)＝2eq\r(3)，即⊙O的直径为2eq\r(3).10．证明：连接BE.∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ADC.又∠C＝∠E，∴△ADC∽△ABE，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(AD,AB)，即AB·AC＝AD·AE.11．证明：∵BE＝CF，∴eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(CF,\s\up8(︵))，∴∠BAE＝∠FAC.∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠E＝∠ACB，∴∠FAC＋∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AF⊥BC.12．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵)).∴∠ABC＝∠ADB.又∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB.(2)∵△ABD∽△AEB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AB).∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4.∴AB2＝AD·AE＝1×4＝4.∴AB＝2.∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°.在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝22＋12＝5，∴BD＝eq\r(5).13．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为圆周角，∴AD为圆的直径，∴∠AED＝90°.又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD，∴CD＝DE.在Rt△ACD和Rt△AED中，CD＝DE，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE.(2)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，∴AB＝eq\r(52＋122)＝13，∴过A，B，C三点的圆的半径＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×13＝eq\f(13,2).14．解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.又易知∠EDC＝∠B,∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.(2)(方法一)如图①，连接AE.∵AB为⊙O的直径，∴AE⊥BC，由(1)知AB＝AC，∴BE＝CE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3).∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，∴△CDE∽△CBA，∴eq\f(CD,CB)＝eq\f(CE,CA)，∴CE·CB＝CD·AC，而AC＝AB＝4，∴eq\r(3)×2eq\r(3)＝4CD，∴CD＝eq\f(3,2).(方法二)如图②，连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由(1)知AC＝AB＝4，则AD＝4－a.在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2－AD2＝42－(4－a)2.在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2－CD2＝(2eq\r(3))2－a2，∴42－(4－a)2＝(2eq\r(3))2－a2，整理得a＝eq\f(3,2)，即CD＝eq\f(3,2).图①图②[素养提升]解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\