适用于老高考旧教材2023届高考数学二轮总复习理专题六函数与导数课件

专题六函数与导数上篇内容索引010203高考小题突破9函数的图象与性质高考小题突破10基本初等函数、函数的应用高考小题突破11导数的简单应用04培优拓展客观题中的函数构造问题内容索引050607◎高考增分大题六导数的综合应用培优拓展洛必达法则速求参数范围培优拓展双变量问题的转化08培优拓展函数的隐零点问题与极值点偏移问题考情分析

函数是中学数学中起连接和支撑作用的主干知识,其知识、观点、思想和方法贯穿于中学代数的全过程,而导数在高中数学中处于特殊的地位,它与高等数学衔接紧密,它不仅是一种代数运算工具,也是高中数学知识的一个重要交汇点.因此,函数与导数成为高考考查的重点内容.近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新,新中求活;命题的数量多为“三小一大”或“二小一大”;命题的难度分为易、中、难三个层次,小题有时也会出难度较大的把关题,大题为难度较大的压轴题,大题所处试卷的位置多为倒数第一个题或倒数第二个题,预计这一趋势会保持下去.备考策略1.夯实基础:牢固掌握有关函数与导数的基本概念、公式、定理,了解公式、定理的来龙去脉以及各知识点之间的关系.明确重点考查的内容:(1)函数与导数的小题主要考查函数的性质、基本初等函数及其应用、函数的零点等;(2)大题主要考查导数在函数问题中的综合运用,重点是解决与函数的单调性、极值、最值相关的不等式和方程问题.2.掌握方法:特殊值法可以让一般问题特殊化,抽象问题具体化,从而减少计算量.对于识别函数的图象,求解函数不等式,判别函数的零点及函数的单调性,可以利用函数的一些特殊值,当一次取值不能达到目标时,可考虑多次取值、混合选取,看能否达到目标.3.强化解题能力:注重解题能力的提升和数学思想方法的应用.在函数与导数的复习过程中,一是要注重学习并形成函数建模能力和利用导数解模的能力;二是要注重逻辑推理能力、运算求解能力;三是要注重分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想的应用.真题感悟1.(2021·全国甲·文4)下列函数中是增函数的为(

)答案D

解析

借助函数的图形可知,对于A,函数单调递减,不合题意;对于B,根据指数函数的性质可知函数单调递减,不合题意;对于C,函数在定义域内不具有单调性,不合题意;对于D,根据幂函数的性质可知,函数在其定义域内为增函数,符合题意.故选D.2.(2021·全国乙·文8)下列函数中最小值为4的是(

)A.y=x2+2x+4 答案C

解析

A项,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故该项不符合题意;B项,设t=|sin

x|,则

3.(2021·全国乙·理4)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(

)A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1答案B

解析

函数

,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B.答案A

解析

设f(x)=(3x-3-x)cos

x,则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,排除B,D选项.又f(1)=(3-3-1)cos

1>0.故选A.答案B

解析

函数f(x)的定义域是(0,+∞).当a>0时,若b≤0,则x>0时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,无最大值,不符合题意.6.(2021·全国甲·理13)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为

.

答案

5x-y+2=07.(2021·全国甲·理21)已知a>0且a≠1,函数f(x)=

(x>0).(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.知识精要1.函数的概念(1)求函数的定义域的方法是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解.(2)求函数值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、导数法.用导数求极值结合端点得最值

名师点析分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数值域的并集.2.函数的性质(1)函数奇偶性:①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有:f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数相乘可得偶函数).(2)函数单调性判断方法:定义法、图象法、导数法.(3)函数周期性的常用结论:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±(a≠0),则T=2a;若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b;若f(x)的图象有两条对称轴:直线x=a和直线x=b(a≠b),则T=2|b-a|;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0),则T=2|b-a|(类比正、余弦函数).3.函数的图象(1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质:根据函数性质判断图象的位置,对称性,变化趋势等;③看变换:看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到.(2)若y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a)=f(-x);若y=f(x)对∀x∈R,都有f(a-x)=f(b+x),则f(x)的图象关于直线(3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a-x)和y=f(b+x)的图象关于直线x=对称;y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.(4)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解(集)以及求参数范围问题.4.指数函数与对数函数的关系指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,它们的图象和性质分0<a<1,a>1两种情况讨论,着重关注两函数图象的异同.5.函数零点的等价命题函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.是一个数值,不是函数图象上的点

6.常用的导数及求导法则

7.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在(a,b)内可导,(1)若f'(x)>0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增;(2)若f'(x)<0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递减.名师点析f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件;f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.8.函数的导数与单调性的等价关系函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.9.函数的极值、最值(1)若在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;x0为极大值点

若在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值,且在极值点或端点处取得.(3)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.名师点析开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.10.与ex,lnx有关的常用不等式的结论(1)由f(x)=ex图象上任一点(m,f(m))的切线方程为y-em=em(x-m),得ex≥em(x+1)-mem,当且仅当x=m时,等号成立.当m=0时,有ex≥x+1;当m=1时,有ex≥ex.

因y=ex的图象在其切线上面

高考小题突破9

考点一函数的概念与表示规律方法函数的求值方法(1)形如f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则.(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.答案

(1)B

(2)ln2

以f(-2)+f(log26)=6.故选B.(2)若f(a)>0,则f(f(a))=-ef(a)<0,与f(f(a))=4矛盾,所以f(a)≤0,所以f2(a)+2f(a)+4=4,解得f(a)=0或-2.若a>0,-ea=0无解.由-ea=-2,得a=ln

2;若a≤0,a2+2a+4=0无解,a2+2a+4=-2无解.综上,a=ln

2.考点二函数的性质及其应用考向1函数的单调性与奇偶性典例突破2(1)(2022·江苏盐城、南京一模)已知f(x)=则当x≥0时,f(2x)与f(x2)的大小关系是(

)A.f(2x)≤f(x2) B.f(2x)≥f(x2)C.f(2x)=f(x2) D.f(2x)>f(x2)(2)(2022·江苏连云港二次调研)已知函数f(x)=x是偶函数,则m的值是(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2(3)(2022·广西柳州三模)已知函数f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,且f(-2)=0,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有

<0成立,则不等式f(x)<0的解集为(

)A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)答案

(1)B

(2)A

(3)C

解析

(1)当0≤x≤2时,0≤x2≤2x≤4.∵f(x)在(-∞,4]上单调递增,∴f(2x)≥f(x2);当2<x<4时,4<2x<x2<16,∵f(x)在(4,16)上单调递减,∴f(2x)>f(x2);当x≥4时,2x≥x2≥16,∵f(x)在[16,+∞)上单调递增,∴f(2x)≥f(x2).综上,f(2x)≥f(x2).故选B.∴g(x)在(0,+∞)上单调递减.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-xf(-x)=xf(x),即g(-x)=g(x),∴函数g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的偶函数,∴g(x)在(-∞,0)上单调递增.由f(-2)=0,得f(2)=0.当x>0时,f(x)<0⇔xf(x)<0=2f(2)⇔g(x)<g(2),∴x>2;当x<0时,f(x)<0⇔xf(x)>0=-2f(-2)⇔g(x)>g(-2),∴-2<x<0.综上,不等式f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选C.规律方法1.复合函数单调性的判断方法:复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.2.利用函数的单调性解不等式的方法:应先将不等式转化为f(m)<f(n)的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,应注意m,n应在定义域内取值,若不等式一边为常数,应将常数化为含“f”的形式.如已知f(a)=0,f(x-b)<0,则f(x-b)<f(a).对点练2(1)已知函数y=f(x)在R上单调递减.令g(x)=f(x)-ex,若g(t)<g(4-t),则实数t的取值范围为(

)A.(1,+∞) B.(-∞,1)C.(2,+∞) D.(-∞,2)(2)(2022·安徽黄山二模)已知函数f(x)=-x|x|,且f(m+2)+f(2m-1)<0,则实数m的取值范围为(

)(3)(2021·新高考Ⅰ·13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=

.

答案

(1)C

(2)D

(3)1

解析

(1)∵函数y=f(x)在R上单调递减,∴函数g(x)=f(x)-ex在R上单调递减.由g(t)<g(4-t),得t>4-t,解得t>2,∴实数t的取值范围是(2,+∞).故选C.(2)∵f(x)=-x|x|的定义域为R,且f(-x)=x|x|=-f(x),∴f(x)为R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=-x2,且f(x)单调递减;当x<0时,f(x)=x2,且f(x)单调递减.又f(x)是连续函数,∴f(x)是R上的减函数.又f(m+2)+f(2m-1)<0,∴f(m+2)<f(1-2m),(3)∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x3(a·2x-2-x)=(-x)3[a·2-x-2-(-x)].整理得,a·2x-2-x=-(a·2-x-2x),即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.考向2函数的奇偶性与周期性典例突破3(1)(2021·全国甲·理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函A.-21 B.-22 C.-23 D.-24答案

(1)D

(2)D

解析

(1)(方法一)∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).①∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(-x+2).②令x=1,由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得f(3)=f(1)=a+b.∵f(0)+f(3)=6,∴-(4a+b)+a+b=6,解得a=-2.令x=0,由①得f(1)=-f(1),∴a+b=-a-b,∴b=2,∴f(x)=-2x2+2,x∈[1,2],(方法二)由f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,得f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,关于直线x=2轴对称,且f(-x+1)=-f(x+1),∴f(x)为周期函数,且周期T=4|1-2|=4,(方法三)∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,∴f(3)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0.∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6.即4a+b=-6,(2)由g(x)的图象关于直线x=2对称,可知g(x)=g(4-x).∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5.又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x).∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7.又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x).∴f(x)的周期为4.当x=0时,f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,∴f(4)=f(0)=1.当x=2时,g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,∴f(2)=f(-2)=-3.当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.规律方法函数奇偶性、对称性及周期性的关系注:在客观题中,已知函数图象的对称关系求其周期,可类比正、余弦曲线的对称性与周期性的关系,能直接得周期,不用利用函数关系式进行繁琐的推证.(2)(2022·江苏南京、盐城二模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-x2,若f(x)≥x+b对一切x∈R恒成立,则实数b的最大值为

.

解析

(1)(方法一)∵函数f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(x)=f(-x).∵f(1+x)=f(1-x),∴f(2-x)=f(x),∴f(2-x)=f(-x),∴f(x)为周期函数,且周期T=2.(方法二)由f(x)为偶函数,得其图象的对称轴为直线x=0.∵f(1+x)=f(1-x),∴直线x=1为f(x)图象的对称轴,∴f(x)为周期函数,且周期T=2|1-0|=2.(2)(方法一)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称.由f(1-x)+f(1+x)=2,得f(x)的图象关于点(1,1)对称.当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],则f(-x)=-2x-x2=-f(x),则f(x)=2x+x2.结合图象可知当函数f(x)的图象与直线y=x+b相切时,b取得最大值.(方法二)设g(x)=f(x)-x.∵函数f(x)为奇函数,∴g(x)也为奇函数.∵f(1-x)+f(1+x)=2,∴g(1-x)+(1-x)+g(1+x)+(1+x)=2,即g(1-x)+g(1+x)=0,即函数g(x)的图象关于点(1,0)对称,则由对称性可知,函数g(x)的周期为2.当x∈[0,1]时,g(x)=f(x)-x=2x-x2-x=-x2+x,∴g(x)在[0,1]上的最考点三函数的图象及其应用考向1函数图象的判断典例突破4(1)(2022·全国乙·文8)下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象如图所示,则该函数是(

)(2)函数y=2x2-e|x|在区间[-2,2]上的图象大致为(

)答案

(1)A

(2)D

(2)(方法一)易知函数y=2x2-e|x|为偶函数,故函数在[-2,2]上的图象关于y轴对称.当0≤x≤2时,y=2x2-ex.由当x=2时,y=8-e2>0,排除A;由y'=4x-ex,得当x=0(方法二)取x=2,则y=2×4-e2≈8-2.7182≈0.6∈(0,1),排除A,B;当0≤x≤2时,y=2x2-ex,则y'=4x-ex.由函数零点的判定可知,y'=4x-ex在[0,2]内存在零点且两侧不同号,即函数y=2x2-ex在[0,2]内不单调,排除C.故选D.规律方法函数图象的识别方法:确定函数图象的主要方法是利用函数的性质,如:定义域、奇偶性、单调性等,特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象.在判断函数的单调性时,往往要对函数进行求导,利用导数的正负来判别.对点练4(1)(2020·浙江·4)函数y=xcosx+sinx在区间[-π,π]上的图象可能是(

)(2)(2022·山东济南一模)函数f(x)=x-sinx的部分图象大致为(

)答案

(1)A

(2)B

解析

(1)因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcos

x+sin

x)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故排除C,D,当x∈

时,xcos

x+sin

x>0,所以排除B.故选A.(2)由f(x)=x-sin

x,得f'(x)=1-cos

x≥0,所以f(x)是增函数,排除选项A;令g(x)=1-cos

x,则g'(x)=sin

x.当x∈[0,π]时,g(x)≥0,所以f'(x)为增函数,即f(x)在[0,π]上的图象的倾斜程度逐渐增大.故选B.考向2函数图象的应用

(2)(2022·河南郑州二模)若函数f(x)=是定义在R上的增函数,则实数m的取值范围是(

)A.(-∞,1]∪{2} B.{1}∪[2,+∞)C.(-∞,1] D.[2,+∞)答案

(1)D

(2)B

作出函数y=|f(x)|的图象,如图所示,直线y=mx-2过定点(0,-2).由图可知,当m<0时,不满足题意;当m=0时,满足题意;当m>0时,考虑直线y=mx-2与曲线y=x2+3x(x>0)相切的情况.(2)如图,作出函数y=x-2和y=x2-2x的图象.由

得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.抛物线的对称轴为直线x=1.当m<1时,f(x)在(m,1]上单调递减,不符合题意;当m=1时,符合题意;当1<m<2时,m-2>m2-2m,不符合题意;当m≥2时,符合题意,所以实数m的取值范围是{1}∪[2,+∞).故选B.规律方法函数图象的应用主要体现数形结合思想,借助于函数图象的特点和变化规律,求解不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.的图象恰有三个公共点,则实数m的取值范围是

.

答案

(1)C

(2)[-1,2)

解析

(1)由f(x+2)=-f(x),可得f(x)=f(x+4),∴f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x),∴f(x+2)=f(-x),∴f(1+x)=f(1-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称.又由当0≤x≤1时,f(x)=x,可得函数f(x)的图象,如图所示.(2)画出函数图象如图所示.由图可知,当m=-1时,直线y=x与函数图象恰好有3个公共点,当m=2时,直线y=x与函数图象只有2个公共点,故m的取值范围是[-1,2).考点四函数的综合问题典例突破6(1)(2021·陕西咸阳二模)已知函数f(x)=cos2x+2sinx+a,函数

答案

(1)A

(2)C

即2

022f(-x)+f(x)=1,即f(x)+f(-x)=0.又x∈[-1,1],所以函数f(x)为奇函数.因为f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,解题技巧函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略问题类型解题策略函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解对点练6(1)已知函数f(x)=ln(|x|-1)+2x+2-x,则使不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范围是(

)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-2,-1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)(2022·安徽安庆二模)已知定义在区间[-1,3]上的函数f(x),满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[1,3]时,f(x)=x-1-x3,则满足不等式f(2a+1)>f(a)的实数a的取值范围为

.

解析

(1)由|x|-1>0,得|x|>1,得x>1或x<-1.∵f(-x)=ln(|-x|-1)+2-x+2x=ln(|x|-1)+2x+2-x=f(x),∴f(x)是偶函数.当x>1时,y=lg(x-1)为增函数.设g(x)=2x+2-x(x>1),则g'(x)=(2x-2-x)·ln

2>0,∴g(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)=lg(x-1)+2x+2-x在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减.又f(x+1)<f(2x),(2)设g(x)=f(x+1).∵f(x)的定义域为[-1,3],∴(1+x)∈[-1,3],得x∈[-2,2].由f(1+x)=f(1-x),得g(x)=g(-x),∴g(x)的图象关于y轴对称,即g(x)为偶函数.∵当x∈[1,3]时,f(x)=x-1-x3单调递减,∴g(x)在[0,2]上单调递减,∴g(x)在[-2,0)上单调递增.∴f(2a+1)>f(a),∴g(2a)>g(a-1),高考小题突破10考点一基本初等函数的图象与性质典例突破1(1)(2020·全国Ⅰ·理12)若2a+log2a=4b+2log4b,则(

)A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2(2)(2022·江西上饶六校联考)已知y=f(x)是x∈R上的奇函数,且对∀x∈R,都(3)(2022·陕西安康二模)已知函数f(x)=ax+b的图象如图所示,则函数y=loga(|x|+b)的图象可以是(

)答案

(1)B

(2)B

(3)D

解析

(1)由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因为22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a<22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.由f(a)<f(2b)可得a<2b.故选B.(3)由f(x)=ax+b的图象得0<a<1,-1<b<0.y=loga(|x|+b)的定义域为(-∞,b)∪(-b,+∞).由loga(|-x|+b)=loga(|x|+b),得y=loga(|x|+b)为偶函数.又∴y=loga(|x|+b)在(-b,+∞)上单调递减.故选D.规律方法求解指数型函数与对数型函数的数学思想(1)分类讨论的思想:对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数a的值不确定时,要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论.(2)转化的思想:基本初等函数的图象和性质是统一的,在解题中可相互转化.对点练1(1)(2022·山西吕梁一模)若a2+log2a=3b2+3log8b,则(

)(2)(2022·广东一模)已知函数f(x)=ln|x|,g(x)=ex-e-x,则下图对应的函数可能是(

)A.f(x)+g(x) B.f(x)-g(x)(3)(2022·陕西宝鸡三模)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=2x,则f(log27)=

.

解析

(1)由题可知,a,b>0,a2+log2a=3b2+3log8b>b2+log2b,a2+log2a<4b2+3log8b+1=(2b)2+log22b.又函数f(x)=x2+log2x(x>0)为增函数,所以b<a<2b.故选B.(2)由图可知该函数为奇函数,f(x)+g(x)和f(x)-g(x)既不是奇函数,也不是偶函数,故A,B不符合题意;当x>0时,f(x)g(x)单调递增,故C不符合题意;单调递减,∴图象应该在x轴上方且无限靠近x轴.故选D.(3)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x,考点二函数的零点与方程考向1确定函数零点个数或范围典例突破2(1)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则函数g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)(2)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案

(1)B

(2)C

函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数,就是y=f(1-x)的图象与直线y=1的交点个数,如右图,可知其图象有三个交点,即g(x)=f(1-x)-1的零点个数为3.故选C.规律方法1.判断函数f(x)的零点所在区间的方法:主要利用函数零点的存在性定理进行判断.2.判断函数y=f(x)零点个数的方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数;(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断;(3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断.对点练2(1)(2022·河南开封一模)函数f(x)=lnx-的零点所在的区间是(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3)(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.4答案

(1)C

(2)B

∴函数f(x)的零点所在的区间是(2,e).故选C.(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即考向2已知函数零点个数求参数范围典例突破3(1)函数f(x)=ax|logax|-1(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围为(

)A.(1,+∞)(2)(2022·山西吕梁一模)若函数f(x)=|3-2x-x2|的图象和直线2x+ay+7=0有四个交点,则实数a的取值范围为

.

答案

(1)B

(2)(-∞,-1)

当a>1时,两函数的图象有两个交点,如图1;当0<a<1时,若两函数的图象有两个交点,规律方法已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.对点练3(1)已知a>0,函数f(x)=2ln(ax)-x,若函数F(x)=f(f(x))-x恰有两个零点,则实数a的取值范围是(

)C.(e,+∞) D.[e,+∞)(2)(2021·广西桂林二模)已知函数f(x)=x(2lnx-a)+1有两个不同的零点,则实数a的取值范围是

.

答案

(1)C

(2)(2-2ln2,+∞)

解析

(1)由f(x)=2ln(ax)-x,得F(x)=2ln[2aln(ax)-ax]-[2ln(ax)-x]-x=2ln[2aln(ax)-ax]-2ln(ax).令F(x)=0,得ln[2aln(ax)-ax]=ln(ax).∵y=ln

x(x>0)是增函数,∴2aln(ax)-ax=ax,即ln(ax)=x.令g(x)=ln(ax)-x(x>0),当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减.又当x→0时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)→-∞,∴g(1)=ln

a-1>0,即a>e时,g(x)有两个零点,∴实数a的取值范围是(e,+∞).考点三函数的模型及其应用典例突破4(1)(2022·黑龙江哈尔滨九中三模)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型:θ-θ0=(θ1-θ0)e-kt,其中t为时间(单位:min),θ0为环境温度,θ1为物体初始温度,θ为冷却后温度,假设在室内温度为20℃的情况下,一杯开水由100℃降低到60℃需要10min,则k的值约为(

)(结果精确到0.001,参考数据:e2≈7.389,ln2≈0.693)A.0.035 B.0.069C.0.369 D.0.740(2)(2022·河南郑州二模)2021年,郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·

(N0表示碳14原有的质量).经过测定,官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的,据此推测青铜布币生产的时期距今约(

)(参考数据:log23≈1.6)A.2600年 B.3100年C.3200年 D.3300年答案

(1)B

(2)A

解析

(1)由题意可知θ0=20

℃,θ1=100

℃,θ=60

℃,t=10

min,则有60-20=(100-20)e-10k,解题技巧

对点练4(1)(2022·山西临汾三模)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家经过研究,已经对地震有所了解,地震学家查尔斯·里克林提出了关系式:lgE=4.8+1.5M,其中E为地震释放出的能量,M为地震的里氏震级.已知2008年5月12日我国发生的汶川地震的里氏震级为8.0级,2017年8月8日我国发生的九寨沟地震的里氏震级为7.0级,可知汶川地震释放的能量约为九A.9.6倍

B.21.5倍C.31.6倍 D.47.4倍(2)(2022·山西运城二模)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,全国各地对生态环境的保护意识持续增强,某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的20%才达到排放标准.已知在过滤过程中,废气中污染物含量y(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系式为y=y0e-kt(y0,k为正常数,y0表示污染物的初始含量),实验发现废气经过5h的过滤,其中的污染物被消除了40%.则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为(

)(结果四舍五入保留整数,参考数据ln3≈1.1,ln5≈1.6)A.12h B.16h C.26h D.33h答案

(1)C

(2)B

解析

(1)令M=8,得lg

E=4.8+1.5×8=16.8,所以E=1016.8.令M=7,得lg

E=4.8+1.5×7=15.3,所以E=1015.3,(2)由题意,实验发现废气经过5

h的过滤,其中的污染物被消除了40%,∴(1-40%)y0=y0e-5k,∴0.6=e-5k,即该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为16

h.故选B.高考小题突破11考点一导数的几何意义及应用(2)(2022·山东临沂一模)函数f(x)=xln(-x),则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为

.

(3)已知函数f(x)=x+,若曲线y=f(x)存在两条过(1,0)点的切线,则a的取值范围是

.

答案

(1)D

(2)2x-y+e=0

(3)(-∞,-2)∪(0,+∞)解题技巧1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及解题方法

2.求曲线的切线方程时,务必分清点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点,求解时应先求出切点坐标.对点练1(1)已知直线l既是曲线C1:y=ex的切线,又是曲线C2:y=e2x2的切线,则直线l在x轴上的截距为(

)A.2 B.1 C.e2

D.-e2(2)(2022·新高考Ⅱ·14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为

,

.

(3)(2022·新高考Ⅰ·15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

考点二导数与函数的单调性考向1比较大小或解不等式

A.c>b>a B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>b(2)(2021·全国乙·理12)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=-1,则(

)A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<a<b答案

(1)A

(2)B

(3)A

(2)∵a=ln

1.012=ln

1.020

1>ln

1.02=b,∴排除A,D.∴f'(x)≤0,且f'(x)不恒为0.∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,当0≤x<2时,x2≤2x⇒1+2x+x2≤1+2x+2x,即(1+x)2≤1+4x,∴g'(x)≥0在区间(0,2)内成立,且g'(x)不恒为0.∴g(x)在区间[0,2)内单调递增,∴g(0.01)>g(0)=0,即a-c>0,∴a>c.综上可得,a>c>b.故选B.所以h(x)≤0,所以f'(x)≤0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递减.又函数f(x+1)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,规律方法函数单调性的应用(1)比较函数值的大小:有些函数的单调性不容易判断,可以通过求导的方法求出函数的单调性,再由函数的单调性比较函数值的大小,比较大小应注意将自变量的取值放在同一单调区间;(2)解函数不等式:解函数不等式就是利用函数在某个区间内的单调性得出两个变量的大小,然后解不等式,解题时要注意函数的定义域.对点练2(1)(2022·山西太原一模)设函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)·f'(x)>x恒成立,则(

)A.f(1)<f(-1) B.f(1)>f(-1)C.|f(1)|<|f(-1)| D.|f(1)|>|f(-1)|(2)设a=2e-0.2,b=e0.2,c=1.2,则(

)A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<b<a答案

(1)D

(2)D

(2)设f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1.当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<0时,f'(x)<0,f'(x)单调递减,所以f(x)≥f(0)=0,即ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立,所以a=2e-0.2>2×(-0.2+1)=1.6,b=e0.2>0.2+1=1.2,所以c=1.2最小.考向2求参数的范围或讨论函数的零点

A.3 B.4 C.5 D.6答案

(1)B

(2)B

(3)A

当x∈(1,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,(3)当x≤0时,f(x)=xex+1,f'(x)=(1+x)ex+1.当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当-1<x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)min=f(-1)=-1;当x→-∞时,f(x)→0;当x=0时,f(x)=0;当x>0时,f(x)=exln

x,f'(x)=e(1+ln

x).由图可知f(x)=1对应的根有1个,f(x)=-1对应的根有2个,∴函数g(x)=|f(x)|-1零点的个数为3.故选A.解题技巧1.已知函数的单调性求参数范围求函数的导数可以判断函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性,则也可以通过其导数大于等于0或小于等于0求参数的范围.2.解决不等式恒成立时求参数范围问题的基本方法(1)求最值法:将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.(2)分离参数法:将参数分离出来,进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式,即得参数的范围.3.判断函数零点个数或求参数范围(1)对于不含参数的函数,通过讨论函数的单调性或值域,作出函数的图象,就能判断出函数零点的情况;(2)若f(x)=0中的参数a易分离,转化成a=h(x)的形式,函数零点问题就转化为与x轴平行的直线y=a和函数y=h(x)的图象的交点问题,分析y=h(x)的单调性或值域,即可判断函数的零点,由此也可求得参数范围;(3)若f(x)=0中的参数不易分离,可将f(x)转化为f(x)=g(x)-h(x)的形式,那么g(x),h(x)两图象交点的横坐标就是函数f(x)的零点,因此,作出g(x),h(x)的图象,根据交点情况求零点个数或参数范围.对点练3(1)(2021·辽宁大连二模)已知函数f(x)=sinx-ax是R上的减函数,则实数a的取值范围为(

)A.(-∞,-1] B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.[1,+∞)(2)(2022·陕西榆林一模)已知函数f(x)=4lnx-kx-k+8,若关于x的不等式f(x)≤0恒成立,则k的取值范围为(

)A.[1,+∞) B.[e,+∞)C.[4,+∞) D.[e2,+∞)(3)(2022·陕西榆林一模)已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|有四个零点,则实数a的取值范围是(

)A.(5,+∞) B.(1,5)C.(1,+∞) D.(0,1)∪(5,+∞)答案

(1)D

(2)C

(3)D

解析

(1)因为f(x)是R上的减函数,所以f'(x)=cos

x-a≤0恒成立,即a≥cos

x.因为-1≤cos

x≤1,所以a≥1.故选D.(2)函数的定义域为(0,+∞),f(x)≤0等价于k(x+1)≥8+4ln

x,即转化为直线y=k(x+1)恒在函数y=8+4ln

x的图象上方,直线过定点(-1,0).当直线与曲线x0ln

x0+x0-1=0有唯一解x0=1,从而k0=4,故k≥4.(3)当x=0时,f(0)=1≠0,所以x=0不是f(x)的零点;考点三函数的极值、最值考向1函数存在极值或最值的判别典例突破4(1)(2021宁夏银川二中高三模拟)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,给出下列说法:①-3是函数y=f(x)的极值点;②-1是函数y=f(x)的最小值点;③y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增;④y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零.以上正确说法的序号是(

)A.①②

B.③④ C.①③

D.②④

(2)(2022·山西吕梁一模)“c=6”是“函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案

(1)C

(2)C

解析

(1)由图得当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,∴y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故③正确;则-3是函数y=f(x)的极小值点,故①正确;∵在(-3,1)上单调递增,∴-1不是函数y=f(x)的最小值点,故②不正确;∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,∴切线的斜率大于零,故④不正确.故选C.(2)f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c).由f'(2)=0,得c=2或6.当c=6时,由f'(x)>0,得x>6或x<2;由f'(x)<0,得2<x<6,∴f(x)在x=2处有极大值,∴“c=6”是“函数f(x)在x=2处有极大值”的充要条件.故选C.解题技巧1.利用导数判别函数存在极值或最值的方法(1)如果f'(x)在(a,x0)上满足f'(x)<0,在(x0,b)上满足f'(x)>0,则f(x0)为极小值点;(2)如果f'(x)在(a,x0)上满足f'(x)>0,在(x0,b)上满足f'(x)<0,则f(x0)为极大值点;(3)如果f'(x)在区间(a,b)上不变号,则f(x0)不是极值点;(4)函数的最值通过比较闭区间端点函数值与极值的大小来确定,函数在区间(a,b)上有唯一极值点,则这个极值点也是最大(小)值点.2.易错警示(1)不能忽略函数f(x)的定义域.(2)f'(x0)=0是可导函数在x=x0处取得极值的必要不充分条件.(3)函数的极小值不一定比极大值小.对点练4(1)(2022·河北邢台月考)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的极值点的个数为(

)A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2022·陕西榆林三模)已知函数f(x)=x-asinx,则“a=2”是“x=是f(x)的一个极小值点”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案

(1)A

(2)C

解析

(1)因为在x=0附近左、右两边的导数值均为负数,所以0不是极值点,导函数图象与x轴的另外四个交点附近左右正、负值相反,所以函数f(x)有4个极值点.故选A.(2)f'(x)=1-acos

x.若a=2,则f'(x)=1-2cos

x.考向2由函数的极值、最值确定参数的范围典例突破5(1)(2022·陕西金台一模)已知函数f(x)=xlnx-ax2有两个极值点,则实数a的取值范围是(

)C.(0,1) D.(0,+∞)(2)(2022·全国乙·理16)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是

.

(2)依题意,f'(x)=2axln

a-2ex,x1,x2为方程f'(x)=0的两根,x1<x2.令g(x)=axln

a-ex,则g'(x)=ax(ln

a)2-e.若a>1,则g'(x)在R上单调递增,此时由x1,x2为方程f'(x)=0的两根,可知存在x0∈(x1,x2),使g'(x)=0,所以g(x)在区间(-∞,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增.又g(x1)=0,g(x2)=0,所以f(x)在区间(-∞,x1)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,在区间(x2,+∞)内单调递增,所以x1为f(x)的极大值点,x2为f(x)的极小值点,不符合题