适用于老高考新教材2023届高考数学二轮总复习考点突破练6空间几何体的结构表面积与体积含解析

Page8考点突破练6空间几何体的结构、表面积与体积一、选择题1.(2022·广东深圳一模)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.8π B.4πC.8 D.42.(2022·湖北武汉二模)如图,在棱长为2的正方体中,以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体,则该正八面体的体积为()A.223 B.C.423 D3.(2022·江苏无锡二模)已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为23,高为6,则球O的表面积为()A.32π B.48π C.64π D.80π4.(2022·山东菏泽一模)如图1,在高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水,水深为2,然后固定容器底面的一边AB于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面恰好为A1B1C(如图2),则容器的高h为()图1图2A.3 B.4 C.42 D.65.(2021·全国甲·理11)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为()A.212 B.312 C.246.(2022·山东济宁二模)一个圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为()A.2∶3 B.3∶2 C.1∶2 D.3∶47.(2022·全国甲·文10)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲A.5 B.22C.10 D.58.(2022·天津南开中学模拟)棱长为23的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球,则这些小球的最大半径为()A.2 B.22C.24 D.9.(2022·河北衡水模拟)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒,每盒可装7个球形巧克力,每盒只装一层,相邻的球形巧克力相切,与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切,如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面,设包装盒的底面半径为R,球形巧克力的半径为r,每个球形巧克力的体积为V1,包装盒的体积为V2,则()A.R=6r B.R=4rC.V2=9V1 D.2V2=27V110.(2022·山东青岛一模)已知圆台的轴截面如图所示,其上、下底面半径分别为r上=1,r下=2,母线AB长为2,E为母线AB中点,则下列结论错误的是()A.圆台母线AB与底面所成角为60°B.圆台的侧面积为12πC.圆台外接球半径为2D.在圆台的侧面上,从C到E的最短路径的长度为511.如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,E-ACF的体积分别为V1,V2,V3,则()A.V3=2V2 B.V3=2V1C.V3=V1+V2 D.2V3=5V112.(2022·江苏七市第二次调研)在正六棱锥P-ABCDEF中,已知底面边长为1,侧棱长为2,则下列说法中错误的是()A.AB⊥PDB.共有4条棱所在的直线与AB是异面直线C.该正六棱锥的内切球的半径为15D.该正六棱锥的外接球的表面积为16二、填空题13.(2020·江苏·9)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.

14.(2022·河北邢台模拟)已知圆锥的母线与底面半径之比为3∶1,若一只蚂蚁从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为9,则该圆锥的体积为.

15.(2022·湖南湘潭三模)陀螺的形状结构如图所示,由一个同底的圆锥和圆柱组合而成,若圆锥和圆柱的高以及底面圆的半径长分别为h1,h2,r,且h1=h2=r,设圆锥的侧面积和圆柱的侧面积分别为S1和S2,则S1S2=16.(2022·广东广州二模)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=CD=CB=1,将△ACD沿AC折起,连接BD,得到三棱锥D-ABC,则三棱锥D-ABC体积的最大值为.

考点突破练6空间几何体的结构、表面积与体积1.A解析:以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,旋转一周得到的旋转体为圆柱,其底面半径r=2,高h=2,故其侧面积为S=2πr×h=2π×2×2=8π.2.B解析:该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成,且正四棱锥的底面是边长为2的正方形,棱锥的高为1,所以该正八面体的体积为2×13×23.C解析:因为6>23,故球心在圆锥的内部且在圆锥的高上.设球O的半径为R,则(6-R)2+(23)2=R2,解得R=4,故球O的表面积S=4πR2=64π.4.A解析:由题可得,在图1中,V水=12×2×2×2=4,在图2中,V水=VABC-A1B1C1-VC-A1B1C1=125.A解析:AC⊥BC,AC=BC=1,设O1为AB的中点,连接CO1,OO1,则CO1=22,由题意OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=OC2-CO12=6.A解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,圆锥的高为h,内切球的半径为R,其轴截面如图所示,O为内切球球心.因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,所以πl=2πr,得l=2r,即PA=PB=2r,所以PD=PB2-BD2由图可知,△POE∽△PBD,所以POPB=OEBD,即3r-R2r=Rr,解得R=33r,所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为(4πR2)∶(πrl)7.C解析:如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以V甲V8.C解析:由题意知,和正四面体A-BCD的三个侧面以及内切球都相切的小球的半径最大.设内切球球心为O,半径为R,空隙处的最大球球心为O1,半径为r.G为△BCD的中心,易知AG⊥平面BCD,E为CD中点,球O和球O1分别与平面ACD相切于点F和点H.由题得,BE=(23则BG=23BE=2,AG=(23)由VA-BCD=VO-BCD+VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD,可得R=3V又VA-BCD=13×23×3×22×12=26,S△BCD=S△ABC=S△ABD=S△ACD=12×23×3=33,故R=22,AO1=AG-GO1=22-2×22-r=2-r,AO=AG-GO=22-22=329.D解析:由图可知R=3r,故A错误,B错误;由题可知包装盒的高为2r,故V2=πR2×2r=18πr3.又V1=43πr3,所以2V2=27V1,故C错误,D正确10.B解析:如图,设O1,O2分别为圆台下、上底面的圆心,对于A,过点A作AF∥O1O2交BC于点F,因为O1O2⊥底面,则AF⊥底面,所以∠ABF即为母线AB与底面所成角.在等腰梯形ABCD中,AB=2,BF=2-1=1,所以cos∠ABF=BFAB因为∠ABF为锐角,所以∠ABF=60°,故A正确.对于B,由圆台侧面积公式知S侧=π(r上+r下)·AB=π(1+2)×2=6π,故B错误.对于C,设圆台外接球的球心为O,半径为R.由题意可得,O1B=2,O2A=1,O1O2=22设OO1=a,则OO2=3-a.由R=OA=OB,即12+(3-a)2=22对于D,如图所示,在圆台的侧面上,从点C到点E的最短路径的长度为CE.由题意可得,FB=FC=4,AB=2.由E为AB的中点,得FE=3,又弧BB'的长为2πr下=4π=π·FB,所以圆台的侧面展开图为半圆环,所以CE=CF2+11.C解析:设AB=ED=2FB=2a,因为ED⊥平面ABCD,FB∥ED,则V1=13·ED·S△ACD=13·2a·12·(2a)2=4V2=13·FB·S△ABC=13·a·12·(2a)2=23a3,连接BD交AC于点M,连接EM,FM,易得又ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,则ED⊥AC.又ED∩BD=D,ED,BD⊂平面BDEF,则AC⊥平面BDEF,又BM=DM=12BD=2a,过F作FG⊥DE于G,易得四边形BDGF为矩形,则FG=BD=22a,EG=a则EM=(2a)2+(2a)2=6a,FM=a2+(则EM⊥FM,S△EFM=12EM·FM=322a2,AC=2则V3=VA-EFM+VC-EFM=13AC·S△EFM=2a3,则2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,故A,B,D错误;C正确.故选C12.A解析:设底面中心为O,则在正六棱锥P-ABCDEF中,PO⊥平面ABCDEF,∴PO⊥AB.对于A,若PD⊥AB,则AB⊥平面POD,则AB⊥OD,即AB⊥AD,与已知矛盾,故A错误;对于B,AB与直线PC,PD,PE,PF异面,故B正确;对于C,设内切球半径为r,取AB中点M,PA=PB=2,BM=12,OM=32,∴PM=∴S△PAB=12×1∴S侧=154×6=3152,S底=6在Rt△POM中,PO=PM由等体积法得13×332对于D,设外接球半径为R,则(3-R)2+1=R2,解得R=233,故外接球的表面积为S=4πR2=1613.123-π2解析:∵底面正六边形的面积S正六边形=6×1圆柱底面圆的面积S圆=π·12∴六角螺帽毛坯的体积V=63-π4×14.26π解析:设母线长为l,底面半径为r,侧面展开图的圆心角为θ,则θ=2πrl.由已知得lr=3,联立解得圆锥的侧面展开图为扇形,如图所示,则∠OAB=π6.从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为AB则l=OA=12ABcos∠OAB=33,即r=3,则圆锥的高为h=27-3=26,故该圆锥的体积为V=1315.22解析:由题意,圆锥的母线长为l=h12+r2=2r,则圆锥的侧面积为S1=πrl=2πr2.根据圆柱的侧面