( 线性代数)二次型与对称矩阵的有定性

二次型与对称矩阵的有定性

根据二次型的标准形和规范形

将二次型进行分类在理论上具有重要意义

在工程技术和最优化等问题中有着广泛应用

其中

最常用的是二次型标准形系数全为正或全为负的情形

定义5

4(二次型的有定性)

具有对称矩阵A的二次型

f(x)

xTAx如果对于任何x

(x1

x2

xn)T

0

都有

xTAx

0(或

0)成立

则称f(x)

xTAx为正定(负定)二次型

矩阵A称为正定矩阵(负定矩阵)

如果对于任何x

(x1

x2

xn)T

都有

xTAx

0(或

0)且有x0

0

使x0TAx0

0

则称二次型f(x)

xTAx为半正定(半负定)二次型

矩阵A称为半正定(半负定)矩阵

例2

二次型

f(x1

x2

x3)

x12

2x1x2

4x1x3

x22

4x2x34x32是半负定二次型

是正定二次型

矩阵In是正定矩阵

例1

二次型

f(x1

x2

xn)

x12

x22

xn2

当(x1

x2

xn)T

0时

f(x1

x2

xn)

0

且f(1

1

1)

0

例3

f(x1

x2)

x12

2x22是不定二次型

因为其符号有时正有时负

例如f(1

1)

1

0

f(2

1)

2

0

f(x1

x2

x3)

(x1

x2

2x3)2

0

这是因为

这是因为

定理5

6

设A为正定矩阵

如果A~B

则B也是正定矩阵

即B是正定矩阵

yTBy

令x

Cy

|C|

0

由A~B可知

证

存在非奇异矩阵C

使CTAC

B

对任意y

0均有x

0

因此

xTAx

0(因A为正定矩阵)

(Cy)TA(Cy)

yTCTACy定理5

6

设A为正定矩阵

如果A~B

则B也是正定矩阵

定理5

7(对角矩阵正定性判别法)

对角矩阵为正定矩阵的充分必要条件是

di

0(i

1

2

n)

分析定理5

8(正定性判别法)

矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C

使A

CTC

即A合同于单位矩阵

当AT

A时则有由定理5

6及定理5

7可知

若A为正定矩阵

则正惯性指标p

n

即A~In

反之

若A~In

则A正定

即存在非奇异矩阵C

使A

CTInC

CTC

此时|A|

|C|2

0

推论1(用惯性指标判别正定性)

矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标p

n

推论2

如果A为正定矩阵

则|A|

0

说明定理5

8(正定性判别法)

矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C

使A

CTC

即A合同于单位矩阵

注意

反之

结论未必成立

例如推论1(用惯性指标判别正定性)

矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标p

n

推论2

如果A为正定矩阵

则|A|

0

但A不是正定矩阵

定理5

8(正定性判别法)

矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C

使A

CTC

即A合同于单位矩阵

推论1(用惯性指标判别正定性)

矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标p

n

推论2

如果A为正定矩阵

则|A|

0

定理5

9

对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特征值都是正数

举例定义5

5(顺序主子式)

设n阶矩阵行列式称为A的k阶顺序主子式

定理5

10(正定性的判别法)

矩阵A

(aij)n

n为正定矩阵的充分必要条件是A的所有的顺序主子式都大于零

即|Ak|

0(k

1

2

n)

矩阵A

(aij)n

n为负定矩阵的充分必要条件是

(

1)k|Ak|

0(k

1

2

n)半正定(半负定)的判别法

(1)对称矩阵A是半正定(半负定)矩阵的充分必要条件是A的所有主子式大于(小于)或等于零

(2)对称矩阵A是半正定(半负定)矩阵的充分必要条件是A的全部特征值大于(小于)或等于零

应注意的问题

一个实对称矩阵A的顺序主子式全大于零或等于零时

A未必是半正定的

二次型f(x1

x2

x3)的矩阵为

解

A的各顺序主子式因此

f(x1

x2

x3)为正定

二次型f(x1

x2

x3)的矩阵为

解

A的各顺序主子式故

5时

A的各顺序主子式都大于零

二次型f(x1

x2

x3)为正定二次型

例6证明

如果A为正定矩阵

则A

1也是正定矩阵

若A为正定矩阵

则AT

A

所以

(A

1)T

(