分析力学第二章虚功原理及应用课件

第二章虚功原理及其应用§1、虚位移原理虚位移原理，亦称虚功原理，其表述如下：在不可解、理想、完整、稳定的约束下，力学系统平衡的充要条件是作用在系统上的主动力在任何虚位移中所作元功之和等于零。注：平衡是指在诸主动力作用下系统仍然保持原来状态。证明：[必要性]由已知推结论设力学体系由N个质点组成，受k个完整约束。对第i个质点来说，平衡时应有1.虚位移原理及其证明设每一个质点在平衡位置发生一个虚位移,则作虚功为:第二章虚功原理及其应用§1、虚位移原理虚位移原理，亦称虚于是或[充分性]反推由结论推导已知对所有质点取和：由于约束是不可解的、理想的，因此有于是或[充分性]反推由结论推导已知对所有质点取和：由于约束是设主动力的虚功之和为零，即；但质点系不平衡；这意味着质点系中必有部分质点由静止进入运动，现取这样的一个质点来分析。当质点不平衡时作用在其上的主动力与约束力的合力不为零，即此质点将沿着其所受的合力的方向由静止开始运动，故做正功为：因此，对于整个质点系有设主动力的虚功之和为零，即但在理想约束下，；于是有由于质点系受到的约束是稳定的完整约束，所以实位移是虚位移中的一个，因此必有某一虚位移与实位移重和，即。因此显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。但在理想约束下，2.虚位移原理的各种形式(1).矢量形式(2).广义坐标形式假设N个质点组成的质点系，受到k个不可解、理想、稳定的约束，则可取s=3N-k个独立的广义坐标来表示出任意质点位矢，即变分得：2.虚位移原理的各种形式(1).矢量形式(2).广义坐-----虚功原理的广义坐标形式它表明受理想约束的体系处于平衡的充要条件是所有作用在体系上的广义力等于零，即定义：为对应于广义坐标的广义力，则有-----虚功原理的广义坐标形式它表明受理想约束的体系处于平若不用广义坐标对虚功原理作变换，仍采用不独立的直角坐标形式，则不能直接用来求解具体的问题，这时需要应用拉格朗日不定乘子法求解。3.虚功原理的意义(1).虚功原理是静力学的最普遍的原理，由它可以推导出全部静力学。(2).虚位移原理是从功的观点来研究力学系统的平衡的，而几何静力学是从力的观点来研究平衡的。(3).当系统有较多约束时，利用分析静力学的方法解静力学问题比几何静力学简单得多。(4).虚功原理与达朗伯原理联合而构成动力学普遍方程，因此虚功原理是分析力学的一个基本原理。若不用广义坐标对虚功原理作变换，仍采用不独立的直角坐标形式，§2、虚位移原理的应用1.用虚功原理解静力学问题例1.离心调速器如图，已知小球AB的重量都是P，套筒C和各杆的重量均不计，套筒的尺寸和系统摩擦也不计。AD=BC=b，OC=OD=a，在铅直轴上作用一力偶，其力偶矩为M。若取调速器转角为及杆AD和BC与铅直线间的夹角为广义坐标，求对应的广义力和。ABCDPPOxy解：建如图直角坐标系,系统所做虚功为：§2、虚位移原理的应用1.用虚功原理解静力学问题例1.ABCDPPOxy由于是相互独立的，有ABCDPPOxy由于是相互独立例2.如图所示的劈，求平衡时之间的关系。BAC解：取三物体为系统，设各接触面都是光滑的且满足理想约束条件。系统有两个自由度。取直角坐标xoy，劈尖C(x,y)为广义坐标，。由虚功原理：由几何关系写出约束方程：例2.如图所示的劈，求平衡时由于是相互独立的，故得平衡条件：例3.如图所示，均匀杆AB长为a，重P，约束在一个固定光滑的铅直圆环中。圆环的半径为R，求其平衡位置。yxABCo解：根据已知知道该系统有三个约束条件，自由度为s=1.设Ａ、Ｂ、C三点坐标分别为由于是相互独立的，故得平衡条件：例因此取杆重心C的纵坐标为广义坐标，则杆的位置完全确定。平衡时，虚位移原理为：yxABCo因此取杆重心C的纵坐标为广义坐标，则杆的位置完全确定。平解：我们只要能确定A、B两点的位置，问题就可解决。因为这是一个平面问题，确定A、B两点的位置需要四个坐标，但有两个约束方程:

所以只有两个自由度。现取

及

为两个广义坐标。因两杆均匀，则和两重力作用点分别在两杆的中点。设此两中点的坐标分别为和,并设的作用点B的坐标,则由虚功原理，有例4.均匀杆OA，重，长为，能在竖直平面内绕固定光滑铰链O转动，此杆的A端用光滑铰链连接另一重为，长为的均匀杆AB。在AB杆的B端加一水平力。求平衡时此两杆与水平线所成的角度

及

。解：我们只要能确定A、B两点的位置，问题就可解决。因为这分析力学第二章虚功原理及应用课件因

及

互相独立，所以有由此得到

、

的解为：因及互相独立，所以有由此得到、的解为：2.利用虚位移原理求平衡位置及其稳定性N个质点组成的保守系统，每个质点的作用力都具有势函数V,则代入虚位移原理得：(1).力有势函数的平衡条件2.利用虚位移原理求平衡位置及其稳定性N个质点组成的保守系这表明具有势函数时的平衡条件是势函数具有稳定值，此时系统处于平衡状态。(2).平衡位置的稳定性设质点系仅有一个自由度且独立参数为q，势函数是V(q)，是此质点系的一个平衡位置，即V(q)泰勒展开得：

这表明具有势函数时的平衡条件是势函数具有稳定值，此时系统处于为V(q)的极大值为V(q)的极小值若取q为广义坐标，则对应的广义力：为V(q)的极大值为V(q)的极小值若取q为广义坐标，则对应广义力Q与位移反号，Q使系统恢复到平衡位置，即在处系统是稳定平衡广义力Q与位移同号，即在处系统是不稳定平衡不能确定平衡的稳定性若则有(i).当n为偶数，时为极大值，则系统是不稳定平衡.广义力Q与位移反号，Q使系统恢复到平衡位置，广义力Q(ii).当n为偶数，时为极小值，则系统是稳定平衡.对于两个自由度系统，设为它的广义坐标，其势能函数为：

系统平衡条件为：将在点附近做泰勒级数展开：(ii).当n为偶数，时为极小值，则系取则有非极值问题不能确定为极值是极大值系统处于不稳平衡是极小值系统处于稳定平衡取则有非极值问题不能确定为极值是极大值是极小例２．在光滑的圆柱上放置着长为２b，重量同为P的两均匀杆．两杆用光滑铰链相联结，求其平衡位置并讨论它的稳定性．已知圆柱半径为a.AOCazyhbb解：此系统自由度为２，设铰链A与圆柱中心O连线AO与杆的夹角为，与铅垂线夹角为，则两杆的合重心C离O的高度h为：系统的势能为：和应满足条件：系统平衡条件为：例２．在光滑的圆柱上放置着长为２b，重量同为P的两均匀杆．两即这就是平衡位置为判断稳定性，计算二阶偏导：即这就是平衡位置为判断稳定性，计算二阶偏导：分析力学第二章虚功原理及应用课件时，才存在极值。而表明系统的平衡为稳定的，

表示杆的重心C应在圆柱中心O的下面。时，才存在极值。而表明系统的平衡为A

一滑轮组由一定滑轮A与n个动滑轮所组成。试求平衡时被举起的重物Q与作用于绳子一端的力P之比值。A一滑轮组由一定滑轮A与n个动滑轮所组成。试求平衡时被举起2.一小球M在一光滑管内，此管成一长轴为2a的椭圆形状并位于水平面内。此球受椭圆二焦点的吸引，引力和距离平方成反比，其中一焦点吸引力的比例系数为，另一个为。求小球在平衡位置时的矢径r及b.rbMAByx2.一小球M在一光滑管内，此管成一长轴为2a的椭圆形状并位3.均匀杆AB=a，重P，一端靠在铅垂光滑墙面上，另一端在光滑地面上。如欲使杆在铅垂面内任意位置都能平衡，试求此地面的形状。AByxO3.均匀杆AB=a，重P，一端靠在铅垂光滑墙面上，另一端在7.一匀质杆AB长为2a，依于曲线导板上，导板形状是半径为R的半圆，不计摩擦。求平衡位置并讨论其稳定性。BAOyxR7.一匀质杆AB长为2a，依于曲线导板上，导板形状是半径为R8.一个均匀杆AB长为2a，其B端与光滑垂直壁相接触，并靠在与壁相距为b的光滑固定钉上如图。试确定杆的平衡位置并讨论其稳定性。BAb8.一个均匀杆AB长为2a，其B端与光滑垂直壁相接触，并靠在9.质量为的两质点A、B，用长为a的细线相连接。挂在光滑的固定钉O上，B铅垂向下，