2024届福建省厦门市湖里区双十中学高一上数学期末统考试题含解析

2024届福建省厦门市湖里区双十中学高一上数学期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知命题p：“”，则为（）A. B.C. D.2．“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．下列向量的运算中，正确的是A. B.C. D.4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（）A.1 B.2C.3 D.45．已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.6．已知、为非零向量，“=”是“=”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B.y=tanxC.y=lnx D.y=x|x|8．定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（）A.338 B.337C.1678 D.20139．若，则A. B.C.1 D.10．已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知点是角终边上一点，且，则的值为__________.12．设，则a，b，c的大小关系为_________.13．已知集合，则___________14．已知函数，若在区间上的最大值是，则_______；若在区间上单调递增，则的取值范围是___________15．若则函数的最小值为________16．函数，的图象恒过定点P，则P点的坐标是_____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=CD=1，BC=2，PD=（Ⅰ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P-AB-C的正切值18．如图，某公园摩天轮的半径为40，圆心O距地面的高度为50，摩天轮做匀速转动，每3转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.（1）已知在时点P距离地面的高度为，求时，点P距离地面的高度；（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.19．自新冠疫情爆发以来，全球遭遇“缺芯”困境，同时以美国为首的西方国家对中国高科技企业进行打压及制裁．在这个艰难的时刻，我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售．经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x（千台）电脑需要另投成本（万元），且，另外，每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出．已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）当年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？并求最大年利润20．求解下列问题（1）已知，且为第二象限角，求的值.（2）已知，求的值21．已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）请判断函数是否可能有两个零点，并说明理由；（3）设，若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据命题的否定的定义判断【题目详解】特称命题的否定是全称命题命题p：“”，的否定为：故选：C2、A【解题分析】分别讨论充分性与必要性，可得出答案.详解】由题意，，显然可以推出，即充分性成立，而不能推出，即必要性不成立.故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.【题目点拨】本题考查充分不必要条件，考查不等式的性质，属于基础题.3、C【解题分析】利用平面向量的三角形法则进行向量的加减运算，即可得解.【题目详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.【题目点拨】本题考查平面向量的三角形法则，属于基础题.解题时，要注意向量的起点和终点.4、A【解题分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【题目详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误；对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误；综上，其中正确命题是②，只有个.故选：【题目点拨】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.5、B【解题分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可.【题目详解】因为是上的偶函数，在上单调递增，所以在上单调递减，.又因为，因为，在上单调递减,所以，即.故选：B.6、A【解题分析】根据“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.【题目详解】已知、为非零向量，故由可知，；当时，比如，推不出，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A7、D【解题分析】由奇偶性排除AC，由增减性排除B，D选项符合要求.【题目详解】，不是奇函数，排除AC；定义域为，而在上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C错误；满足，且在R上为增函数，故D正确.故选：D8、B【解题分析】,,即函数是周期为的周期函数.当时,,当时,.,,故本题正确答案为9、A【解题分析】由，得或，所以，故选A【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系10、C【解题分析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果.【题目详解】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，得，由得，所以，故函数在之间至少存在一个零点，由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点，所以函数在之间至少存在3个零点.故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由三角函数定义可得,进而求解即可【题目详解】由题,,所以,故答案为：【题目点拨】本题考查由三角函数值求终边上的点,考查三角函数定义的应用12、【解题分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得到，，，从而可比较a，b，c的大小关系.【题目详解】因为，，，所以.故答案为：.13、【解题分析】根据集合的交集的定义进行求解即可【题目详解】当时，不等式不成立，当时，不等式成立，当时，不等式不成立，当时，不等式不成立，所以，故答案为：14、①.②.【解题分析】根据定义域得，再得到取最大值的条件求解即可；先得到一般性的单调增区间，再根据集合之间的关系求解.【题目详解】因为，且在此区间上的最大值是，所以因为f(x)max=2tan=，所以tan==，即ω=由，得令，得，即在区间上单调递增又因在区间上单调递增，所以<，即所以的取值范围是故答案为：1，15、1【解题分析】结合图象可得答案.【题目详解】如图，函数在同一坐标系中，且，所以在时有最小值，即.故答案为：1.16、【解题分析】令，解得，且恒成立，所以函数的图象恒过定点；故填.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）.【解题分析】（Ⅰ）证明，则，又PD⊥PB即可证明平面（Ⅱ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，DF与平面所成的角等于AB与平面所成的角，为直线DF和平面所成的角，在中，求解即可（Ⅲ）说明是二面角的平面角，在直角梯形ABCD内可求得，而，在中，求解即可【题目详解】（Ⅰ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB与BC相交于点B，所以，PD⊥平面PBC.（Ⅱ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=CF=1又AD⊥DC，故BC⊥DC，ABCD为直角梯形，所以，DF=.

在Rt△DPF中，PD=，DF=，sin∠DFP==所以，直线AB与平面PBC所成角为30°.（Ⅲ）设E是CD的中点，则PE⊥CD，又AD⊥平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.

在平面ABCD内作EG⊥AB交AB的延长线于G，连EG，则∠PGE是二面角P-AB-C的平面角．在直角梯形ABCD内可求得EG=，而PE=，所以，在Rt△PEG中，tan∠PGE==所以，二面角P-AB-C的正切值为【题目点拨】本题考查二面角的平面角以及直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用,要正确地找出线面角及二面角的平面角，然后解三角形即可.18、（1）70；（2）0.5.【解题分析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；（2）要求，即，解不等式即可.【题目详解】（1）依题意，，，，由得，所以.因为，所以，又，所以.所以，所以.即时点P距离地面的高度为70m.（2）由（1）知.令，即，从而，∴.∵，∴转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌.【题目点拨】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是能根据题目条件，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后再由三角函数中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，是中档题19、（1）（2）当年产量为100（千台）时，企业所获年利润最大，最大年利润为万元.【解题分析】（1）根据2021年共售出10000台平板电板电脑，企业获得年利润为1650万元，求出，进而求出（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）分别求出与所对应的函数关系式的最大值，比较后得到答案.【小问1详解】10000台平板电脑,即10千台，此时，根据题意得：，解得：，故当时，，当时，，综上：；【小问2详解】当时，，当时，取得最大值，；当时，，当且仅当，即时，等号成立，，因为，所以当年产量为100（千台）时，企业所获年利润最大，最大年利润为万元.20、（1）（2）【解题分析】（1）结合同角三角函数的基本关系式求得.（2）结合同角三角函数的基本关系式求得、，从而求得.【小问1详解】，且为第二象限角，，.【小问2详解】，，又，，.21、（1）（2）不可能，理由见解析（3）【解题分析】（1）结合