北京市延庆区2021届高三上学期统测(9月)考试数学试题

2020-2021学年第一学期高三年级统测试卷数学第一部分(选择题，共40分)、单项选择题共10小题，每小题4分，共40分。(1)已知集合A={%Il%l<3},B={%Il%l>1},则AUB=(A)R (B)(1,3) (C)(-3,-1) (1,3)(D){-2,2}U(2)已知向量a=(1,k),b=(k,2)，若a与b方向相反，则k等于(A)1 (B)±\2 (C)-%2 (D)√2→一——(3)圆(％-3>+Q-4>=1上一点到原点的距离的最大值为(A)4 (B)5 (C)6 (D)7(4)下列函数中,在其定义域上是减函数的是(A)y=——%(B)y=tan(-%)(C)y=-e-%(D)-%+2,%≤0一%—2,%>0(5)若α为第三象限角，则(A)cos2α>0 (B)cos2α<0 (C)sin2α>0(D)sin2α<0(6)设抛物线y2=4%的焦点为F，准线为l.P是抛物线上的一点，过P作PQ1%轴于Q,若PF=3，则线段PQ的长为(A)√2(B)22√23√2(7)已知函数f(x)=一x+1+logX，则不等式f(X)<0的解集是2(A)(0,2) (B)(-∞,1)(2,+∞) (C)(1,2) (D)(0,1)(2,+∞)U U(8)已知直线a,b，平面α,P,aIIa，那么“a!β”是“αlβ”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(9)在平面直角坐标系XQy中，将点A(2,1)绕原点O逆时针旋转90。到点B，设直线OB与X轴正半轴所成的最小正角为a，则Sina等于(A)-255 (B)-3 (C)= (D)芋(10)某企业生产A,B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和20万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg2=0.3010)(A)2年 (B)3年 (C)4年 (D)5年第二部分(非选择题，共110分)二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.(11)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=1(AC+AD)，则pa.PB乙(12)将数列｛2n-1｝与｛3n-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛an｝,贝弘an｝的前4项的和为.(13)将函数y=3siη(2x+∏)的图象向右平移ɪ个单位长度后得到函数g(x)的图象，给出下列四个结论：π3 一 π①g(-)=-3； ②g(X)在(0,-)上单调递增；82 2--③g(X)在(--,-)上有两个零点；④g(X)的图象中与y轴最近的对称轴的方程是X=M.其中所有正确结论的序号是 ．(14)设O为坐标原点，直线X=a与双曲线Ux2-22=1(a>0,b>0)的两条渐近线分a2b2别交于D,E两点，若AODE的面积为4,则C的焦距的最小值为.三、解答题共6小题，共90分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(15)(本小题15分)A,B,C三个班共有180名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长,数据如下表(单位：小时)：A班121313182021B班1111.5121315.517.520C班1113.5151616.51921(I)试估计B班的学生人数;(II)从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率;(ΠD从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.(16)(本小题15分)如图，在三棱柱ABC—A1BR中，CC11平面ABC,AC±BC,AC=BC=2,CC=3，点D,E分别在棱AAI和棱CC上且AD=1CE=2,M为棱A1勺，11的中点.(I)求证：DE1BC；(II)求证：CM〃平面DBE；

1 1(Π)求二面角A-DE-B1的余弦值.(17)(本小题15分)设｛a｝是公比不为1的等比数列，na3=4，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(I)求｛a｝的公比；n(II)求数列｛2n+a｝的前n项和.n条件①：a为a,a的等差中项；条件②：设数歹INa｝的前n项和为S,S-S=2.1 23 n n31注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.(18)(本小题15分)^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知B=60°.(I)若SinA=2sinC,b=√3，求AABC的面积；(II)若sinC-sinA=ʌɪ，求角C.2(19)(本小题15分)已知椭圆C：上+”=1(a>b〉0)过点A(-2,0),点B为其上顶点，且直线ABa2b2斜率为手.(I)求椭圆C的方程；(II)设P为第四象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M,直线PB与％轴交于点N，求四边形ABNM的面积.(20)(本小题15分)已知函数f(X)=(2-a)cosX-XsinX.(I)当a=0时，求函数f(X)在点(0,f(0))处的切线方程；(I)当a〉4,XE[0,π]时，求函数f(X)的最大值；2(III)当1<a<2,XE[--,π]时，判断函数f(X)的零点个数，并说明理由.22高三数学统测试卷参考答案一、单项选择题:（每小题4分，共10小题，共40分.）A2.C 3.C 4.D 5.C6.C 7.D 8.A9.D10.C二、填空题:（每小题5分，共4小题，共20分）3； 12.40； 13.①③； 14.4√,214题选对一个给3分，有错误不给分三、解答题：（共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.）15.（I）由题意知，抽出的20名学生中，来自B班的学生有7名.根据分层抽样方法，B班的学生人数估计为180X—=63人.20只有结果63扣1分(II)设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D包含的选法有3+3+4=10种，P(D)=20=2由此估计从180名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为-.2只有结果-而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.2(III)从A班的6人中随机选2人，有C2种选法，从C班的7人中随机选1人，6有C1种选法，7故选法总数为：C2∙C1=15X7=105种 10分67设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为E,则E中包含以下情况：(1)从A班选出的2人超15小时，而C班选出的1人不超15小时，(2)从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而C班选出的1人超15小时，…、C2C1+C1C1C1 9+36 3所以P(E)=-3-3 3_3一4= =一C2C1 15X7 767C2C1+C1C1C19+363只有P(E)=33万＞334= =G，而无文字说明，扣1分C2C1 15X7767(I)因为CCɪ平面ABC,所以CC1BC11因为AC1BC所以BC1平面ACCA，因为DEU平面ACCA，所以BC1DE,即DE1BC（II）设A1D的中点为N，连接MN，则MN//B1D,连接CN,因为CE//ND且CE=ND,11 1所以CNDE是平行四边形，所以CN//DE所以平面CMN//平面BED所以CM//平面DBE（III）以C为原点，分别以CA、CB、CC的方向为X轴、>轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， >可得C（0,0,0）、B（0,2,0）、耳（0,2,3）、D2,0,1）E（0,0,2）.依题意，CB=（0,2,0）是平面ADE的个法向量，EB=(θ,2,l),ED=(2,0,-1).1设〃二（羽y,Z）为平面DBE的法向量,则n∙EB=01,即《n∙ED=02y+z=02x-z=0不妨可得〃=(1,—1,2).-►►心CBn-2 √6cos<CB,n>= = -=——CBIn2×√6 6因为二-的平面角是钝角，所以，二面角4的余弦值为—立.1 6结果为理扣一分

617.解：选①（I）因为a为a、a的等差中项,1 2 3所以2〃=〃+〃所以2a=aq+aq2,111因为a≠0ι所以2=夕+小所以q=-2,q=1(舍)不能只看结果；没有。产0扣一分，没舍q=1扣一分选②(I)因为S3-S1=2，所以。1 + a2 +a3-a1= a2 ÷a3=2,a因为a=4，所以a=-2，所以q=→=-232 a2(II)设数列｛2n÷a｝的前n项和为S，因为数列｛2n｝是以2为首项，nn2为公差的等差数列,a4等比数列｛a｝的首项a=T==1,n 1q2 4所以S=

n(2÷2n)n 1(1-(-2)n)~~21-(-2)1-(-2)n=n(n÷1)÷ (3)没有证明或指明等差数列扣2分。.解：ac asinC(I)在AABC中，因为—-=--，所以SinA= =2sinC,sinAsinC c所以a=2c,由余弦定理可得b2=a2÷c2-2ac∙cos60o=3c2=3,,.c=1,ɑ=2,所以AAHC的面积为S=JaCSinB=IX2xlχ∖3=Y3;2 2 2 2(∏)在AABC中，因为A+C=120°,sinC-sinA=sinC-sin(12Oo-C),=SinC—立

211cosC--sinC=—sinC-22-cosC=sin(C-60o)= ,2 20o<C<120o,.∖-60o<C-60o<60o,：•：C-60°=45o,/.C=105°直接写α=2C扣一分，无角C范围叙述的扣2分.解：(I)由题意：设直线A6：y-0=^-(x+2),令x=0,则>=#,于是6(0,/),.所以α=2,A=J?,x2 y2椭圆方程为L丁1..(II)设P(x,y)(χ>0,y<0),且3X2+4y2=12,00 0 0 0 0又A(—2,0),B(0,√3)，所以直线AP:2二0二三+2，y-0x+200令x=0,yM2y——0√，x+20S-x⅛0贝UBW=W—yM√3x+2√3—2y 0 0-,x+20y—v3x—0

直线BP:ʌɪ=--

y—√3x—00 0—√3x，令y=0,x= 『,ny—√30贝UAN=2+X=2+NTx 2y—2v3—√13xA— 0 ɪ 0y。八3所以四边形ABNM的面积为S=1∣AN∣∙∣BM∣=L二+2H2y0X2y0一2.一M02x+2

0—3x2—4y2—12+4√3xy—12X+8√3y 0 0 - 0—0 0z 02(Xy—√3x+2y—2√3)

00 0 04√3(XyYx+2y—2√3) -- 0—0——_0 0 =23,2(xy—√3x+2y—2√3)00 0 0所以四边形ABNM的面积为2√3.结果不对最后2分全扣y0一、；3y0一,、3，20.解:(I)当a=0时，函数f(X)=2cosX-XsinX,f(0)=2,f'(X)=-2sinX-sinX-xcosx=-3sinx-xcosx,∙∙∙切线的斜率k=f'(0)=0,∙∙∙曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=2(II)f'(X)=(2-a)(-sinx)-sinx-xcosx=(a-3)sinx-xcosx,令g(x)=(a-3)sinx-xcosx,贝Ug'(x)=(