2023学年完整公开课版弧、圆心角

24.1.3弧、弦、圆心角的关系☆复习引入1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是？垂径定理的内容是？我们是怎样证明垂径定理的?

圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线。垂径定理是根据圆的轴对称性进行证明的。2、绕圆心转动一个圆，它会发生什么变化吗？圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？

它是不会发生变化的，我们称之为“圆具有旋转不变性”。圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角的关系定理。1．思考圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？·圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心，它具有旋转不变性.N把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度．

15°O2．性质把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度．NO15°N′

30°2．性质把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度．NO30°N′

60°2．性质把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度．NO60°N′

n°2．性质把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度．NOn°N′由此可以看出，点N′仍落在圆上．2．性质把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度．2．性质NOn°N′性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来

的圆重合．把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度．2．性质NOn°N′

我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．如∠NON′是

圆O的一个圆心角．把圆心角等分成360份，则每一份的圆心角是1°，

同时整个圆也被分成了360份．则每一份这样的弧叫做1°的弧．1°的圆心角对着1°的弧，

1°的弧对着1°的圆心角.n°的圆心角对着n°的弧，

n°的弧对着n°的圆心角.性质：

弧的度数和它所对圆

心角的度数相等.2．性质这样，1°的弧1°n°的弧n°·

圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA一、概念练一练：找出右上图中的圆心角。圆心角有：∠AOD,∠BOD,∠AOB根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．·OAB·OABA′B′A′B′

如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？∴

重合，AB与A′B′重合．二、探究

在等圆中，是否也能得到类似的结论呢？在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所对的弧_________．弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．（P83）三、定理三、定理·OB′A′BA·O·B′O·A′B′O·BA′B′O1、2、3、

请利用右图用数学语言叙述一下我们刚学的三条定理。因为AB=CD，所以∠AOB=∠COD．又因为AO=CO，BO=DO，所以△AOB≌△COD．又因为OE

、OF是AB与CD

对应边上的高，所以OE=OF．练习P851题∠AOB=∠CODAB=CD如图，AB、CD是⊙O的两条弦：（1）如果AB=CD，那么________，______________；（2）如果=，那么________，______________；（3）如果∠AOB=∠COD，那么________，_______；（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE

与OF相等吗？为什么？ABCDAB=CDAB=CD∠AOB=∠CODAB=CD相等．ABCDEFO∴AB=AC，△ABC等腰三角形．又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，

AB=BC=CA．∴∠AOB=∠BOC=∠AOC．6．例题例1如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°．求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．ABAC证明：ABAC∵

=ABCO例2如图，AB是⊙O的直径，=

=，∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE解：CDBCDE∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°∴∠AOE=180°-3×35°=75°CDBCDE=

=∵6．例题七、思考如图，已知AB、CD为的两