医学统计学-4-正太分布及应用

第五节正态分布及其应用正态分布重要的概率分布，统计分析方法的基础。医学研究中的多数观察指标服从或近似服从正态分布；很多统计方法建立在正态分布的基础之上；很多其他分布的极限为正态分布。

一、正态分布的概念和图形（a）（b）（c）（d）正态分布的概率密度函数为：

,(-∞＜X

＜+∞)式中，有4个常数，

为总体均数，

为总体标准差，π为圆周率，e为自然对数的底，其中

，

为不确定的常数，π，e为固定常数，仅X为变量，代表图形上横轴的数值，f(X)为纵轴数值。当给定

和

，就可绘制出一条正态分布曲线。正态分布曲线是一簇曲线。正态分布图形：对称的钟型（最高点在均数处）两侧逐渐下降两端在无穷远处与横轴无限接近。一般情况下，我们用N(

,

2)表示均数为

，方差为

2的正态分布。-5-4-3-2-1012345

=1

=1.5

=2f不同标准差

的正态分布示意二、正态分布的特征特征一正态分布是一单峰分布，高峰位置在均数X=

处。特征二正态分布以均数为中心，左右完全对称。特征三正态分布取决于两个参数，即均数

和标准差

。

为位置参数，

变大，则曲线沿横轴向右移动；

变小，曲线沿横轴向左移动。

为形态参数，表示数据的离散程度，若

小，则曲线形态“瘦高”；

大，则曲线形态“矮胖”。特征四

有些指标不服从正态分布，但通过适当变换后服从正态分布，如对数正态分布。特征五正态分布曲线下的面积分布是有规律的。用F(X)代表横轴自-∞到X间曲线下面积，即下侧累计面积(概率)。曲线下（X1，X2）两个数值之间的面积则可以用与的差值求得：

无论

，

取什么值，正态分布密度曲线下的面积分布有以下几个规律：①正态密度函数曲线与横轴间的面积恒等于1或100%；②正态分布是对称分布。其对称轴为直线X=

，X>

与X<

范围内曲线下面积相等，各占50%；③曲线下面积常用规律：

在区间（

-

，

+

）内的曲线下面积为68.27%；在区间（

-1.64

，

+1.64

）内的面积为89.90%，在区间（

-1.96

，

+1.96

）内的面积为95.00%；在区间（

-2.58

，

+2.58

）内的面积为99.00%。三、标准正态分布

将正态分布变量作标准化变换，就得到均数为0，标准差为1的标准正态分布（standardnormaldistribution）标准化变换公式：正态分布的概率密度函数方程就简化为标准正态分布的概率密度函数方程：，(-∞＜u

＜+∞)

对其定积分：式中

(u)为标准正态变量u的累计分布函数，反映了横轴自-∞到u的正态曲线下面积，也就是下侧累计面积(概率)。引入标准化变换后，对于其他任何正态分布都可以借助标准正态分布表估计任意（X1，X2）范围内的频数比例。例、已知u1=-1.76，u2=-0.25，求标准正态曲线下（-1.76，-0.25）范围内的面积。查附表1，得（-∞，-1.76）范围内的面积为0.0392，（-∞，-0.25）范围内的面积为0.4013，则（-1.76，-0.25）范围内的面积D=0.4013-0.0392=0.3621。附表1中只列出了曲线下从-∞到0范围内的面积对于u>0的范围面积，利用正态分布的对称性，通过

(u)=1-

(-u)来求曲线下的面积。注意点一例、已知u1=-1.20，u2=1.60，求标准正态曲线下（-1.20，1.60）范围内的面积。查附表1，得（-∞，-1.20）范围内的面积为0.1151，（-∞，-1.60）范围内的面积为0.0548，利用正态分布的对称性，求

(1.60)=1-

(-1.60)则（-∞，1.60）范围内面积为1-0.0548=0.9452。（-1.20，1.60）范围内的面积D=0.9452-0.1151=0.8301。

注意点二对于非标准正态分布，求曲线下任意（X1，X2）范围内的面积，可先作标准化变换，再借助标准正态分布表求得。例、某市120名12岁男童身高的例子中已求得均数为143.05cm，标准差s=5.82cm。设该资料服从正态分布，试求①该地12岁男童身高在132cm以下者占该地12岁男童总数的比例，②分别求±1s、±1.96s和±2.58s范围内12岁男童占该组儿童总数的实际百分数，并与理论百分数比较。①计算u=（132.0-143.05）/5.82=-1.90查表得，

(u)=

(-1.90)=0.0287②身高范围(cm)实际分布理论分布(%)人数百分数(％)±1.00s137.23～148.878772.5068.27±1.96s131.64～154.4611495.0095.00±2.58s128.03～158.0711898.3399.00四、正态分布的应用医疗卫生领域中有很多的指标是服从或近似服从正态分布。如：同性别同年龄正常儿童的身高、体重，同性别健康成人的红细胞数以及实验中的随机误差等一般都服从正态分布。有一些指标不服从正态分布，但经过变量变换后，能近似服从正态分布。如：对数正态分布（一）估计频率分布例、若由某项研究得某地婴儿出生体重为3100g，标准差为300g，试估计该地区当年出生低体重儿（出生体重≤2500g）所占比例。认为当年该地区婴儿出生体重近似服从正态分布N（3100,3002）,作标准化变换：查附表1，得

(-2.00)=0.0228得出结论，估计该地区当年出生低体重儿所占比例为2.28%。例、已知某地健康成年男子的红细胞计数是以μ=5.00×1012/L，σ=0.25×1012/L的正态分布，试问红细胞计数在4.50×1012/L至5.20×1012/L之间，占该地健康成年男子的百分之几？将变量值标准正态转换为u。当x=4.50时，u1=（4.50-5.00）/0.25=-2.00当x=5.20时，u2=（5.20-5.00）/0.25=0.80查附表1标准正态曲线下