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文档简介

习题课一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题1.求解:

因为时,所以利用夹逼准则得因为依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理原式不对!说明:2)

此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.比如解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则可知(考研98)2.

求3.

证明证:

令则令得故4.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何5.求可微函数f(x)使满足解:

等式两边对

x

求导,得不妨设f(x)≠0,则注意f(0)=0,得6.

求多项式f(x)

使它满足方程解:

令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多项式,设代入①

式比较同次幂系数,得故①再求导:二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:

下列作法是否正确?7.

求解:

令则原式8.

选择一个常数

c,使解:

令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.9.

设解:

10.

证明恒等式证:

令则因此又故所证等式成立.11.试证使分析:要证即故作辅助函数至少存在一点证明:

令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点思考:

本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数12.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内

f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点

,使

(3)在(a,b)内存在与

相异的点

,

使(03考研)证:

(1)

由f(x)在[a,b]上连续,知

f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)

设满足柯西中值定理条件,于是存在即(3)

因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得13.设证:

设且试证:则故

F(x)单调不减,即②成立.②判断反常积分的敛散性.解:根据比较审敛原理知故所给积分

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