“数据分析观念”的内涵及教学建议

-远程培训课程资源-远程培训课程资源？小学数学・#而实验中，要使摸球的频率刚好是4(8)的可能性并不大。但是如果取一个5 10范围，比如在-和-之间，此时频率落在这个范围内，用它去进行估计是可以1010接受的。如果要使摸出白球的频率落在这个范围之间的可能性达到 80%的话，通过计算只要做27次左右的实验；如果要使95%的可能性落在这个范围内的话，摸球的次数要增加，大概是60次左右。所以，实际上有相当多的科学依据在后边支撑着我们做类似摸球的试验。也就是虽然不能保证估计得完全一致，但能保证在一定实验次数下，估计值与实际情况相差不大的可能性是很大的。▼问：听了您的解释挺有启发的。是不是虽然不能达到 100%勺精确，但无论实际情况需要多高的精确度，都可以计算出需要做多少次实验来保证达到这个精确度？▲史教授：是这样的。因此，我们可以提供一些数据，如果想达到95%的可能性，你至少要摸多少次球。再比如社会上通过打电话做民意调查，不可能给所有拥有电话的人都打，如果调查允许在一定的误差范围内，通过计算可以提供至少需要打电话的数量。当然计算中需要概率的知识，从这些例子中我们也能看到统计与概率的联系。▼问：通过上面的两种教法和您的分析，我们可以感觉到概率是定义出来的，它的推理方式是主要是演绎；而统计是用数据来进行推断，它的推理方式主要是归纳。两种思维方式是不一样的。▲史教授：是这样的。统计体现了与传统数学不一样的思路，而这种思路是培养学生归纳能力的最好方法之一。在义务教育阶段，也有一些素材可以让学生经历归纳的过程，比如归纳一些公式和规律，但这些公式和规律往往都是准备好了的。很难找到让学生真正通过归纳自己得到结论的素材， 但是通过统计可以让学生做一些，所以说，运用统计中部分推断整体是培养学生归纳的很好内容。▼问：您对归纳能力非常重视，能说说为什么吗？▲史教授：归纳能力和演绎能力都很重要。演绎是由一般到特殊，用于证明结论的正确性，这在数学中是重要的。而归纳是由特殊到一般，或者说是由一个范围中的结论推断更大范围中的结论，这往往导致了创新。我想培养我们的学生学得灵活一些，有一些创新。培养学生灵活、创新，不仅仅是把数学中的例子生活化就够了，而是要培养学生去尝试发现。统计从个别的现象去了解整体，这可以鼓励学生去发现结论。当然，利用数据分析来体现随机性，这样做的可行性以及如何去做，都需要经过教学实验，经过广大教师的实践和研究。无论如何，要使学生“喜欢”数据而不是害怕它。三、使学生产生对数据的亲切感▼问：正如您所说的，要让学生愿意亲近数据，就必须使他们体会到数据中是蕴含着信息的，就象摸球的例子一样。除了这种游戏，您还能再举出一些这样的例子吗？▲史教授：除了游戏以外，生活中有大量需要通过分析数据获取信息的例子。比如，要设计校服，就需要调查同学们的身高等情况。当把调查出来的数据汇总后，我们就需要分析数据提取信息。一提到分析数据，老师们马上就让学生计算平均数，其实平均数不是唯一的也不是万能的。这里，有这么几个信息是很重要的，比如学生可能首先关注这些数据中最大的是多少、 最小的是多少，有了这两个数就把数据的范围定了下来。接着，学生就可能会对数据按段进行分组，统计出在各个身高段的人数，发现在哪个身高段的人数最多（众数的意义） ，中等水平学生的身高是多少（中位数的意义），当然也可以计算平均身高。还可以把自己的身高与班级的身高进行比较，看看自己处在什么位置上。所以这里有很多信息可以获得，不一定一开始就忙于去计算。开始提取的信息可以是不基于计算的信息，只是基于关系（最多、最少等）的信息，这个是非常必要的。再举一个例子，人们往往调查每天卖出最多的菜是什么，然后以这个菜价格的变化来判断蔬菜价格是否有所变化了。问：我想如果学生这种活动从事多了，不断地获取信息，就会逐渐“亲近”数据，也会对统计感兴趣。因此，我们的教学是不是应该首先让学生不惧怕数据，喜欢数据，然后再合理的运用和分析数据。▲史教授：我想，孩子不对这件事情感兴趣是不行的，所以我们教学很重要的是培养孩子们对于数据的感情，使他们知道通过数据能够帮助人们做点事，通过数据判断比瞎猜好，而这个数据自己也能够得到。▼问：刚才提到了平均数、中位数、众数，它们都是刻画一组数据集中情况的统计量。老师们非常困惑的问题，这三个量之间到底有什么区别，什么时候该用什么统计量？▲史教授：我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的（如下图）。只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。▼问：有的书上写道：平均数容易受极端数据的影响（数据偏到一面去了），是不是就是这个意思呢？在有极端数据的时候是不是一定要用中位数？▲史教授：平均数是容易受极端数据的影响，但是这种情况下不一定非要用中位数。其实，用中位数的情况并不多。那么，出现极端数据怎么办呢？一般认为这个数据不是来源于这个总体，统计上有一个方法，就要把这个数据去掉。比如大家熟悉的跳水比赛评分，为什么要去掉一个最高分、一个最低分呢，就认为这两个分不是来源于这个总体，不能代表裁判正常的鉴赏力。于是去掉以后再求剩下数据的平均数。▼问：看来，平均数还是经常使用的刻画数据集中情况的统计量。 我想它为什么常用的原因是，与中位数和众数相比，平均数能更多地利用所有数据的信息，另外它也好算。除此之外，在数学上还有什么其他原因吗？▲史教授：假设我们得到了2个数据x、y，令a=x£y为平均数，利用中学的知识就可以证明：a是与x、y这2个数据差的平方和达到最小的实数，即对任意的实数b有(x-a)2(y-a)2三(x-b)2(y-b)2这个例子给出了在进行数据分析时经常使用平均数的理由： 使误差平方和达到最小，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。而利用中位数代表数据，是使一次损失（误差绝对值的和）最小。而我们都知道，二次函数有着很好的数学性质，而绝对值函数的性质不好，所以比较难研究。所以人们都选择用平均数来进行研究，在义务教育阶段更加注重平均数的教学是有道理的。 但是现在平均数教学也存在着问题，比如有人做过调查，学生学习了平均数，会进行计算，但是当遇到真正的数据需要分析时，他们却很少想到用平均数。所以说，又回到前面的话题，也是我们谈话的中心，义务教育阶段统计教学关键是发展他们的数据分析观念，使他们想到用数据，愿意用数据，能从数据中提取一些信息。四、统计是关于数据的科学和艺术▼问：数据分析观念中还有一条是：了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。也就是统计的这些方法没有简单意义上的对和错，只有“好”和“不好”，您能具体说明一下吗？▲史教授：很多事情都是这样的。比如统计图表，对于一组数据，你往往可以用任意的统计图表来表示。但是你会发现，为了要表达一种信息、解决一个问题，用某些图表会比较合适，也就是说比较“好”。比如，想表达某部分数据在整个数据中所占比例的情况，用扇形图比较好；想比较各种数据之间的数量关系，用条形图或直方图比较好；如果数据是随着时间而变化的话，想了解数据的变化情况，那么用折线图比较好。这就是，同样的数据，根据你希望研究的问题不同，应该选择用不同的方法。▼问：最近听了一堂小学数学课，老师想讲平均数。他给了学生两组数据，一组数据是7个人每个人拍球的数量，一组数据是8个人每人拍球的数量。然后,老师提出问题：你觉得哪个小组拍的好。他的本意是希望学生意识到，因为每组排球的总数、每组的人数都不一样，应该比较两组的平均数。但是学生却想出了很多方法，比如有的学生认为应比较每组中排球最多的人所拍的数量， 哪个多哪组就好。您认为这个学生的方法和平均数的方法哪个好呢？这里是不是取决于“好”的标准呢？▲史教授：你说得对。要判断哪个组拍得好，首先得定义什么叫“好”。“好”的标准给研究的目的有关。如果是提倡全民运动的话，当然大家平均下来都拍得多比较好；如果目的是选拔拔尖学生的话，当然哪组有人排的最多就好。所要研究的问题、要达到的目标不同，选择的方法也会不同。所以，我们把统计学称为科学与艺术。科学是指在同样的前提下每个人得到的结论都是一样的； 艺术则不是，随着个人鉴赏力的不同，得到的结论是不一样的。统计学有其科学的一方面，但是也有艺术的一方面，就是说每个人的目的不一样、每个人的鉴赏力不一样，他就可以选择不同的方法、得到不同的结论。所以，我认为把统计学定义为科学和艺术是比较合适的。因此，为了培养学生的“鉴赏力”，就要帮助学生积累经验。经验和知识不一样，知识有可能教了就会，但经验是需要日积月累的。▼问：最后，您能对广大教师从事统计教学提出一些建议吗？▲史教授：统计内容在中国中小学课程中出现的时间并不长，甚至在大学里统计课程也还不完善。因此，我们的老师对很多内容的理解不很深刻，这是很正常的，不要惧怕。在这个前提下，老师们可以逐步读一些书，读一些统计应用的书。无论是自己读书学习，还是在教学中，都要抓住一个核心一一数据分析，即如何对数据进行分析，来对我们所要研究的问题进