与等著电子工业信号系统习题

第7章习题答案

分别绘出下列各序列的图形。

（1）x[n]=(1/2)nu[n]

解：

（2）x[n]=2nu[n] （3）x[n]=(-1/2)nu[n] （4）x[n]=(-2)nu[n]

x[n]

x[n]

0 1 2 3 4 n

(1)

0 1 2 3 4 n

(2)

x[n]

1 1 3

0 2 4 n

x[n]

-1

(3) (4)

分别绘出下列各序列的图形。

（1）x[n]=-nu[-n]

x[n]

解：

（2）x[n]=2-nu[n]

x[n]

（3）x[n]=-1/2)-nu[n] （4）x[n]=-(1/2)nu[-n]

-4 -3 - -1 0 n

(1)

0 1 2 3 4 n

(2)

x[n]

1 1 3

0 2 4 n

-4 -3 -2

x[n]

-10 n

-1

(4)

(3)

分别绘出下列各序列的图形。

x[n]=

np

sin

x[n]= np-p

cos

（1） 5 （2）

解： x[n]

10 5

-5 0 10

1 5 n

(1)

-3

(2)

7-5 序列x[n]如图题7-5所示，把x[n]表示为d[n]的加权与延迟之线性组合。

图题7-5

解：x[n]=-2d[n+3]-d[n]+3d[n-1]+2d[n-3]

求下列序列的z变换X(z)，并注明收敛域，绘出X(z)的零极点图。

（1）(1/2)nu[n]+d[n] （4）(1/2)n{u[n]-u[n-8]} （5）d[n]-1d[n-2]

5

(1)X(z)=¥

解：

n=-¥

[(1)nu[n]+d[n]]z-n

2

2z-1

=¥

n=0

(1z-1)n+¥

2 n=-¥

d[n]z-n

=z1

z-

+1= 2 z>1

1

z- 2

2 2

jIm(z)

¥

(4)X(z)=

n=-¥

(1)n

2

(u[n]-

u[n-8])z-n = (

7

n=0

)nz-n

2

1-(1z-

= 2

)8 z8-(1)8

1

= 2 z >0

1-1z-1 z7(z-1)

2 2

jIm(z)

(7)

1/2

Re(z)

¥

(5) X(z)=

n=-¥

(d[n]-

1d[n-

5

])z-n

=1-1z-2

5

z >0

jIm(z)

-5

5

(2)

5

5

Re(z)

求双边序列x[n]=(1/2)|n|的z变换，标明收敛域及绘出零极点图。

解：

¥

X(z)=

n=-¥

¥

(1)n

2

1

z-n=

¥

-1

n=-¥

(1)

2

-nz-n

¥

+

n=0

n -n

( ) z

2

=(

z)n+(1)n=(12)z + z

n=1 2 n=0 2z 1-(12)z z-12

= -(32)z 12<z<2(z-12)(z-2)

jIm(z)

1/2

2

Re(z)

7-11 画出X(z)=

-3z-1

-5z-1+2z-2的零极点图，在下列三种收敛域下，哪种情况对应左

边序列，哪种情况对应右边序列，哪种情况对应双边序列?并求出各对应序列。

（1）z>2 （2）z <0.5 （3）0.5<z<2

解：

-3z-1

X(z)=2-5z-1+2z-2

= -3z =-3 z

2z2-5z+2 2 (z-2)(z-1)

2

-3

X(z) = 2

z (z-2)(z-

1 = 1 - 1

) z-1 2 z-2

2

\X(z)= z - z

z-1 2 z-2

当z>2时，x[n]为右边序列

x[n]=[(1)n

2

-2n]u[n]

当z<0.5时，x[n]为左边序列

x[n]=[-(1)n

2

+2n]u[-n-1]

当0.5<z

1

<2时，x[n]为双边序列

n

x[n]=()

2

u[n]+2nu[-n-1]

已知X(z)=

1-1

1

z-1(1-2z-1)。

2

确定与X(z)有关的收敛域可能有几种情况，画出各自的收敛域图；

求以上各种收敛域所对应的离散时间序列的表达式；

以上序列中哪一种序列存在傅氏变换?解：

X(z)=

1 = z

2

(1-12z-1)(1-2z-1) (z-12)(z-2)

X(z)= z =- 1 + 4

z (z-12)(z-2) 3(z-12) 3(z-2)

\X(z)=- z + 4z

3(z-12) 3(z-2)

收敛域可能有三种情况：z >2, z<12,12<z<2

12

jIm(z) jIm(z)

Re(z)

|z|<1/2

Re(z)

1/2<|z|<2

Re(z)

jIm(z)

2

|z|>2

对应的序列分别为：

1 1 n

z >2 x1[n]=

[-()

+4(2)n]u[n]

3

z<12 x2[n]=

2

1 1

[( )n

3 2

1

-4(2)n]u[-n-1]

1

12<

z<2 x[n]=-[(

3 3 2

)nu[n]+4(2)nu[-n-1]]

序列x3[n]的收敛域包括单位圆，所以此序列存在傅氏变换。

2z2-3z

已知X(z)=(z+1)(z-2)(z+3)，若收敛域分别为1<z

求对应的逆变换x[n]。解：

<2和2<z<3两种情况，

X(z)=

2z2-3z

z(2z-3)

=

(z+1)(z-2)(z+3) (z+1)(z-2)(z+3)

X(z)= 2z-3

z (z+1)(z-2)(z+3)

= 5 + 1 - 9

6(z+1) 15(z-2) 10(z+3)

\X(z)= 5z + z - 9z

6(z+1) 15(z-2) 10(z+3)

1<z<2 x[n]=5(-1)nu[n]-[12n-9(-3)n]u[-n-1]

6 15 10

5 n 1 n 9 n

2<

z<3 x[n]=[(-1)

+2

]u[n]+(-3)

u[-n-1]

6 15 10

7-21 利用卷积定理求y[n]=x[n]*h[n]。已知

（3）x[n]=RN[n]=u[n]-u[n-N]，h[n]=anu[n]，0<a<1

解：（3）x[n]=RN[n]=u[n]-u[n-N]

h[n]=anu[n]

\X(z)=

z -

z-1

z-N+1

z-1

z >1

H(z)=

z

z-a

z >|a|

根据卷积定理得：

Y(z)=X(z)H(z)=

z-z-N+1 z

z-1 z-a

z >1

Y(z)=[

z 1 ](1-

z-N)

z z-1z-a

=[ 1 1 -

a 1 ](1-

z-N)

1-a z-1 1-a z-a

Y(z)= 1 [ z -

1-a z-1

az

z-a

](1-z-N)

由于x[n]、h[n]均为因果序列，因此y[n]亦为因果序列，根据移位性质可求得

y[n]=Z-1[Y(z)]=1

1-a

(1-an+1)u[n]-1

1-a

(1-an+1-N)u[n-N]

7-24 计算下列序列的傅里叶变换。

（1）2nu[-n] （3）d[4-2n]

解：

(1)