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第4章快速傅立叶变换（FFT）4.1概述4.2时间抽取基2算法-DIT4.3频率抽取基2算法-DIF4.1概述

解决耗时的乘法问题是将数字信号处理理论用于实际的关键问题。特别是30年前，计算机的速度相当慢。因此，很多学者对解决DFT的快速计算问题产生了极大的兴趣。CooleyJW,TukeyJW.AnalgorithmforthemachinecomputationofcomplexFourierseries.MathematicsofComputation,1965,pp297~301DSP的正式开端！FFT的思路：如何充分利用这些关系？四点DFT几个乘法？4.2时间抽取基2FFT的算法——DIT(DecimationInTime)FFT的核心思想是：N点DFTN/2点

DFTN/4点

DFT2点

DFT

1个2个4个N/2个问题是如何分最有效？可以对时间变量分（DIT)，也可对频率变量分(DIF）令：分解后的运算量：复数乘法复数加法一个N/2点DFT(N/2)2N/2(N/2–1)两个N/2点DFTN2/2N(N/2–1)一个蝶形12N/2个蝶形N/2N总计运算量减少了近一半

都是N/2点的DFT，它们各自又可分成N/4点的DFT，如此继续分下去，直至两点DFT。两点DFT不需要乘法运算：每一级有N/2个如下的“蝶形”单元：即:每一个蝶形单元仅需一个复数乘法，两个复数加法。两点构成一个蝶形单元，并且这两点不再参与别的蝶形单元的运算。同址运算。

所需运算量：注意：因子的位置；输入序列的顺序－－码位倒置。码位倒置倒位序自然序0000000010041001010220101106301100114100101551010113611011177111n0n1n2000110110011010000000010000110100102110011300110041011015011110671111117运算量比较当N=2M时，共有M级蝶形，每级N/2个蝶形，每个蝶形有1次复数乘法2次复数加法。复数乘法：复数加法：比较DFT4.3频率抽取基2FFT的算法——DIF(DecimationInFrequency)令：各是N/2点的

DFT则X(2r)和X(2r+1)分别是x1(n)和x2(n)的N/2点DFT，记为X1(k)和X2(k)x1(0)x1(1)-1x1(2)x1(3)-1x2(0)x2(1)-1x2(2)x2(3)-1N/2点DFTN/2点DFTx(0)x(7)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)X1(0)=X(0)X2(0)=X(1)X1(1)=X(2)X1(2)=X(4)X1(3)=X(6)X2(1)=X(3)X2(2)=X(5)X2(3)=X(7)N/2仍为偶数，进一步分解：N/2N/4x3(0)x3(1)-1-1x4(0)x4(1)N/4点DFTN/4点DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)X3(0)=X1(0)=X(0)X4(0)=X1(1)=X(2)X3(1)=X

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