三线摆测量转动惯量

三线摆测量转动惯量(DeterminationoftheMomentofInertia,UsingaTrilinearTorsionPendulum)转动惯量是表征刚体转动特性的物理量，是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要参数。如钟表摆轮的体形设计，直升机的螺旋桨、枪炮的弹丸、机器零件的设计，导弹和卫星的发射、控制等，必然涉及转动惯量的大小。因此测定物体的转动惯量具有重要的实际意义。转动惯量与刚体的总质量、形状和转轴的位置有关。对于形状较复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般采用实验方法测定。测定刚体转动惯量的实验方法有多种，如三线摆法、转动惯量仪法及扭摆法等。本实验采用三线摆法，其特点是操作简单，对于形状较复杂的刚体，如枪炮、弹丸、电动机转子、机器零件等都可以测量出其转动惯量。卖验目的学习用三线摆测定物体的转动惯量。验证转动惯量的平行轴定理。仪器用具图3.4-11-启动盘锁紧螺钉；2-摆线锁紧螺钉；3-启动盘；4-摆线调节螺钉；5-摆线；6-悬盘;7-磁钢（粘于悬盘下面）；8-霍尔探头；9-支架调节螺钉；10-MS-1型多功能毫秒仪

实验原理刚体对转轴的转动惯量等于组成刚体的各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和。由上述定义可知，转动惯量与刚体的质量分布及转轴位置有关；刚体系统对转轴的转动惯量等于系统中每一刚体对该轴的转动惯量之和。一.测定物体的转动惯量。两半径分别为r'和R，（R，＞r，）的刚性均匀圆盘，用均匀分布的三条等长Z的无弹性、无质量的细线相连，半径为r，的圆盘在上，作为启动盘，其悬点到盘心的距离为r；半径为R，的圆盘在下，作为悬盘，其悬点到盘心的距离为R。将启动盘固定，则构成一振动系统，称为三线摆（图3.4-2）。当施加力矩使悬盘转过角0后，悬盘将绕中心轴°。，，做角简谐振动。 °如图3.4-2所示，当悬盘转过°角时，悬线点a上升到A'，悬盘上升高度为H。则h《=12-（R-r）2h；=12-(R2+r2-2Rrcos0)=h；=12-(R2+r2-2Rrcos0)=h；-2Rr(1-cos0)可得： H=h—h=h—[h2—2Rr(1—cos0)]2=h—h当0很小时，括号中第二项远小于1/作近似 1o ， ，is12Rr(1—cos0)H=h1-h11-2h2L 1Rr(1—cos0)h1(3.4-2)式中，h为两盘静止时的垂直距离，0和H均为时间的函数。因系统遵从机械能守恒，则对悬盘有下式1JW2+mgH+mv2=mgH° ° 2 ° ° °(3.4-3)式中，h为悬盘转到角0时上升的高度，h为悬盘上升的最大高度，m是悬盘的质量，J是悬盘绕中心轴的转动惯量，o是悬盘转至角0、上升至H°时的角速度迪，v是悬盘的上升速度皿。 dt1 2Rr(1-cos0)(3.4-1)12h21将式（3.4-2乎和式（3.4-3）分别对时间微分，经合并整理，得d20 m°gRr。dt2Jh此式表明，悬盘在作角简谐振动，其振动周期为1(3.4-4):hT°=f1°因此，可知悬盘空载时绕中心轴作扭转摆动时的转动惯量(3.4-5)m°gRr

4兀2h(3.4-6)由式（3.4-5）可以看出，振动系统的周期将取决于结构参数R,r，h和振子（悬盘）的质量m及转动惯量j（而转动惯量又与质量和质量分布状况有关）。如果将质量为m1，转动惯量0为J的圆环放在悬盘上，则新振子质量为m+m，转动惯量为J+J，则此新振动系统的振动周期将发生改变 °1 °1(3.4-7)°T+m「gRr(3.4-7)°T+m「gRr1V(m°若悬盘的m、J为已知，解，得 °°可用比较法求得j1即联立式（3.4-5）和式（3.4-7）求T2—若悬盘的m、J为已知，解，得 °°可用比较法求得j1即联立式（3.4-5）和式（3.4-7）求T2—T2T2mJ=（ +十・r）J=1 T°2 T°2m°°测出m、T、T后代入式（3.4-8）即可求得j。二1.验证转动惯量的平行轴定理。 1刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量"加上刚体质量与两轴间距离h的二次方的乘积，即(1+m1)•T12—1

m° T°2(3.4-8)J=J+mh2这就是平行轴定理。在验证转动惯量的平行轴定理时，将两个直径为D、质量都为M，形状完全相同的圆柱体对称地放置在悬盘B上，使圆柱体的中心轴到转柱轴的距离为d。2则两圆柱体和悬盘共同绕转轴的转动惯量J为式中，T2为该系统绕轴的摆动周期。（m+2M）gRr柱° 4兀2h 21由此，可测定一个圆柱体移轴后的转动惯量J.柱(3.4-9)(m°+2M2)gRrT2—J4兀2h 2 °1根据转动惯量的平行轴定理，可以计算转动惯量的理论值J'=1Mr2+Md2柱2 2柱 2其中；M2r柱是圆柱体对其中心轴的转动惯量。实验内容(3.4-10)(3.4-11)调节三线摆。以水平仪为参照，首先通过调整底盘三个黑色螺母调整启动盘水平，然后通过调整启动盘的摆线调节旋钮改变悬线的长度，来调整悬盘水平。调节霍尔探头和毫秒仪。调节霍尔探头的位置，使其恰好在悬盘下面粘着的小磁钢的下方5mm左右，此时毫秒仪的低电平指示发光管亮。调节毫秒仪的次数为“20”次，然后按RESET键复位。(摆角小于5。)，记录测量悬盘的转动惯量j(摆角小于5。)，记录见图3.4-3,分别测量启动盘和悬盘的三个悬点之间的距离(启动盘分别为a、a、a，悬盘分别为b、b、b)，用游标卡尺测TOC\o"1-5"\h\z12 3— _1 2 3量悬盘的直径D。根据R^—3b和r=—3a计算悬点到盘中心的距离r及R。用米尺测量启动盘、悬盘之间的距离h。记录悬盘的质量m。 1测量悬盘摆动周期彳。轻轻旋转启动盘，使悬盘作扭转摆动10个周期的时间10T，测量多次。计算悬盘转动惯量j，根据转动惯量定义计算出转动惯量的理论值J，，将二者进行比较。 0 0测量圆环的转动惯量j。在悬盘上放上圆环并使它的中心对准悬盘中心。测量悬盘加圆环的扭转摆动周期10t，测量多次。用游标卡尺测量并记录圆环的内、夕卜】直径d和D，测量多次。计算圆环转动惯量j，根据转动惯量定义计1算出转动惯量的理论值j，，将二者进行比较。 1 1图3.4-4验证平行轴定理。图3.4-4将两个相同的圆柱体按照悬盘上的圆刻线对称地放在悬盘上，使圆柱体的外边缘与刻线相切，则两圆柱体中心轴线的距离2d=D-D。D为悬点所在圆的直径(图3.4-4)。 槽柱槽测量扭转摆动周期10t，测量多次。测量圆柱的直径D.和悬盘上刻线直径D，各测多次。记录两个圆