一类非线性算子的不动点定理

一类非线性算子的不动点定理学生：阎继先指导教师：李永金摘要：运用锥与半序理论和迭代方法，讨论了一类不具有连续性和紧性条件的非线性算子方程:a(x,x)+u=Bx解的存在唯一性，并给出了迭代序列收敛于解的误差估计。所得结果改进和推广了反向混合单调算子方程的某些已知相应结果。关键词锥与半序；反向混合单调算子形对称迭代不动点0引言在Banacl空间中，混合单调算子和反向混合单调算子是两类重要的算子，广泛存在于日非线性积分方程和微分方程的应用中。对于混合单调算子，应用迭代方法已得至了许多好的结果，但对反向混合单调算子方程解的存在性却很少涉及。本文对算子的连续性和紧性不做(壬何限制通过引入谱半径知识利用迭代技巧，讨论了半序空间中「类算子方呈A(x,x)+u0=Bx解的存在唯一性并给出了迭代序列收敛于解的误差估计。1预备知识总假设E为实Banac!空间，0表示E中的零元定义1如果对E的某些元素x,y之间可以定义一种元素关系，记为：x<y。具有对壬给xeE，者有x<x;如果x<y,y<x则x=y;如果x<y,y<z则x<z，则称％”是一种半序关系E在该半序下是一个半座集。定义2非空闭凸集尸uE，如果P满足：xeP,X>0n人xeP;xeP,-xePnx=9，则称P是一锥于是在E中可引入半序关系如下：x<y，如果y一xeP。定义3如果存在N>0，使得9<x<y时，有|x||<N〔|y||，N为P的正规常数，锥P称为正规的。定义4设u,veE且u<v，D=U,v］表示E中的序区域。若u<u,v>v,u,v(i=1,2)eD0 0 0 0 0 0 1 2 1 2ii时，A(u,v)>A(u,v)，称二元算子A:DxDTE是反向昆合单调算子。1 1 2 2定义5设TeB(x)则极限r(T)=lim =inf『存在，并称r侦)为有界线性算子T的谱半径。kT9

定义6设X和Y是半序集，DuX，A:D—Y，如果x,x&D,x<x蕴含着4工<Ax，贝称A是1 2 1 2 1 2D上的增算子。定义7如果x*GE，满足4《*,x*)=x*，贝称x*是算子A的一个不动点。2主要结果定理1设P是实Banach空间E中的正规锥，D=U,门，A:DxD—E是反向混合单调算子，B:E-E是连续的日唆性算子若满足下列条件(I)存在正有界线性增算子肱：E—E,K::E—E，且满足：0<r(M+K)<a<1，且TOC\o"1-5"\h\zM(v-u)<A(v,u),A(u,v)<(I一K)(v一u)，其中I为恒等算子0 0 0 0 0 0 0 0时;0(II)存在常数p>0,a+p<1，满足A(u,v)一A(v,u)<p(v一u)当u<u<v<时;0(III)A(v,u)+u<Bv<Bu<A(u,v)+u当u<u<v<v时，0 0 0 0=A(u,v)+K(v一u)+u，

nn nn 0n=1,2=A(u,v)+K(v一u)+u，

nn nn 0n=1,2，…u=A(v,u)一M(v一u)+u，n+1 nn nn 0都收敛于x*且有误差估计：IL-x*||<N(r(M+K)+p)n||v-u||，|v-x*||<N(r(M+K)+P)n||v-u||(N为常数)。"n " 0 0 n " 0 0证明：运用数学归纳法顽u<u<u<…<u<…<v<…<v<v<v (*)，0 1 2 n n 2 1 0事实上当n=1时，由条件(1)及A是反向混合单调算子知u<A(v,u)一M(v一u)+u=u<A(v,u)+u<A(u,v)+K(v一u)+u=v<v，0 0 0 00 01 00 0 0 0 00 010则(*)式成立，假设n=k时式(*)成立，即有匕1<uk<v.<v^1，从而有MM(v一u)<M(v 一u)，K(v一u)<K(v一u)，则n=k+1时，由A的反向混合单调性知:)一M(v一u)+u<A(v,u)一M(vkk0 kk k)一M(v一u)+u<A(v,u)一M(vkk0 kk kk k—1k—1 k—1 k—1 0 k—1 k—1

=u<A(v,u)+u<A(u,v)+K(v一u)+u=v<A(u,v)+K(v一u)+u=v0 kk kk0k+1 k—1 k—1 k—1 k—1 0k则（*）式成立。再由条件（11）和A的反向混合单调性雉=A(u,v)一A(v,u)+M(v一u)+K(v一u)<P(v一u)n—1 n—1 n—1 n—1 n—1 n—1 n—1 n—1 n—1 n—1+M(v 一u)+K(v 一u)=(PI+M+K)(v一u)，PI，对任给的r（M+K）<a<1，由limHnlimHnn=r(H)<r(M+K)+P<1，可知存在n，使得||hnJ(r(M可知存在n，使得||hnJ(r(M+K)+P)n<1,n>n。根据P的正规性递推得un+m-un从而v—u||<N(r(M+K)+P)nII，<N(r(M+K)+P)"||v0-u0所以｛u｝和｛v｝是E中的Cauchy序列。由E的完备性知，存在u*,v*GE，使uTu*,vTv*(nTs)且u<u*<v*<v，再由e<v*—u*<v—u<Hn(v—u)与锥P的正规性，易知：u*=v*=X*GD。又由条件曲）知：又由条件曲）知：)+u<Bv<Bu<A(u再由)+u<A(x*,x*)+u<A(u.,v)+u<v，再由同时令〃Ts，得A(x*,x*)+u=x*=Bx*，即x*是方程A(x,x)+u=Bx在侦，v］上的不动点。下证X*的唯一性。

设y*也是方程A(x,x)+u0=Bx在D中的利点贝仿照上述方法由归纳法可得u<y*<v,令〃—8得x*=y*,故x*是A(x,x)+u=Bx在D中的唯一不动点。最后在u 一u||<N(r(M+K)+p)n||v一u和v一v||<N(r(M+K)+p)n||v一u||中，n+m n 0 0 n n+m 0 0证毕令m-s便得到误差估计式证毕定理2设P是实Banac!空间E中的正规锥，D=\u°,v°］，A:DxD-E是反向混合单调算子，B:E-E是连续的日唆性算子，若满足O条件（I）存在正有界线性增算子肱:E—E,K:E—E,且满足：TOC\o"1-5"\h\zM(v一u)<A(v,u),A(u,v)<(I一K)(v一u)，其中I为恒等算子0 0 0 0 0 0 0 0使得(II)存在正有界线性算子L:E-E，L的谱半径：0<r(L)<1，并且)<r(M+K+L)<a<1，使得A(u,v)一A(v,u)<L(v一u)，当u<u<v<v时；(III)A(v,u)+u<Bv<Bu<A(u,v)+u当u<u<v<v时，0 0 0 0则算子方程A（x,x）+u0=Bx在D上有虹的不动点x*。构造迭代序列u=A(v,u)一M(v一u)+uu=A(v,u)一M(v一u)+u，

n+1 nn nn 0n+1 nn nn 0都收敛于x*,且有误差估计:-x*||-x*||<N(r(M+K+L))n|"。-uJ|，|v一x*||<N(r(M+K+L))n||v 一u（N为常数）。证明：运用数学归纳法证明(*)，<…<u<…<v<…<v<v<(*)，事实上当n=1时，由条件（I）及A是反向混合单调算子可知:u<A(v,u)一M(v一u)+u=u<A(v,u)+u<A(u,v)+K(v一u)+u=v<v，0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0则(*)式成立，假设n=k时式（*）成立，即P有u<u<v<v，从而有:M(v一u)<M(v一u)，K(v一u)<K(v 一u)，kk k-1 k-1 kk k-1k-1则n=k+1时，由A的反向混合单调性雉

u=A(v,u)一M(v 一u)+u<A(v,u)一M(v一u)+u<A(v,u)一M(vTOC\o"1-5"\h\zk k-1k-1 k-1 k-1 0 k-1 k-1 kk0 kk k=u<A(v,u)+u<A(u,v)+K(v一u)+u=v<A(u,v)+K(v一u)+u=vk+1 kk0 kk kk0k+1 k-1k-1 k-1k-1 0k则(*)式成立。再由条件(11)和A的反向混合单调性知：0<v一u=A(u,v)一A(v,u)+M(v一u)+K(v一u)<L(v一u)nn n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1+M(v1-u1)+K(v1-u1)=(L+M+K)(v】-u「,令H=M+K+L，对任给勺r(H)<a<1，由lim Hn||n=r(H)<a<1,nTs可知存在n，使得|H』<rn(H)<1,n>n。根据P的正规性递推得|v-u||<Nrn(H)|"0-uJ。又0<u-u<v-u<v-u<Hn(v-u),n+m nn+mnnn 0 0<vn~un+m从而<Nrn(H)||v一uvnvn~vn+m<Nrn(H)|v-u||,所以｛u｝和｛v｝是E中的Cauchy序列。n n由E的完备性知，存在u*,v*GE，使uTu*,vTv*(nTs)且u<u*<v*<v,再由0<v*-u*<v-u<Hn(v-u)与锥P的正规性，易知：u*=v*=X*GD。由u<u<v,令pTs得:u<X*<v,又由条件曲)知：u<A(v,u)+u<Bv<Bu<A(u,v)+u<v，

n n-1n-1 0 n n n-1n-1 0n再由 u<A(v,u)+u<A(x*,x*)+u<A(u,v)+u<v，n n-1n-1 0 0 n-1n-1 0n同时令〃T8，得A(x*,x*)+u=x*=Bx*,即x*是方程A(x,x)+u=Bx在U,v］上的不动点。下证x*的唯一性。设y*也是方程A(x,x)+u0=Bx在D中的利点贝仿照上述方法由归纳法可得u<y*<v,令nT8得x*=y*,故x*是A(x,x)+u=Bx在D中的唯一不动点。最后在u一u||<Nrn(H)||v一u和v一v||<Nrn(H)||v-u||中，n+m n 0 0 n n+m 0 0令mT8便得到误差估计式证毕参考文献：【1】郭大钧非线性泛函分析皿。济南：山东科学技术出版社，1985【2】孙经先非线性泛函分析及其应用。科学出版社，2008【3】GuoDajun&V.LakshmikanthamCoupledfixedpointsofnonlinearoperatorswithapplications.NonlinearAnalysisTMA,11(1987):623-632【4】严心力对称压缩算子方呈解的存在唯一性定理及其应用［J］。科学通报。1990,35(10)：733-736【5】孙经先文立山非线性算子方程的迭代求解及其应用3】。数学物理学报1993,13(3):141-145【6】张庆正序对称压缩算子方呈的西弋脚及其应用3］。工呈数学学报2000,17(2)：131-134【7】李俊强张斐然一类混合单调算子的心不动点定理的推广［J］。郑州大学学报2004,36(4)：13-15【8】谕生孙俊萍一类混合单调算子方呈解的存在虹性定MJ］。陕西师大学报，2002,30(10)：1-4【9】王泗奎做黎明等Banach空间中两类算子方程的可解性3］。江西科学，2006,24(6)：407-409【10】郭大钧