人教A版第6章平面向量及其应用第7章复数知识梳理高二上学期数学学业水平考试

第六章平面向量及其应用知识框架知识框架学考要求学考要求(1)理解向量相等的含义，理解向量的几何表示和基本要素、平面向量运算规则，理解其几何意义。(2)掌握平面向量的数乘运算，理解其几何意义，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。(3)理解平面向量基本定理及其意义，会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角，并能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。掌握正弦定理、余弦定理及其变形.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理，并能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.知识点明晰知识点明晰一、向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．（4）两个向量之间的关系①按照向量的方向 平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．②按照向量的长度相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：长度相等且方向相反的向量．如二、向量的线性运算（1）向量的线性运算运算注意法则（或几何意义）运算律加法三角形法则：首尾相连三角形法则平行四边形法则①交换律②结合律减法三角形法则：共起点，连终点，指向被减向量三角形法则数乘实数的正负决定方向的同，反。（1）（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，注：①学生手写向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．三、向量共线定理、平面向量基本定理（1）共线向量定理（一维）如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．平面向量基本定理（二维）如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，若不共线，称叫做表示该平面内的所有向量的一个基底。二、常用结论二、常用结论1、向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即．2、中线向量定理如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．鸡爪定理（俗称）三、平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量向量点．（3）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．四、平面向量的直角坐标运算①已知点，，则，②已知，，则，，二、常用结论二、常用结论①减法公式：，常用于向量式的化简．②、、三点共线，这是直线的向量式方程．③五、平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq\o(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量eq\o(OA1,\s\up6(→))的变换称为向量a向向量b投影，向量eq\o(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量.,向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ)eq\f(b,|b|).（3）数量积的运算律已知向量、、和实数，则：①；②；③．（4）数量积的性质设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则①．②．③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．④．⑤．（5）相关运算和坐标运算对比已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)注意(1)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；(2)两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线；六、平面几何中的向量方法用向量法求解平面几何问题的一般步骤“三步曲”：几何元素向量化→向量运算关系化→运算结果几何化；几何元素转化为向量的途径：基向量法和坐标法.二、常用结论二、常用结论两个常用结论：①平行四边形的两对角线的平方和=四边的平方和；②计划恒等式；七、余弦定理、正弦定理在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,共6个元素，则已知其中三个元素（必含一条边）求另外三个元素的过程叫解三角形。余弦定理：若R为△ABC外接圆的半径，a2=b2+c22bccosA;b2=c2+a22accosB;c2=a2+b22abcosC；解决的问题：①已知两边及其夹角求其他元素；③已知两边及其一边的对角，求第三边（得到含第三边的一元二次方程）；余弦定理推论：cosA=b2+c2解决的问题：①可以从三角形的三边计算出三角形的三个内角．②判断三角形的形状。正弦定理asinA=b变形：转化思想①边化角a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②角化边sinA=a2R,sinB=b2R,sin解决的问题：①一是已知两角和其中一角的对边,求其他边与角;②二是已知两边和其中一边的对角,求其他边与角.面积公式:S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acS△ABC=abc4R=12(a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径,并可由此计算R,二、常用结论二、常用结论①边化角,角化边⇔a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.②大边对大角,大角对大边:a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.③合分比:a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsin④△ABC内角和定理:A+B+C=π.则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB⇔c=acosB+bcosA.cosC=－cos(A+B)=－cosAcosB+sinAsinB.⑤sinA+B2=cosC2;cosA⑥在△ABC中,内角A,B,C成等差数列⇔B=π3,A+C=2π八、几个角1.仰角和俯角在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角叫仰角,视线在水平线下方时与水平线的夹角叫俯角（如①②）方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°,如③)坡角:坡面与水平面的夹角(如④,角θ为坡角)第七章复数知识框架知识框架学考要求学考要求（1）了解数系的扩充，掌握各个数集之间的关系，掌握复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.（2）掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.知识点明晰知识点明晰复数的概念形如z=a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，叫虚数单位，满足复数的模：复数的模，其计算公式复数的模表示复平面内的点到原点的距离．复数的分类其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．互为共轭的两个复数在复平面内对应的点是关于实轴对称的。复数相等若a＋bi＝c＋di（a，b，c，d∈R）a=c,且b=d。（两复数对应同一点）复数的几何意义(1)(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．复数的四则运算(1)复数的加减运算：（a＋bi）±（c＋di）=（a±c）+（b±d）i；（a,b,c,d∈R）(2)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(3)复数的除法：除法的关键一般是分子分母同乘以分母的共轭复数，目的是使得分母实数化（有时可以乘以非共轭复数）.常用结论①当时，．②．③；；④|z1·z2|=|z1|·|z2|;z1z2=|z1||z2|⑤(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.注意：(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．(3)在复数计算的