13.4最短路径问题(用)

八年级上册13.4课题学习最短路径问题如下图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③

如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？两点之间，线段最短.lACB作法：连接两点与直线的交点即为所求的点〔1〕两点一线：异侧〔1〕这两个问题之间，有什么相同点和不同点？〔2〕我们能否把左图A、B两点转化到直线l的异侧呢？

〔3〕利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABC同侧异侧轴对称

引例：牧马人从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再回到B点宿营。请问怎样走才能使走的路程最短？ABllABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？ABl〔1〕两点一线：同侧lABCB′如图，作点B关于直线l的对称点B′.当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？在连接AB′两点的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.作法：〔1〕作点B关于直线l的对称点B′；〔2〕连接AB′，与直线l相交于点C．那么点C即为所求．在直线l上任取另一点C′，连接AC′、BC′、B′C′．∵直线l是点B、B′的对称轴，点C、C′在对称轴上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，

∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′证明：如图.归纳lAB′ClABCB′lABC抽象为数学问题用旧知解决新知轴对称解决实际问题ABl解决“两点一线〞型最短路径问题的方法：异侧:连接两点，与直线的交点即为所求的点；同侧:作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求的点．BlA·B′C(中考)如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，那么点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是()A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角D

如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。A.B.aB1C知2－练如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，那么点P的坐标是()A．(－2，0)B．(4，0)C．(2，0)D．(0，0)CB′

如图13.4­-5，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．〔2〕两线一点图13.4­-5ab.p解决“两线一点〞型最短路径问题:要作两次轴对称，从而构造出最短路径．PabP1P2MN.解决“两线一点〞型最短路径问题:PabP1P2MN.解决“两线一点〞型最短路径问题:要作两次轴对称，从而构造出最短路径．作法：1.作点P关于直线a的对称点P1;2.作点P关于直线b的对称点P2;3.连接P1P2，分别交直线a，b于点M,N;4.依次连接PM,MN,NP,即所求最短路径。PabP1P2MN.〔3〕两线两点.A.B草地河

牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。l1l2ABA1B1PQ解决“两线两点〞型最短路径问题:1.先作出第一个点A关于直线l1的对称点A1;2.再作出第二个点B关于直线l2的对称点B1;3.连接A1B1，分别交直线l1,l2于点P,Q;4.依次连接AP,PQ,QB,从而构造出最短路径。..〔4〕造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？〔假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直〕BA思维分析BA如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１

≥AM+MN+BN问题2归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题lA