3.1.1 函数的概念 （解析版）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1《函数的概念》分层练习考查题型一函数的概念1．下列选项中表示同一函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【分析】根据定义域，值域以及函数表达式是否相同，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，因为定义域为，而的定义域为，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；对于B，因为定义域为，而的定义域为，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；对于C，易知函数和的定义域为，值域为，且所以是同一函数．对于D，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数.故选：C．(多选题)2.下列各组函数不是同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】ABD【分析】根据当两函数的定义域和对应关系对应相等时是同一个函数逐个分析判断即可【详解】对于A，由，得或，所以的定义域为，由，得，所以的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以A正确，对于B，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以B正确，对于C，的定义域为，的定义域为，，所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C错误，对于D，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D正确，故选：ABD(多选)3.下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】分别解出相应的定义域和值域.【详解】对A，要使函数有意义，则，解得，该函数定义域为，当时，，则，即该函数值域为，A正确；对B，要使函数有意义，则真数，函数定义域为，又，即该函数值域为，B不正确；对C，要使函数有意义，则，解得，该函数定义域为，因为，所以函数为增函数，当时，，此时；当时，，此时.即该函数值域为，C不正确；对D，要使函数有意义，则解得，该函数定义域为，因为，显然，即，即该函数值域为，D正确.故选：AD.4．已知函数与的定义域相同，值域也相同，但不是同一个函数，则满足上述条件的一组与的解析式可以为.【答案】【分析】结合一次函数的性质可知，，两个函数的定义域和值域都是R,但是对应关系不同.【详解】结合一次函数的性质可知，，两个函数的定义域和值域都是R,但是对应关系不同，所以两个函数不是同一个函数.故答案为.【点睛】本题主要考查基本初等函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.考查题型二函数的定义域1．下列函数中定义域为R的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】逐个求解函数的定义域判断即可【详解】对于A，由，得函数的定义域为，所以A错误，对于B，由，得，所以函数的定义域为，所以B错误，对于C，定义域为R，所以C正确，对于D，的定义域为，所以D错误，故选：C2．函数的定义域为.【答案】【分析】根据偶次根式有意义及分母不为零计算求解即可.【详解】因为函数，满足，即，函数的定义域为.故答案为：.3．已知函数，(1)求的定义域；(2)求，的值；(3)当时，求的值.【答案】(1)；(2)，；(3).【分析】（1）利用函数有意义列出不等式，并求解作答.（2）（3）代入计算作答.【详解】（1）函数有意义，则，解得，且，所以函数的定义域是.（2）依题意，，.（3）当时，，则.4.设函数的定义域是，求函数的定义域．【答案】【分析】根据复合函数定义域的求解方法，列出不等式组求解即可.【详解】∵函数的定义域是，∴要使函数有意义，则，解得.故函数的定义域为.考查题型三求函数的解析式1．已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.【详解】依题意，设，则有，解得，所以.故选：D2．已知一次函数满足，则（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】根据待定系数法可得函数解析式，进而即得.【详解】设，则,因为，所以，解得，所以，.故选：B.3.（1）已知一次函数满足，求的解析式．（2）已知二次函数满足，，，求的解析式．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）利用一次函数的形式和待定系数法求函数的解析式；（2）利用二次函数的形式待定系数法求函数的解析式；【详解】设，则，于是有解得或所以或．（2）设，由题意得解得故．4.已知函数对任意正实数，，都有．(1)求的值；(2)若，（，为常数），求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）令,代入求解即可；（2）因为,则,再次利用求解即可.【详解】（1）令，，得，解得．（2）因为，所以．1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案.【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为.故选：C2．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5【答案】D【分析】由函数的定义域求出值域，然后由集合中元素的互异性与集合相等分类讨论求解即可.【详解】函数的定义域为A，值域为B，所以当时，；当时，；当时，；当时，；所以，又，所以若，解得或，因为，所以.此时，所以，则；若，又，所以不成立.综上，.故选：D.(多选题)3．中文“函数.（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列关于函数的命题正确的是（

）

A．与表示同一函数B．函数的定义域是C．已知函数，则在区间的值域为D．上图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像【答案】AC【分析】对于A，根据同一函数的定义即可判断；对于B，求解定义域即可判断；对于C，利用二次函数的性质即可判断；对于D，根据函数的概念即可判断.【详解】对于A，与的定义域都为，且解析式一样，所以与表示同一函数，A对；对于B，，解得且，所以函数的定义域是，B错；对于C，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以在区间的值域为，C对；对于D，上图所示的椭圆图形不可以表示某一个函数的图像，D错.故选：AC4.为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处面积为10000平方米的矩形隔离病区（图中大矩形），划分两个完全相同的长方形工作区域（图中两小矩形），分别为观察区和治疗区，根据防疫要求，为方便救护车出入所有内部通道（图中阴影区域）的宽度为6米.(1)设隔离病区的长x米，将工作区的面积表示为x的函数f（x），并求出定义域(2)应该如何设计该隔离病区的长，才能使工作区域的总面积最大？【答案】(1),定义域为；(2)米时面积最大【分析】（1）根据题意，列出关系式即可；（2）根据基本不等式，即可求出最值.【详解】（1）设隔离病区的长为x米，由面积为10000平方米，得宽为米，由题意知，，解得，所以，，定义域为（2）由（1）知，,当且仅当，，即时，等号成立.所以，当该隔离病区的长为，才能使工作区域的总面积最大.5.设函数．(1)当时，求函数的定义域；(2)若函