直线与平面的夹角二面角及其度

323直线与平面的夹角

324二面角及其度量1理解斜线和平面所成角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性2会求直线与平面所成的角3掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角4掌握求二面角大小的基本方法名师点拨1二面角是图形,它是由两个半平面和一条棱构成的图形2符号α-l-β的含义是棱为l,两个面分别为α,β的二面角3两个平面相交,构成四个二面角【做一做3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-B1C-A1的平面角的正切值为1⊥α,m2⊥β,则角<m1,m2>与二面角α-l-β相等或互补【做一做4】若二面角的两个半平面的法向量分别为4,2,0和3,-6,5,则这个二面角的余弦值是解析:4×32×-60×5=0,则二面角的两个半平面的法向量互相垂直故这个二面角的余弦值是0答案:A1如何理解直线与平面所成的角剖析:1直线与平面斜交时,直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角;2直线与一个平面垂直时,直线与平面的夹角为90°;3一条直线与一个平面平行或在平面内时,直线与平面的夹角为0°2如何用向量求线面角剖析:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线与平面所成的角为θ,则sinθ=|cos<a,3如何理解二面角的平面角剖析:二面角的平面角必须具备三个条件:1二面角的平面角的顶点在二面角的棱上;2二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内;3二面角的平面角的两条边都与棱垂直,且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关4如何求二面角剖析:1作出二面角的平面角;2利用法向量的夹角题型一题型二题型三题型四用定义法求直线与平面所成的角分析:解答本题可找出点A在平面内射影的位置,作出线面角,然后解三角形求出线面角解:∵OA=OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°,∴AB=AC=a∵为等腰直角三角形同理,△BOC也为等腰直角三角形如图,过点A作AH⊥α于点H,连接OH,则OH为AO在平面α内的射影,∠AOH为OA与平面α所成的角题型一题型二题型三题型四反思用定义法求直线与平面所成的角时,关键是找到斜线的射影,找射影有两种方法:1斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;2利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影题型一题型二题型三题型四用向量法求直线与平面所成的角【例2】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=2BC,A1B⊥1所成角的正弦值分析:因为是直三棱柱,所以本题可建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思利用向量法求斜线与平面的夹角的优势在于不用找角,只需建立适当的坐标系,用待定系数法求出平面的法向量,再用公式求解即可但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系题型一题型二题型三题型四用定义法求二面角的大小【例3】如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,AD=DC=BC=a,1求证:平面ABC⊥平面ADC;2求二面角C-AB-D的大小分析:1可利用面面垂直的判定定理证明;2利用平面ABC垂直于平面ADC,作出所求二面角的平面角,然后解三角形求角题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思所谓定义法,就是作出二面角的平面角,然后通过解三角形求解作出二面角的平面角常用的方法有:1找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线;2在二面角的一个面上取一点,利用三垂线定理作平面角;3在二面角的棱上取一点,分别在两个面内作出和棱垂直的射线题型一题型二题型三题型四用向量法求二面角的大小【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A1-BD-