立体几何定理总复习

第二章点、线、平面之间的位置关系异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线特点：既不平行也不相交异面直线所成的角b'a'αbao取值范围3、空间线面的位置关系：lllA线在面内线面相交线面平行线在面外4、空间两平面的位置关系：αβ5、判断点在线上的方法有：如果点是两个平面的公共点，直线是两个平面的交线，则点在线上；BAP6、判断线在面内的方法有：1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；2如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面内CβαPBPC7、确定平面或证点线共面的方法有：1过不共线三点；2过直线和直线外一点；3过两条相交直线；4过两条平行直线注：确定相当于有且只有一个A．．．ABC8、判断线线平行的方法有：2平行的传递性：平行于同一条直线的两直线平行bac1在同一个平面不相交的两条直线平行ab8、判断线线平行的方法有：3线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行αabβ符号语言8、判断线线平行的方法有：4面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行abαβγ符号语言5线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行8、判断线线平行的方法有：符号语言abα9、判断线面平行的方法有：2判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行ab1定义法：若直线与平面没有公共点符号语言9、判断线面平行的方法有：3如果两个平面平行，则在一个平面的任意一条直线都与另一个平面平行aαβ符号语言10、判断面面平行的方法有：2判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行1定义：如果两个平面没有公共点abαβP符号语言10、判断面面平行的方法有：3推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行αβab10、判断面面平行的方法有：4平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面相互平行符号语言10、判断面面平行的方法有：5垂直于同一条直线的两个平面平行βαl如何作直线和平面所成的角：αPAB直线与平面所成的角的取值范围是11、判断线线垂直的方法有：1若为两条异面直线，则需判断其所成的角为直角αba11、判断线线垂直的方法有：2一条直线垂直于一个平面，则它和平面内任意一条直线都垂直lm3三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直11、判断线线垂直的方法有：逆斜线斜线的射影αOAP12、判断线面垂直的方法有：1定义法：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直12、判断线面垂直的方法有：2判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直αmlPn符号语言12、判断线面垂直的方法有：3两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面αab符号语言12、判断线面垂直的方法有：4一条直线垂直两个平行平面中的一个，则它也和另一个平面垂直βαl符号语言12、判断线面垂直的方法有：5面面垂直的性质定理:两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直αβlm符号语言12、判断线面垂直的方法有：6如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面αβγl符号语言13、判断面面垂直的方法有：1定义法：两个相交平面所成的二面角是直二面角；lαβOAB二面角的平面角的取值范围13、判断面面垂直的方法有：2判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直αβl符号语言空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补14、等角定理：人教A必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系直线和直线的位置关系3种关系分类位置关系定义公共点共面直线相交直线有且仅有一个公共点有公共点平行直线共面且没有公共点异面直线异面直线不同在任何一个平面内没有公共点共面直线2个平面的位置关系3种关系位置关系定义公共点个数两个平面平行没有公共点0个两个平面相交有一条公共直线无数直线和平面的位置关系3种关系1、直线在平面α外，则二者的公共点个数是（）A一个B至少一个C至多一个D无数个C练习2、两条直线没有公共点，则它们的关系是（）平行或异面线面平行线线平行面面平行判定1：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。判定2：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这2个平面平行平行问题3种问题判定1判定2性质1性质2线面平行线线平行面面平行性质1：如果直线a与平面α平行，若经过a的平面β与α的交线为b，则a∥b性质2：如果2个平面平行，则它们被第三个平面所截得的两条交线平行平行问题3种问题判定1判定2性质1性质2如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。直线与平面平行的判定定理abα平行问题3种问题注意3个条件要写全a线∥线的证明是关键！如何证明两条直线平行？1利用三角形的中位线;3平行的传递性2利用平行四边形；平行问题3种问题平行的传递性：a∥b，a∥c，则b∥c如何证明一个四边形是平行四边形？（1）一组对边平行且相等；（2）两组对边分别平行平行问题3种问题四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E、F是所在侧棱中点，求证：EF∥平面PAB证明：设，连接ME,MB,在△E平行且等于AD的一半，故ME平行且等于BF，故四边形MEFB是平行四边形，于是EF∥MB,又EF在平面B在平面PAB内，故EF∥平面PAB平行问题3种问题典型例题1平行于同一平面的二直线的位置关系是）（A）一定平行（B）平行或相交（C）相交（D）平行，相交，异面D2判断：直线a∥平面α，则直线a平行于α内的任意直线错平行问题3种问题练习（A）平行（B）（C）（D）相交平行或相交平行或异面3、直线a//平面，那么直线a与平面内直线b的位置关系是：平行问题3种问题ABCDEFGH4、空间四边形ABCD中E，F，G，H分别是各边中点。则图中与面EFGH平行的边有（）条。（A）1（B）2（C）0（D）4B平行问题4种问题5、平行于同一平面的二直线的位置关系是（）（A）一定平行（B）平行或相交（C）相交（D）平行，相交，异面D平行问题4种问题6、点A是平面外的一点，过A和平面平行的直线有条。无数平行问题3种问题线线垂直线面垂直面面垂直性质1判定2判定1：如果一条直线与平面内的2条相交直线垂直，则这条直线和这个平面垂直判定2：如果一个平面内经过另一个平面的垂线，则这2个平面垂直性质2垂直问题3种问题判定1线线垂直线面垂直面面垂直性质1判定2性质1：如果两条直线都与一个平面垂直，则这两条直线平行性质2：如果两个平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面性质2垂直问题3种问题判定1直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。n,m,m与n相交，lm,ln,l1、如果直线和平面垂直，则直线垂直面内的任意直线L性质定理2、如果两条直线都和某平面垂直，则这两直线平行垂直问题3种问题线线垂直平面几何的方法立体几何的方法1、勾股定理2、等腰（边）三角形底边上的中线与底边垂直3、正（长）方形的特点两条平行线中的一条与某直线，则另一条也垂直于该直线直线a与平面α垂直，则a垂直于α内的任意直线）4、直径对的圆周角为90度垂直问题3种问题（1）l,mlm（2）n,m,lm,ln,l（3）l,mlm（4）l//m,lm

//

判断对错对对垂直问题3种问题如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直ABDC两个平面垂直的判定定理αβABβABαβ垂直问题3种问题线⊥面得到面⊥面在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：ABCDA1B1C1D1垂直问题3种问题典型例题证明：因为是正方体，所以AC⊥BD，又AA1⊥平面ABCD，故AA1⊥BD，因为AC∩BD=O,所以BD⊥平面ACC1A1故命题得证O四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EBD⊥平面ABCD证明：连接AC，BD，交点为F，连接EF，EF是△SAC的中位线，∴EF//SC直线EF⊥平面ABCD直线EF在平面EBD内故平面EBD⊥平面ABCD垂直问题3种问题（1）两条异面直线成的角将两条异面直线平移为相交直线，所成的不大于90°的角即为二者所成的角ab（1）作，作出所求的角；（2）证明该角是所求；（3）在三角形中计算该角的大小或用余弦定理计算余弦；若异面直线a，b成的角为直角，则称a垂直b，记为a⊥b成角问题3种问题在求解异面直线所成的角时有时需要用到余弦定理△ABC中，abcC成角问题3种问题例：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成角的大小是（）．A．30°B．45°C．60°D．90°解：在图形中，将AC平行移动到A1C1，再连接A1B，则△A1BC1是一个等边三角形，A1C1与BC1所成的角为60°,所以AC与BC1所成角的大小也是60°，选C.成角问题3种问题（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？例

正方形ABCD－A1B1C1D1．求：BB1∥CC1,所以∠A1BB1为所求，大小为45°BB1∥CC1,所以∠A1B1B为所求，大小为90°（3）A1B与B1C所成的角是多少度？A1B∥D1C,所以∠D1CB1为所求，易知△D1B1C为正三角形，故所求角大小为60°（1）A1B与CC1所成的角是多少度？成角问题3种问题2、四棱柱求异面直线A1B与AD1所成的角的余弦成角问题3种问题正方体中，E,M为所在棱中点，求AE与BM所成角的余弦成角问题3种问题（2）线面角---直线和平面所成的角

AB直线L是的斜线时,作AB⊥α于B，直线L与平面α的交点是O∠AOB（锐角）即为与所成的角成角问题3种问题直线与平面所成角斜线与平面所成角注意:成角问题3种问题判断①两平行线和同一平面所成的角相等②两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线是平行直线③一条直线和两个平行平面所成的角相等√×√成角问题3种问题（1）A1B与平面ABCD所成的角在正方体中，求（2）A1B与平面BDD1B1所成的角∠A1BA=45°∠A1EB=30°E成角问题3种问题3、二面角成角问题3种问题成角问题3种