时指数函数的图象和性质

第四章422指数函数的图象和性质第1课时指数函数的图象和性质一学习目标UEIMUBIAO1掌握指数函数的图象和性质2学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE

a>10<a<1图象

性质定义域R值域__________过定点过定点

，即x＝

时，y＝___知识点指数函数的图象和性质0，＋∞0,101性质函数值的变化当x<0时，

；当x>0时，______当x>0时，

；当x<0时，______单调性在R上是_______在R上是_______对称性y＝ax与y＝

的图象关于y轴对称0<y<1y>10<y<1y>1增函数减函数思考1在平面直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？答案指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限思考2指数函数y＝aa>0且a≠1的图象“升”“降”主要取决于什么？答案指数函数y＝aa>0且a≠1的图象“升”“降”>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势预习小测自我检验YUIIAOCEIWOJIANYAN减＝2－的图象是_____填序号②又过点0,1，排除④＝aa>0且a≠1在R上是增函数，则a的取值范围是___________解析结合指数函数的性质可知，若y＝aa>0且a≠1在R上是增函数，则a>11，＋∞＝2＋3的值域为___________解析因为2>0，所以2＋3>3，即函数f＝2＋3的值域为3，＋∞3，＋∞2题型探究PARTTWO例1求下列函数的定义域和值域：一、指数函数的定义域和值域解定义域为R∴此函数的值域为[1，＋∞∴≥0，∴定义域为[0，＋∞∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0,13y＝4－2＋1解函数的定义域为R延伸探究本例3的函数变为“y＝4－2＋1，∈”，求其值域∵∈，∴当2＝1，即＝0时，y取最小值1；∴当2＝4，即＝2时，y取最大值13，∴函数的值域为反思感悟函数y＝af定义域、值域的求法1定义域：形如y＝af形式的函数的定义域是使得f有意义的的取值集合2值域：①换元，令t＝f；②求t＝f的定义域∈D；③求t＝f的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域注意：1通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集2当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论跟踪训练1求下列函数的定义域、值域：解函数的定义域为R2y＝解应满足－4≠0，∴≠4，∴定义域为{|≠4，∈R}∴y＝

的值域为{y|y>0，且y≠1}.二、指数函数的图象及应用√解析由于0<m<n<1，所以y＝m与y＝n都是减函数，故排除A，B，作直线＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝m的图象例21已知0<m<n<1，则指数函数①y＝m，②y＝n的图象为2函数f＝a－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是Aa>1，b<0 Ba>1，b>0C0<a<1，b>0 D0<a<1，b<0√解析从曲线的变化趋势，可以得到函数f为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝a0<a<1的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<03已知函数y＝3的图象，怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象作函数y＝3关于y轴的对称图象得函数y＝3－的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－＋1的图象，反思感悟处理函数图象问题的策略1抓住特殊点：指数函数的图象过定点0,1，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的，y的值，即可得函数图象所过的定点2巧用图象变换：函数图象的平移变换左右平移、上下平移3利用函数的性质：奇偶性与单调性跟踪训练21函数f＝2a＋1－3a>0，且a≠1的图象恒过的定点是______________解析因为y＝a的图象过定点0,1，所以令＋1＝0，即＝－1，则f－1＝－1，故f＝2a＋1－3的图象过定点－1，－1－1，－12已知直线y＝2a与函数y＝|2－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围解函数y＝|2－2|的图象如图所示要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0<a<1，故实数a的取值范围为0,13随堂演练PARTTHREE1.函数f(x)＝πx与g(x)＝

的图象关于A.原点对称 B.x轴对称C.y轴对称 D.直线y＝－x对称12345√解析设点，y为函数f＝π的图象上任意一点，因为点，y与点－，y关于y轴对称，＝a与y＝b的图象如图所示，则Aa<0，b<0 Ba<0，b>0C0<a<1，b>1 D0<a<1,0<b<112345√解析结合指数函数图象的特点可知0<a<1，b>112345＝2·a－1＋1的图象恒过定点________解析令－1＝0，得＝1，f1＝2×1＋1＝3，所以f的图象恒过定点1,31,312345解析由2－1≥0解得≥0，[0，＋∞12345课堂小结ETANGIAOJIE1知识清单：1指数函数的图象2指数函数的性质：定义域、值域、单调性及过定点2方法归纳：数形结合法、换元法3常见误区：在求值域时易忽视指数函数隐含的条件a>04课时对点练PARTFOUR基础巩固12345678910111213141516√∴≤0，A＝{|≤0}，∴∁UA＝{|>0}123456789111213141516√解析要使函数有意义，须满足16－4≥0又因为4>0，所以0≤16－4<16，10＝2＋1的图象是123456789111213141516√10解析当＝0时，y＝2，且函数单调递增4多选若a>1，－1<b<0，则函数y＝a＋b的图象一定过A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限123456789111213141516√解析∵a>1，且－1<b<0，故其图象如图所示10√√解析当a>1时，函数f＝a单调递增，当＝0时，g0＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A√12345678911121314151610＝a与g＝－＋a的图象大致是123456789111213141516解析函数y＝a的图象过点0,1，向下平移|b|个单位长度，超过一个单位长度，所以函数f＝a＋b的图象不过第一象限6若0<a<1，b<－1，则函数f＝a＋b的图象一定不经过第______象限10一123456789111213141516106解析由指数函数y＝

的图象可知在x＝－1处取最小值为2，在x＝－2处取最大值为4.∴m＋n＝612345678911121314151610－1,0∪0,1解析由<0，得0<2<1；由>0，∴－<0,0<2－<1，∴－1<－2－<0，∴函数f的值域为－1,0∪0,1123456789111213141516101求a的值；123456789111213141516102求函数y＝f＋1≥0的值域当＝0时，函数取最大值1，故f∈0,1]，故函数y＝f＋1≥0的值域为1,2]123456789111213141516101在同一坐标系中作出f，g的图象；解函数f，g的图象如图所示，123456789101112131415162计算f1与g－1，fπ与g－π，fm与g－m的值，从中你能得到什么结论？从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称11.函数y＝

－1的定义域、值域分别是A.R，(0，＋∞) B.{x|x≠0}，{y|y>－1}C.{x|x≠0}，{y|y>－1，且y≠1} D.{x|x≠0}，{y|y>－1，且y≠0}综合运用123456789111213141516√10则可知u≠1，∴y≠21－1＝1又∵y＝

－1>0－1＝－1，∴函数y＝

－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y>－1，且y≠1}.解析函数y＝a＋b－1a>0，且a≠1的图象是由函数y＝a的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈0,1若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝a0<a<1的图象向下平移大于1个单位长度，即b－1<－1，所以b<0＝a＋b－1a>0，且a≠1的图象经过第二、三、四象限，则一定有A0<a<1，且b>0 Ba>1，且b>0C0<a<1，且b<0 Da>1，且b<0123456789111213141516√1012345678911121314151610由指数函数的图象知B正确√123456789111213141516，b满足等式，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b其中，不可能成立的有____个102故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④＝－a－b其中a>b的图象如图所示，则函数g＝a＋b的图象是拓广探究123456789111213141516√10解析由函数f＝－a－b其中a>b的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g＝a＋b是减函数，排除选项C，D；又因为函数图象过点0,1＋b1＋b<0，故选A12345678911121314151610＝a＋ba>0，且a≠11若f的图象如图①所示，求a，b的值；12345678911121314151610解