重难点专题01 函数的奇偶性、周期性、对称性（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题01函数的奇偶性、周期性、对称性TOC\o"1-3"\h\u题型1利用函数性质解不等式 1题型2利用奇偶性、周期性对称性求值 7题型3构造奇偶函数求函数值 11题型4对称性、奇偶性的运用 14◆类型1对称轴 15◆类型2中心对称+轴对称构造周期性 19◆类型3“类”周期函数 24◆类型4对称性解决恒成立 28题型5三角函数中的对称性问题 33题型6复杂奇函数问题 38题型7函数的旋转问题 42题型8两个函数的对称问题 46题型1利用函数性质解不等式1、对于任意x1,x2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（x=0）远，谁的函数值就大；如果口朝下：谁离对称轴（x【例题1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数f(x+2)=A．-∞,-C．-∞,-【答案】B【分析】设g(x)=f(x+2)=log3(3x+3-x)【详解】设g(因为g(所以g(所以f(x+2)的图象所以f(x)的图象设y=3x令y'>0，则3x所以y=3x因为函数y=所以gx在0,+所以fx在2,+因为fa所以a-所以(a-3)2≥所以实数a的取值范围为-2,故选：B【点睛】关键点点睛：解题的关键是根据已知条件判断出f(x)的图象关于直线x【变式1-1】1.（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）定义在R上的可导函数f（x）满足fx-f-x=xA．-23,2 B．2,+∞ C．【答案】A【分析】根据已知条件构造函数gx【详解】由fx-f令gx=fx-又x∈0,+∞所以gx在0,+由f2a-fa又gx所以g2所以2a≤a+2，即所以a的取值范围为-2故选：A.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数gx【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）设函数fx=sinx-1+A．3,+∞ B．1,+∞ C．-【答案】B【分析】构造gx=sinx+ex-e-x-x,x∈R，发现【详解】解：假设gx所以g-x=所以gx而fx=sinx-1+ex由fx=因为ex-1+1所以f'x≥因为fx+f所以3-2x<2-故选：B【变式1-1】3.（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数f(x)=ex-1+A．-4 B．-12 C．【答案】BC【分析】令t=x-1，得到g(t)=et+e-t+t2-1，推得g【详解】由函数f(令t=x-1，则可得g(所以gt为偶函数，即函数fx的图象关于又由g'(t可得φ'(t)=e当t>0时，g'(t)>0，g当t<0时，g'(t)<0，g由不等式f(2-ax)<所以不等式1-ax<x2所以x2+ax+1>0x2-解得-2<故选：BC.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设t=x-1，从而得到g(t)=【变式1-1】4.（2021·广西·广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=aA．-23 B．-34【答案】B【解析】利用指数的运算性质易得x≥0时f2x=f2x，进而根据偶函数的性质和函数在x≥0上的单调性，将不等式很成立问题转化|x+【详解】当x∈[0,若对任意的x∈[0,b+1]，均有由于a>1,当x≥0又∵函数f(∴f(x+b)≥f由区间的定义可知b>-1,若x+b由于x的最大值为b+1，故b≥x∴b+x<0,∴x+故b的最大值为-3故选：B.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及指数函数，函数的奇偶性，分类讨论思想，关键是x≥0时f2x=f2x，化归为f【变式1-1】5.（2020·湖南邵阳·统考三模）已知函数f(x)是定义在R的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递减，若实数a【答案】1【分析】先利用偶函数的性质将不等式化简为f(|log3a|)≥f(1)【详解】因为f(x)所以f(所以f(log3因为f(x)为[0,+∞)解得-1≤log3a≤1【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为f(x1)与（2）利用函数单调性将f(2.偶函数的性质：f(x)=3.若f(x)在D上为增函数，对于任意x若f(x)在D上为减函数，对于任意x题型2利用奇偶性、周期性对称性求值函数周期性的常用结论与技巧设函数y=fx①若f(x+②若f(x+③若f(x+④若f(x+⑤f(x【例题2】（2022·全国·高三阶段练习）已知函数f(x),g(x)是定义在R上的偶函数，g(3)=2，若对任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(3)，对任意m,n∈R且m+n=4，都有g(m)=g(n)【答案】2【分析】根据给定条件，探讨函数f(x),g(x)的周期性，再利用性质计算作答.【详解】因函数f(x)是R上的偶函数，且任意x∈R，都有则当x=-3时，f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3)，即则f(x)是以6为周期的周期函数，f(99)=f(16×又函数g(x)是R上的偶函数，且任意m,n∈R且m+n=4，都有则对∀x∈Rg(99)=g(24×4+3)=g(3)=2，所以故答案为：2【变式2-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数fx存在导函数f'x，且满足f-x=fxA．y=x B．y=0 C．y=x+1 D．y=【答案】B【分析】利用fx是偶函数、周期为4，得fx关于x=2对称，x=2022是fx的对称轴，即x=2022是f【详解】fx的定义域为R，由f-x由f4-x因为fx=f-x=f又因为2022=2+505×4，所以x=2022也是因为fx在R上存在导函数f所以x=2022是fx即f'2022=0，曲线y=f故切线方程可能为y=0.故选：B.【变式2-1】2.（多选）（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）设函数y=fx的定义域为R，且满足f1+x=f1-x，fxA．y=fx+1是偶函数 B．y=fC．函数y=fx-lgx有10【答案】ABC【分析】根据函数关系式可推导得到fx关于直线x=1和点-1,0对称，且周期为8；令gx=fx+1，hx=fx+3=-fx-1【详解】∵f1+x=f1-x，又fx-2+f-x=0∴fx+4=则fx是周期为8对于A，令gx=fx+1∴f对于B，令hx=fx+3∴f对于C，作出fx和y=lgx当x>10时，lgx>1由图象可知：fx与y=lgx共有则y=fx-lgx对于D，∵f∴k=1故选：ABC.【变式2-1】3.（2023·浙江温州·模拟预测）定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=f(2022)，f(-2x+1)=f(2x+5)，若f12=【答案】0-【分析】依题意可得fx+4=fx，即可得到fx是以4为周期的周期函数，再由f(-2x+1)=f(2x+5)，可得f2=f4=f0，即可求出f2022，从而得到f(x+1)+f(x-【详解】解：因为f(x+1)+f(x-1)=f(2022)，所以所以f(x+4)+f(x+2)=f(2022)，则fx+4所以fx是以4所以f(2022)=f(2)，又f(-2x+1)=f(2x+5)，所以又f2+f0即f(x+1)+f(x-1)=0且由f12=12，所以f所以k=1=1故答案为：0；-题型3构造奇偶函数求函数值对于fx【例题3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ln(x+1+x2)+1x+4在[-8A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】设gx=ln(x+1+x2【详解】解：设gx=ln因为g-所以函数gx所以gx所以fx所以M+m=8．故选：A．【变式3-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=ax3+bsinx+3A．-1 B．2 C．5【答案】C【分析】令gx【详解】设gx则g-x=af(x)=g(x)+3，则f(m)+f(-m)=g(m)+3+g(所以f-故选：C【变式3-1】2.（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数fx=alnx+1x-1A．-1 B．2 C．5【答案】C【分析】设gx【详解】设gx则g-故f-x-所以f-故f-因为fm=1，所以故选：C【变式3-1】3.（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知函数fx=2ex+1-【答案】-【分析】把fx的图象向上平移3个单位长度，可得函数gx=-2ex+1-【详解】由题意，得fx把fx的图象向上平移3个单位长度，可得函数gx=当x∈-π,π则在-π,π故fx在-π,故答案为：-6【变式3-1】4.（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））已知函数fx=alnx2【答案】-6【分析】令gx=fx+2，由奇偶性定义可知g【详解】令gx∵g-x∴gx为∵gm=fm解得：f-故答案为：-6.【变式3-1】5.若函数fx=tx2+2x+t2+【答案】2【详解】试题分析：由题意，fx=tx2+2x+t2+sinxx2+t=t+2x+考点：函数的最值及其几何意义.题型4对称性、奇偶性的运用函数对称性（异号对称）（1）轴对称：函数fx对于定义域内任意实数x满足fa+x=fb-x，则函数f2.如果函数y=fx满足fa+x=3.y=f(a-（2）点对称：若函数f(x)①f②f③f（2）点对称：若函数f(x)①f②f③f◆类型1对称轴【例题4-1】（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数y=fx的定义域为-∞,1∪1,+∞，且fx+1为奇函数，当x<1时，fA．4 B．2 C．-12 D．【答案】A【分析】根据二次函数对称性求和即可．【详解】解：当x<1时，fx∴对称轴为x=-∵f∴f∴f∴fx关于设x,y为y=fx则2-x,-∴-y=即y=x对称轴为x=4．作出图像如下：由图像知fx不妨设x1由二次函数的对称性知x1x3∴fx=32故选：A．【变式4-1】1.已知函数fx=2eA．-2B．-12C．-1【答案】A【解析】函数fx=2ex-则函数fx=2et-12a2t+2设g（t）∵函数f（t）有唯一零点，∴y=g∴此交点的横坐标为0，∴2-a=a2【变式4-1】2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(a-x)，若函数y=x2-ax-5A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】求出f（x）的对称轴，y=|x2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值．【详解】∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=a2又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=a2当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=a2∴x1+x2+x3+…+xm=m2当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=a2对称，另一个交点在对称轴x=a∴x1+x2+x3+…+xm=a•m-12解得a=4．故选D．【点睛】本题考查了二次型函数图象的对称性的应用，考查转化思想以及计算能力．【变式4-1】3.已知函数fx=①函数fx②函数fx③函数fx的定义域为R，且其图象④对于任意的x∈-1,0，f'xA．②③ B．①③ C．②④ D．①②③【答案】A【详解】函数f(x)定义域为R，当x→+∞或-∞←x时，f(x)→0，又x=0，x=±1，x=±2，故②③正确.点睛：本题考查函数的综合知识：①函数f(x)对于定义域内任意实数x，存在非零常数T，满足f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数；②函数f(x)对于定义域内任意实数x满足f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)关于直线x=a+b2对称，特别地当f(x)=f(2a-③在函数f(x)定义域(a,b)内，存在常数c使得f(c)=0，则x=c叫做函数的零点.◆类型2中心对称+轴对称构造周期性关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|.【例题4-2】已知函数fx为定义域为R的偶函数，且满足f12+x=f32-x【答案】5【详解】∵足f12+x=f32-x，∴fx=f2-x，又因函数fx为偶函数，∴fx作出图象：由图象可知有10个交点，并且关于12，1【变式4-2】1.定义在R上的奇函数fx满足f2-x=fx，且在0,1上单调递减，若方程fx=-A．30 B．14 C．12 D．6【答案】A【解析】根据条件可得出fx的图象关于x=1对称，fx的周期为4，从而可考虑fx的一个周期，利用-1,3，根据fx在0,1上是减函数可得出fx在1,2上是增函数，fx在-1,0上是减函数，在2,3上是增函数，然后根据fx=-【详解】由f2-x=fx知函数f∵f2-x=fx∴f-∴fx+4∴fx考虑fx的一个周期，例如-由fx在0,1上是减函数知fx在fx在-1,0上是减函数，fx对于奇函数fx有f0=0故当x∈0,1时，fx<f0当x∈-1,0时，fx>f方程fx=-则这实数根是唯一的，因为fx在0,1则由于f2-x=fx在-1,0和2,3上f则方程fx=-1在从而方程fx当x∈-1,3，方程f当x∈-1,11，方程f故选：A.【点睛】本题考查了由f2a-x=fx【变式4-2】2.已知定义域为R的函数fx的图像关于原点对称，且f3-x+f-x=0，若曲线y=fxA．y=-4x-8088 B．y=4x+8088【答案】B【分析】由函数f(x)的图像关于原点对称，得出f0=0，再由f3-x+f-x=0得出函数f(x)的最小正【详解】因为定义域为R的函数fx的图像关于原点对称，所以f因为f3-x+f-x=0，f因为f'-2022故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，以及导函数的周期性，求原函数的切线问题，属于较难题.【变式4-2】3.若函数y=f(x)是R上的奇函数，又y=f(x+1)为偶函数，且-1≤x1<x2≤1时，[f(A．f(2017)<f(2018)<f(2019) B．f(2018)<f(2017)<f(2019)C．f(2018)<f(2019)<f(2017) D．f(2019)<f(2018)<f(2017)【答案】D【分析】由题意可知，函数y=f(x)的周期T=4，再由当-1[f(x2)-f(【详解】∵函数y=f(x)是R上的奇函数，又y=f(x+1)为偶函数，∴f(-x)=-∴f(x)=f(x+4)，即函数y=f(x)的周期T=4，∵-1≤x1<∴f(x2)-f(x1∴f(2017)=f(1+4×504)=f(1)，f(2019)=f(-∴f(2019)<f(2018)<f(2017).故选：D.【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.【变式4-2】4.(多选)（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在R上的函数fx､gx，其导函数分别为f'A．f'B．gx关于-C．gxD．g【答案】ABD【分析】对于选项A，利用已知条件fx=f-x，即得结果.对于选项B，由题意可推导出g'x-1为偶函数，gx+1为奇函数，所以[g-1+x+g【详解】因为fx=f-x可得为f因为fx+g'x所以g'x-1为偶函数，所以因为f'x+gx所以gx+1为奇函数，gxg'则g-1+x+g-1-x=c令x等价于x+1，gx+因为gx关于1,0对称，所以g所以令x等价于x+3，所以gx+4故可看成数列an而因为gx关于1,0对称，所以g1=0故a1,a5,a3,a7,所以gxgg3所以g1故选：ABD.【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：①若fx连续且可导，那么若fx为奇函数，则f'x为偶函数；若②若fx连续且可导，那么若f'x关于x=a对称，则fx关于点a,fa◆类型3“类”周期函数“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大.2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.【例题4-3】设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f(x+T)=T⋅f(x)，则称函数y=f(x)是“似周期函数”，非零常数①如果“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为-1②函数f(x)=2③如果函数f(x)=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=2kπ,k∈以上正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】根据题意，首先理解“似周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.【详解】解：①∵“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为-1∴f(x-1)=故y=f(x)它是周期为2的周期函数，故①正确；②若函数f(x)=2x是“似周期函数”，则存在非零常数T，使即2x+T=T⋅2③若函数f(x)=cosωx是“似周期函数”，则存在非零常数T，则即cosω(x+T)=Tcosωx恒即cosωx⋅故cosωT=TsinωT=0，故ω=2kπ,k所以以上正确结论的个数是2.故选：C.【变式4-3】1.已知函数f(x)满足当x≤0时，2f(x-2)=f(x)，且当x∈(-2,0]时，f(x)=|x+1|-1；当x>0时，f(x)=logA．(625,+∞) B．(4,64) C．(9,625)【答案】C【分析】先作出函数f(x)在(-∞,0]上的部分图象，再作出f(x)=log【详解】先作出函数f(x)在(-∞,0]上的部分图象，再作出f(x)=log如图所示，当0<a<1时，对称后的图象不可能与f(x)在(-∞,0]的当a>1时，要使函数f(x)关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，

则a>1-loga故选：C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.【变式4-3】2.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x-1)．若对任意x∈(-∞A．-∞,3C．-∞,5【答案】B【分析】作出图示，求出当2<x≤3时，函数的解析式，求出f(x)=-1【详解】解：∵x∈(0,1]时，f(x)=x如图所示：当2<x≤3时，f(x)=4所以要使对任意x∈(-∞,m]，都有f(x)≥-故选：B．【点睛】易错点睛：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．【变式4-3】3.定义在R上函数满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fx=1A．72 B．92 C．13【答案】D【分析】由题意可得，在区间n,n+1n∈Z上，fx=12【详解】根据题设可知，当x∈1,2时，x-同理可得：在区间n,n+1n∈Z所以当n≥4时，作函数y=fx的图象在72,4上，由fx由图象可知当x≥154故选：D.【点睛】此题考查函数在给定区间上恒成立问题，考查数形结合思想，属于中档题◆类型4对称性解决恒成立常见不等式恒成立转最值问题：（1）∀x（2）∃x（3）∀x（4）∃x（5）∀x（6）∃x（7）∀x（8）∃x【例题4-4】已知函数f(x)=lg(x+x2+1)，且对于任意的xA．(-∞，C．[4，+【答案】B【解析】本题根据函数的解析式先判断函数的奇偶性与单调性，再运用单调性转化不等式，接着运用参变分离构建新函数，最后借导函数求函数在指定区间内的最大值即可解题.【详解】f(x)的定义域为R，f(-x)=lg又f(x)在(0,+∞∴f(x+1x-又x∈(1,2]，则x-1>0，x设g(x)=(x+1)(x-则g'(x)=3x2-∴g(x)在(1，2]内单调递减，g(x)的最大值为从负数无限接近于0，∴0≤-m，【变式4-4】1.已知函数f(x)=2x+m2x+1（0≤x≤1），函数g(x)=(m-1)x（A．1,53 B．2,3 C．2,【答案】D【解析】问题转化为函数f(x)的值域是g(x)值域的子集，分别求出f(x)和g(x)的值域，得到关于m的不等式组，解出即可.【详解】对任意的x1∈0,1，存在x即fx在0,1上的值域是gx在∵f(x)=当m<1时，∴m-∴fx在0,1上单调递增，∴fx又∵g(x)=(m-1)x在1,2上单调递减，∴∴m+1∴m+1当m>1时，m-1>0，∴fx在0,1上单调递减，gx的值域为：m-∴m+12当m=1时，f(x)=1,g(x)=0，显然不满足题意.综上，实数m的取值范围为5故选：D.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数f(x)的值域是g(x)值域的子集.【变式4-4】2.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+1)关于直线x=-1对称.当x≥0时，f(x)={2-14x2A．[-14,0) B．[【答案】D【分析】结合复合函数的单调性，可知f(x)在[0,+∞)上单调递减，由f(x+1)关于直线x=-1对称，可知f(x)为偶函数，从而可将题中不等式转化为|2-2x|≤|x+m|【详解】当0≤x<2时，函数y=-14x2+1在根据复合函数的单调性可知，函数f(x)在[0,2)上单调递减，且f(x)>2当x≥2时，f(x)=2-log2x，易知函数∴函数f(x)在[0,+∞∵f(x+1)关于直线x=-1对称，∴f(x)关于x=0对称，即∴不等式f(2-2x)≥∴|2-2x|即|2-2x|2令g(x)=3x∴对任意的x∈[m,m+1]，g(x)∴{g(m)=3即{-8m+4≤故选：D.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于较难题.【变式4-4】3.已知f(x)=2sin|πx|-sin|πx|，g(x)=|lnx|-2m【答案】-【解析】先分析题意即fx1min≥g【详解】依题意，对于∀x1∈-23,∀x∈-23,-故当πx∈-2π3,当πx∈-π2,而函数f(x)=2x-故根据复合函数单调性可知，f(x)=2sin|πx|-sin|πx|在对于x∈e-当x∈e-1,1当x∈1,e2时故g(x)故依题意知，1≥-2m所以实数m的取值范围是-2故答案为：-2【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y=fx,x（1）若∀x1∈a,b，∀x（2）若∀x1∈a,b，∃x（3）若∃x1∈a,b，∃x（4）若∀x1∈a,b，∃x2∈题型5三角函数中的对称性问题1.三角函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性，考查时可能单独考，也可能以多选的形式综合在一个题目中考查.2.三角函数的奇偶性（1）函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数⇔φ（2）函数y=Acos(ωx+φ)是奇函数⇔φ（3）函数y=Atan(ωx+3.三角函数的对称性（1）函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx（2）函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx（3）函数y=Atan(ωx+φ)4.基本规律1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适.2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心.一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点【例题5】（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为π4，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象在区间π2A．π6,π2 B．π【答案】B【分析】由题意，根据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.【详解】由函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为π4，则函数fx的周期T=4×由将f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g由x∈π2,3π4，2x-π3+φ∈由0<φ<π，当k=0时，φ∈故选：B.【变式5-1】1.（2023·天津·统考二模）设函数fx=sinπ2x，gx=eA．4051 B．4049 C．2025 D．2023【答案】B【分析】判断两函数的对称性或周期，作出函数图象，数形结合，确定交点个数，进而求得答案.【详解】函数fx=sinπ2gx=e-x故可作出函数函数fx=sinπ2由图像可知，在直线x=1的右侧，(1,2025]包含ffx在(1,3],(3,5],⋯,(2023,2025]每个周期内和g则共有2024个交点，根据对称性可知，在直线x=1的左侧，fx和gx且在直线x=1的两侧的交点是关于直线x故这4048个交点的横坐标之和为2024×而x=1也是这两函数图象故fx与gx的图象所有交点的横坐标之和为故选：B【点睛】方法点睛：解决此类函数图象的交点个数问题，首先要明确函数的性质，比如周期性对称性等，然后采用数形结合的方法，即作出函数图象，解决问题，关键在于要能正确的作出函数图象.【变式5-1】2.已知函数y=sinx+1与y=x+2x在[-a ，  a]（a∈Z，且a>2017）上有A．0B．mC．2mD．2017【答案】B【详解】由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0，1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以x1+y【变式5-1】3.已知函数f(x)=2(x+1)+sinx+ln(x2+1A．(-∞,23-1) B．【答案】A【分析】由题设，构造g(x)=f(x)-2，易证g(x)为奇函数，利用导数可证g(x)为增函数，结合题设不等式可得g(3x-9x【详解】由题设，令g(x)=f(x)-∴g(-∴g(x)为奇函数，又g'(x)=2+cos∵f(3x-∴g(3x-∴m<33x+3x-∴m<23-1，即m故选：A【点睛】关键点点睛：构造g(x)=f(x)-2并证明其奇偶性、单调性，结合题设不等式可将问题转化为m<3题型6复杂奇函数问题1.若fx满足fa+x+特殊的奇函数：（考试难点）：①对数与反比例复合：②指数与反比例复合：③对数与无理式复合：3.形如【例题6】已知函数fx=12x+1+eA．0,eB．0,eC．0,1【答案】D【解析】构造函数gx=fx-1【详解】∵f∴令gx=fx-1又g'又利用基本不等式知ex+1exln22x+1故g'x>0由fax2即gax2≥-g1当a=0时显然成立；当a≠0时，需a>0Δ=4综上可得0≤【变式6-1】1.对于定义在D上的函数fx，点Am,n是fx图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有f【答案】-【分析】根据点Am,n是f【详解】解：因为fx由于f3-即m=-23所以-23，故答案为：-2【变式6-1】2.设函数f(x)=ln(x2+1-x)，若a，的最大值为A．1 B．10 C．5 D．8【答案】B【详解】因为f(x)+f(-x)=ln(x2+1-x)+ln(x⇔a2-2a≥-2b+b2⇔(a-1)2点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f【变式6-1】3.已知函数fx=x-e2+lnexeA．34 B．54 C．2【答案】A【解析】通过函数fx解析式可推得ffe2020+f2e2020【详解】解：因为fx所以f=ln令S=f则2S=fe所以20192a+b=2019，所以a+b=2，其中b>0当a>0时1=当且仅当b2a=2a当a<0时1=≥1当且仅当b-2a=因为34<54，所以故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.题型7函数的旋转问题【例题7】（2021•青岛开学）将函数y=13-x2-2(x∈[-3,3])的图象绕点(-3,0)逆时针旋转α(0≤A．32 B．23 C．1【答案】B【分析】先画出函数y=13-x2-2(x∈[-3,3])的【详解】解：由y=13-xx2+y+2先画出函数y=13-x这是一个圆弧AB，圆心为M(0,-由图可知当此圆弧绕点(-3,0)逆时针方向旋转角大于曲线C都不是一个函数的图象，即当圆心M(0,-2)在所以θ最大值即为∠MABtan∠MAB=23，所以故选：B.【变式7-1】1.（2021春•池州期末）设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转π3后与原图象重合，则在以下各项中f(1)A．3 B．1 C．33【答案】B【分析】直接利用定义和函数的应用求出结果．【详解】解：由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π3个设f(π)处的点为A1∵f(x)的图象绕原点逆时针旋转π3后与原图∴旋转后A1的对应点A2也在f(x)的同理A2的对应点A3也在以此类推，f(x)对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当f（1）=3时，即A1(1,当f（1）=33时，即A1当f（1）=0时，即A6(1,0)，此时A1(12，故选B．【点睛】本题考查函数值的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查函数定义等基础知识，考查数形结合思想，是中档题【变式7-1】2.（2017春•新华区校级期末）将函数y=-x2+x(x∈[0,1])图像绕点（1,0）顺时针旋转A．π6 B．π4 C．π【答案】B【详解】由题设可知曲线C仍是一个函数的图像等价于函数图像C上每一点出的切线存在．函数的图像顺时针旋转，先从点A(0,0)旋转，由于y'=-2x+1，因此函数y=-点睛：解答本题的难点在于如何理解旋转后的图像是函数．依据函数的定义可知当函数的图像上的每一点处的切线存在时，旋转后的图像是函数．因此在解答本题时，先考虑两个特殊点处的切线是否存在，考虑到点B1,0是旋转起点，所以当点【变式7-1】3.（2021•沈河区校级四模）将函数hx=exx≥0的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θθ∈A．π4 B．π2 C．3π【答案】ABCD【分析】根据函数的定义，一个x不能对应两个y，对于这几个选项，分别作图分析，看有没有不符合函数定义的选项.【详解】如上图所示，L1,L2,L3,L4分别是h(x)=故选：ABCD．【变式7-1】4.（多选）（2021•雨花区校级模拟）已知函数y=f(x)，x∈A，且π∈A，函数y=f(x)，x∈A的图象绕坐标原点顺时针旋转nπ4所得新的函数图象与原函数图象A．0 B．3π3 C．π【答案】AC【分析】对选项A:设fπ=0，即f(x)必过Pπ,0.由题意，将P顺时针旋转π4，π2，3π4，π，5π4，3π2，2π后仍在函数f(x)图象上，根据函数概念分析可得【详解】解：若fπ=0，则通过连续顺时针旋转π4，依次可得f2π2=-2π2，f(0)=-π，f-2故选：AC.【点睛】关键点点睛：由旋转后的函数图象与原函数图象重合，则点π,fπ顺时针旋转π4，π2，3π4，π，5π4，3π2题型8两个函数的对称问题【例题8】（2021•武侯区校级模拟）已知函数f(x)=ax-ex与函数g(x)=xlnx+1的图像上恰有两对关于xA．(e-1,+∞) B．e【答案】A【分析】根据题意将函数fx与gx的图像上恰有两对关于x轴对称的点转化为a=ex-【详解】因为函数fx与gx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，所以-fx=g(x)，即ex-ax=xlnx+1有两解，则a=ex-xlnx-1x有两解，令h(x)=ex-xlnx-1x故选：A.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用【变式8-1】1.（2021春•海淀区校级期末）若函数y=x3-x2-1-a，（(x∈1A．0,1eC．1e3【答案】A【详解】根据题意得到x3-x2-1-a=-（x2-3lnx即0,1故答案为A．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【变式8-1】2.（2021•云南模拟）已知函数fx=16x3-mx+3，gx=-5x-【答案】8【分析】由题意转化成f'x+gx在1e【详解】函数f'x与gxx∈等价于f'x+g令h==则h'所以在1e,1上，h'在1,4上，h'x≤则hx≤h1h1h4因h4又h4则hx所以h4h1解得8ln故答案为:8【变式8-1】3.（2021春•大同期中）已知函数fx=ln-x与函数gx=ex【答案】1,+【分析】求出函数fx关于y轴对称的函数为y=lnx，方程ex-e【详解】解：fx关于y轴对称的函数为y=lnx，若函数fx与函数gx的图象上存在关于y轴对称的点，只需要方程ex-e-1x-a=lnx有解，方程可化为a=ex-e-1x-lnx，令hx=ex-e-故答案为：1,+【变式8-1】4.（2021•景德镇模拟）对于定义域为R的函数f(x)，若满足（1）f(0)=0；（2）当x∈R，且x≠0时，都有xf'(x)>0；（3）当x1<0<x2，且|x1|=|x2【答案】1【分析】根据“偏对称函数”的定义，以及函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断满足题意的函数个数.【详解】f由（2）可知，当x>0时，f'(x)>0，当x<0时，f'故“偏对称函数”要满足在(-∞,0)对①：因为f1(π)=f1(2π)=0故f1所以f1对②：f2由复合函数的单调性可知f2(x)在故f2所以f2对③：f3(x)=x2+|x|取x1=-1，x2故f3所以f3对④：f4(x)=e在(-∞,0)在(0,+∞)上，令g(x)=ex-1-x(x>0)，g所以g(x)在(0,+∞所以g(x)>g(0)=0，所以ex当x1<0<x2，且所以ex即f4所以f4综上所述：“偏对称函数”有1个．故答案为：1．【点睛】本题考查函数新定义问题，涉及利用导数研究函数的单调性，以及函数的对称性，属综合中档题；其中对④中函数是否满足条件（3）的研究方法是本题的解题核心.1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(xA．-21 B．-22 C．-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x-2)=-2，从而得到【详解】因为y=g(所以g2因为g(x)-f因为f(x)+代入得f(x)+所以f3f4因为f(x)+g(2-x因为g(x)-f联立得，g2所以y=g(x)所以g因为f(x)+所以k=1故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.2．（2021·全国·统考高考真题）设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2A．-94 B．-32【答案】D【分析】通过fx+1是奇函数和fx【详解】[方法一]：因为fx+1是奇函数，所以因为fx+2是偶函数，所以令x=1，由①得：f0=因为f0+f令x=0，由①得：f1=思路一：从定义入手．ff-所以f9[方法二]：因为fx+1是奇函数，所