【解析】广东省2023-2022学年高一下学期数学期中大联考试卷

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一、单选题

1．（2022高一下·广东期中）下列说法中正确的是（）

A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面

C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行

2．（2022高一下·广东期中）经过同一条直线上的3个点的平面（）

A．有且只有一个B．有且只有3个

C．有无数多个D．不存在

3．（2022高一下·广东期中）已知角的终边过点，则（）

A．B．C．D．

4．（2022高一下·广东期中）已知，且，则向量的夹角为（）

A．B．C．D．

5．（2022高一下·广东期中）一飞行昆虫被长为12cm的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为（）

A．144πcm3B．288πcm3C．576πcm3D．864πcm3

6．（2022高一下·广东期中）在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则（）

A．B．

C．D．

7．（2022高一下·广东期中）已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）

A．B．

C．D．

8．（2022高一下·广东期中）若△ABC外接圆圆心为，半径为4，且则的值为（）

A．14B．C．D．2

二、多选题

9．（2022高一下·广东期中）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（）

A．矩形

B．等腰梯形

C．每个面都是等边三角形的四面体

D．每个面都是直角三角形的四面体

10．（2022高一下·广东期中）下列说法正确的有（）

A．若向量，，则

B．若向量，则与的方向相同或相反

C．向量是三个非零向量，若，则

D．向量是两个个非零向量，若，则

11．（2022高一下·广东期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i

B．若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数

C．若，则z的虚部为－2i

D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为

12．（2022高一下·广东期中）a、b、c为ABC的三边，下列条件能判定ABC为等腰直角三角形为（）

A．且

B．

C．且

D．：sinB：sinC=：：

三、填空题

13．如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，轴，则原图形的面积为

14．（2022高一下·广东期中）如下图，在中，，，则.

15．（2022高一下·广东期中）已知函数.当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是.

16．（2022高一下·广东期中）已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是．

四、解答题

17．已知复数z满足，z2的虚部为2.

（1）求复数z；

（2）求得的坐标，从而求得三角形的面积.

18．（2022高一下·广东期中）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.

（1）求剩余部分的体积；

（2）求三棱锥A－A1BD的体积及高.

19．（2022高一下·广东期中）设是不共线的两个非零向量.

（1）若与共线，求实数的值；

（2）若.求的值.

20．（2022高一下·广东期中）如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．

21．（2022高一下·广东期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，且．

（1）求的大小；

（2）若，求的取值范围．

22．（2022高一下·广东期中）已知数的相邻两对称轴间的距离为.

（1）求的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；

（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】棱柱的结构特征

【解析】【解答】解：对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误；

对于B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；

对于C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；

对于D，棱柱中至少有两个底面互相平行，故正确.

故答案为：D

【分析】根据棱柱的结构特征依次分析各选项即可得答案.

2．【答案】C

【知识点】平面的基本性质及推论

【解析】【解答】解：∵空间中不在同一条直线上的三个点确定一个平面，

∴在同一直线上的三个点的平面，就是以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件，

∴有无数个平面，

故答案为：B.

【分析】以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件.

3．【答案】B

【知识点】两角和与差的余弦公式；任意角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵已知角的终边过点，则r=，

则，

则.

故答案为：B

【分析】首先根据三角函数的定义求出sinα，cosα，再根据两角和的余弦公式计算可得.

4．【答案】A

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】解：∵，且，

∴

∴，

又∵

∴，

故答案为：A.

【分析】根据向量垂直的判定，得，进而求得，从而得解.

5．【答案】B

【知识点】球的体积和表面积

【解析】【解答】解：因为虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12cm的球在房间内的部分，即整个球的，

所以飞虫活动范围的体积为=288π(cm3).

故答案为：B

【分析】飞虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12cm的球在房间内的部分，即整个球的，由球的体积公式可得.

6．【答案】C

【知识点】平面向量加法运算；平面向量数乘的运算；平面向量的基本定理

【解析】【解答】解：如图所示，

在平行四边形ABCD中，可得△ABE∽△DEF，

因为E是线段OD的中点，可得，

所以.

故答案为：C.

【分析】由△ABE∽△DEF，根据题意得到，利用，结合向量的运算法则，即可求解.

7．【答案】C

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】由图形可知：，，又，所以

所以，代入点，

所以，则

又，所以令，则

故

故答案为：C

【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的值，再由特殊点法代入计算出的取值，由此即可得出函数的解析式，由此即可得出答案。

8．【答案】A

【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】取中点，

即，

则三点共线

为中点，则

，

，，

故答案为：A

【分析】由向量共线的性质整理化简已知条件，再由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。

9．【答案】A,C,D

【知识点】棱锥的结构特征；平面的概念、画法及表示；平面的基本性质及推论

【解析】【解答】解：选择同一个平面上的四个顶点，得矩形，故A符合题意，B不符合题意；

如图(1)所示，四面体A1DBC1的每个面为等边三角形，故C符合题意；

图(1)

如图(2)所示，四面体A1D1B1D的每个面为直角三角形，故D符合题意；

图(2)

故答案为：ACD

【分析】根据平面的概念，结合正方体图形分析判断.

10．【答案】A,D

【知识点】共线（平行）向量；相等向量与相反向量；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】解：对于选项A，向量，由相等向量可知，故A正确；

对于选项B，与任意向量平行，若中有一个为，则不满足方向相同或相反，故B错误；

对于选项C，为非零向量，若，

可得，

即，推不出，故C错误；

对于选项D，，，

因为，所以，所以，所以故D正确.

【分析】根据相等向量，平行向量概念判断A和B，根据向量的模与数量积运算可判断C和D.

11．【答案】B,D

【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模

【解析】【解答】解：对于A，若，则|z|=1，所以A错误，

对于B，由于点Z的坐标为(-1，I)，所以z=-1+i，所以z+1=i是纯虚数，所以B正确，

对于C，由于，所以的虚部为-2，所以C错误，

对于D，设z=a+bi，则，因为1≤lz|≤2，所以，所以点Z的集合所构成的图形的面积为，所以D正确.

故答案为：BD

【分析】对于A，举例判断即可，对于B，直接求解即可，对于C，由已知直接判断，对于D，根据复数的几何意义求解即可.

12．【答案】A,C,D

【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理

【解析】【解答】A选项：分别为方向上的单位向量，设为的角平分线，按照平行四边形法则知与共线，又，说明，即的角平分线与垂直，故ABC为等腰三角形，又，两边平方得，即，故，即ABC为等腰直角三角形，A正确；

B选项：，由正弦定理得，即，可得或，即ABC为等腰或直角三角形，B错误；

C选项：，由正弦定理得，即，可得，，又，即，，由正弦定理得，即，故，即ABC为等腰直角三角形，

C正确；

D选项：由正弦定理得，可得，即ABC为等腰直角三角形，D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据题意由数量积的运算公式，结合三角形的几何性质即可得出答案，从而判断出选项A正确；由已知条件结合正弦定理代入数值整理化简即可得出答案，由此判断出选项B错误；根据题意由两角和的正弦公式整理化简已知条件，结合二倍角的余弦公式整理化简即可判断出选项C正确；结合题意由正弦定理代入数值整理化简即可得出答案，由此判断出选项D正确，由此即可得出答案。

13．【答案】

【解析】【解答】由题意可知，

又因为，所以，

故答案为：.

【分析】

14．【答案】

【知识点】平面向量的线性运算

【解析】【解答】解：因为，所以，

所以，

所以.

故答案为：

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

15．【答案】[-1，0]

【知识点】根的存在性及根的个数判断

【解析】【解答】解：等价于，

解得或，

因为，所以，，

如图，绘出函数的图象，

方程有三个不同的实数根

等价于有一个实数解且有两个不同的实数解

或有两个不同的实数解且有一个实数解，

①当或时，无解，不符合题意；

②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；

③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；

④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意，

综上，m的取值范围为.

故答案为：[-1，0]

【分析】根据题意整理化简已知条件然后对m分情况讨论，结合方程根的情况由数形结合法即可得出m的取值范围，再把结果并起来即可得出答案。

16．【答案】

【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】如图，连接，设为和的夹角．

则，且，，由，当时，有最小值；

当时，有最大值为10，所以的取值范围为.

故答案为：

【分析】根据题意由圆的几何性质结合数量积的运算公式，结合题意利用二次函数的图象和性质即可求出最小值，从而即可得出答案。

17．【答案】（1）解：设，

①，

的虚部为，所以②，

由①②解得或.

所以或.

（2）解：当时，，，

所以，

，

所以三角形的面积为.

当时，，，

所以，

，所以三角形的面积为.

18．【答案】（1）解：由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，

又三棱锥的体积，

所以剩余部分的体积；

（2）解：由（1）知，设三棱锥的高为，是等边三角形，边长为，即面积，

则，即，解得，

故三棱锥A－A1BD的体积为，高为

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【分析】(1)由已知条件结合正方体以及三棱锥的体积公式，代入数值计算出结果即可。

(2)根据题意由等体积法代入数值，求解出a与h的关系，再把结果代入到体积公式由此计算出答案即可。

19．【答案】（1）解：与共线，与是一组不共线的非零向量，

因此可以把，看做一组基底，根据向量共线法则，

则存在实数，使得，

即，，解得

（2）解：由，得，

，代入上式解得，

；

综上，，

【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算

【解析】【分析】(1)根据题意由共线向量的性质定理，整理化简已知条件由此得到关于k与的方程，求解出结果即可。

(2)利用数量积的坐标公式代入数值计算出结果，然后由向量模的运算公式，代入数值计算出结果即可。

20．【答案】解：连接GE，HF.

因为E，G分别为BC，AB中点，所以.

因为DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以.

从而GE∥HF且，故G，E，F，H四点共面且四边形为梯形，

因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD，O∈平面BCD.

而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一点

【知识点】平面的基本性质及推论

【解析】【分析】根据题意由中点的性质即可得出线线平行，然后由线段成比例得出线线平行，从而判断出四边形的形状，由四边形的几何性质即可得出线线平行，结合平面的性质即可得出答案。

21．【答案】（1）解：由

得

即

由正弦定理得

所以

所以

（2）解：由正弦定理

所以

因为，且为锐角三角形

所以，即

所以

所以

所以的取值范围为

【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】(1)根据题意由同角三角函数的基本关系式以及正弦定理整理化简已知条件，并把结果代入到余弦定理由此计算出cosC的大小，由此求出角C的大小。

(2)根据题意由正弦定理整理化简已知条件由此计算出角的大小，结合三角形内角和的性质即可求出角的大小，由正弦函数的单调性即可求出的取值范围。

22．【答案】（1）解：由题意，函数

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.

故

（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.

再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图象.

当时，，

当时，函数取得最小值，最小值为，

当时，函数取得最大值，最大值为，

故函数的值域.

（3）解：由方程，即，即，

因为，可得，

设，其中，即，结合正弦函数的图象，

可得方程在区间有5个解，即，

其中，

即

解得

所以.

综上，

【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【分析】(1)首先由二倍角以及两角和的正弦公式整理化简已知的函数解析式，再由正弦函数的图象和性质求出函数的周期，结合周期公式代入数值计算出的取值，从而求出函数的解析式。

(2)由函数平移的性质结合正弦函数图象和性质，即可求出函数的最值。

(3)由特殊值代入法结合正弦函数的取值计算出角的取值范围，再由正弦函数的图象和性质利用数形结合法即可求出根的情况，从而结合题意计算出m和n的取值。

1/1广东省2023-2022学年高一下学期数学期中大联考试卷

一、单选题

1．（2022高一下·广东期中）下列说法中正确的是（）

A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面

C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行

【答案】D

【知识点】棱柱的结构特征

【解析】【解答】解：对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误；

对于B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；

对于C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；

对于D，棱柱中至少有两个底面互相平行，故正确.

故答案为：D

【分析】根据棱柱的结构特征依次分析各选项即可得答案.

2．（2022高一下·广东期中）经过同一条直线上的3个点的平面（）

A．有且只有一个B．有且只有3个

C．有无数多个D．不存在

【答案】C

【知识点】平面的基本性质及推论

【解析】【解答】解：∵空间中不在同一条直线上的三个点确定一个平面，

∴在同一直线上的三个点的平面，就是以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件，

∴有无数个平面，

故答案为：B.

【分析】以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件.

3．（2022高一下·广东期中）已知角的终边过点，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】两角和与差的余弦公式；任意角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵已知角的终边过点，则r=，

则，

则.

故答案为：B

【分析】首先根据三角函数的定义求出sinα，cosα，再根据两角和的余弦公式计算可得.

4．（2022高一下·广东期中）已知，且，则向量的夹角为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】解：∵，且，

∴

∴，

又∵

∴，

故答案为：A.

【分析】根据向量垂直的判定，得，进而求得，从而得解.

5．（2022高一下·广东期中）一飞行昆虫被长为12cm的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为（）

A．144πcm3B．288πcm3C．576πcm3D．864πcm3

【答案】B

【知识点】球的体积和表面积

【解析】【解答】解：因为虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12cm的球在房间内的部分，即整个球的，

所以飞虫活动范围的体积为=288π(cm3).

故答案为：B

【分析】飞虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12cm的球在房间内的部分，即整个球的，由球的体积公式可得.

6．（2022高一下·广东期中）在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】平面向量加法运算；平面向量数乘的运算；平面向量的基本定理

【解析】【解答】解：如图所示，

在平行四边形ABCD中，可得△ABE∽△DEF，

因为E是线段OD的中点，可得，

所以.

故答案为：C.

【分析】由△ABE∽△DEF，根据题意得到，利用，结合向量的运算法则，即可求解.

7．（2022高一下·广东期中）已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】由图形可知：，，又，所以

所以，代入点，

所以，则

又，所以令，则

故

故答案为：C

【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的值，再由特殊点法代入计算出的取值，由此即可得出函数的解析式，由此即可得出答案。

8．（2022高一下·广东期中）若△ABC外接圆圆心为，半径为4，且则的值为（）

A．14B．C．D．2

【答案】A

【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】取中点，

即，

则三点共线

为中点，则

，

，，

故答案为：A

【分析】由向量共线的性质整理化简已知条件，再由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。

二、多选题

9．（2022高一下·广东期中）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（）

A．矩形

B．等腰梯形

C．每个面都是等边三角形的四面体

D．每个面都是直角三角形的四面体

【答案】A,C,D

【知识点】棱锥的结构特征；平面的概念、画法及表示；平面的基本性质及推论

【解析】【解答】解：选择同一个平面上的四个顶点，得矩形，故A符合题意，B不符合题意；

如图(1)所示，四面体A1DBC1的每个面为等边三角形，故C符合题意；

图(1)

如图(2)所示，四面体A1D1B1D的每个面为直角三角形，故D符合题意；

图(2)

故答案为：ACD

【分析】根据平面的概念，结合正方体图形分析判断.

10．（2022高一下·广东期中）下列说法正确的有（）

A．若向量，，则

B．若向量，则与的方向相同或相反

C．向量是三个非零向量，若，则

D．向量是两个个非零向量，若，则

【答案】A,D

【知识点】共线（平行）向量；相等向量与相反向量；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】解：对于选项A，向量，由相等向量可知，故A正确；

对于选项B，与任意向量平行，若中有一个为，则不满足方向相同或相反，故B错误；

对于选项C，为非零向量，若，

可得，

即，推不出，故C错误；

对于选项D，，，

因为，所以，所以，所以故D正确.

【分析】根据相等向量，平行向量概念判断A和B，根据向量的模与数量积运算可判断C和D.

11．（2022高一下·广东期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i

B．若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数

C．若，则z的虚部为－2i

D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为

【答案】B,D

【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模

【解析】【解答】解：对于A，若，则|z|=1，所以A错误，

对于B，由于点Z的坐标为(-1，I)，所以z=-1+i，所以z+1=i是纯虚数，所以B正确，

对于C，由于，所以的虚部为-2，所以C错误，

对于D，设z=a+bi，则，因为1≤lz|≤2，所以，所以点Z的集合所构成的图形的面积为，所以D正确.

故答案为：BD

【分析】对于A，举例判断即可，对于B，直接求解即可，对于C，由已知直接判断，对于D，根据复数的几何意义求解即可.

12．（2022高一下·广东期中）a、b、c为ABC的三边，下列条件能判定ABC为等腰直角三角形为（）

A．且

B．

C．且

D．：sinB：sinC=：：

【答案】A,C,D

【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理

【解析】【解答】A选项：分别为方向上的单位向量，设为的角平分线，按照平行四边形法则知与共线，又，说明，即的角平分线与垂直，故ABC为等腰三角形，又，两边平方得，即，故，即ABC为等腰直角三角形，A正确；

B选项：，由正弦定理得，即，可得或，即ABC为等腰或直角三角形，B错误；

C选项：，由正弦定理得，即，可得，，又，即，，由正弦定理得，即，故，即ABC为等腰直角三角形，

C正确；

D选项：由正弦定理得，可得，即ABC为等腰直角三角形，D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据题意由数量积的运算公式，结合三角形的几何性质即可得出答案，从而判断出选项A正确；由已知条件结合正弦定理代入数值整理化简即可得出答案，由此判断出选项B错误；根据题意由两角和的正弦公式整理化简已知条件，结合二倍角的余弦公式整理化简即可判断出选项C正确；结合题意由正弦定理代入数值整理化简即可得出答案，由此判断出选项D正确，由此即可得出答案。

三、填空题

13．如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，轴，则原图形的面积为

【答案】

【解析】【解答】由题意可知，

又因为，所以，

故答案为：.

【分析】

14．（2022高一下·广东期中）如下图，在中，，，则.

【答案】

【知识点】平面向量的线性运算

【解析】【解答】解：因为，所以，

所以，

所以.

故答案为：

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

15．（2022高一下·广东期中）已知函数.当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是.

【答案】[-1，0]

【知识点】根的存在性及根的个数判断

【解析】【解答】解：等价于，

解得或，

因为，所以，，

如图，绘出函数的图象，

方程有三个不同的实数根

等价于有一个实数解且有两个不同的实数解

或有两个不同的实数解且有一个实数解，

①当或时，无解，不符合题意；

②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；

③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；

④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意，

综上，m的取值范围为.

故答案为：[-1，0]

【分析】根据题意整理化简已知条件然后对m分情况讨论，结合方程根的情况由数形结合法即可得出m的取值范围，再把结果并起来即可得出答案。

16．（2022高一下·广东期中）已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是．

【答案】

【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】如图，连接，设为和的夹角．

则，且，，由，当时，有最小值；

当时，有最大值为10，所以的取值范围为.

故答案为：

【分析】根据题意由圆的几何性质结合数量积的运算公式，结合题意利用二次函数的图象和性质即可求出最小值，从而即可得出答案。

四、解答题

17．已知复数z满足，z2的虚部为2.

（1）求复数z；

（2）求得的坐标，从而求得三角形的面积.

【答案】（1）解：设，

①，

的虚部为，所以②，

由①②解得或.

所以或.

（2）解：当时，，，

所以，

，

所以三角形的面积为.

当时，，，

所以，

，所以三角形的面积为.

18．（2022高一下·广东期中）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.

（1）求剩余部分的体积；

（2）求三棱锥A－A1BD的体积及高.

【答案】（1）解：由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，

又三棱锥的体积，

所以剩余部分的体积；

（2）解：由（1）知，设三棱锥的高为，是等边三角形，边长为，即面积，

则，即，解得，

故三棱锥A－A1BD的体积为，高为

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【分析】(1)由已知条件结合正方体以及三棱锥的体积公式，代入数值计算出结果即可。

(2)根据题意由等体积法代入数值，求解出a与h的关系，再把结果代入到体积公式由此计算出答案即可。

19．（2022高一下·广东期中）设是不共线的两个非零向量.

（1）若与共线，求实数的值；

（2）若.求的值.

【答案】（1）解：与共线，与是一组不共线的非零向量，

因此可以把，看做一组基底，根据向量共线法则，

则存在实数，使得，

即，，解得

（2）解：由，得，

，代入上式解得，

；

综上，，

【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算

【解析】【分析】(1)根据题意由共线向量的性质定理，整理化简已知条件由此得到关于k与的方程，求解出结果即可。

(2)利用数量积的坐标公式代入数值计算出结果，然后由向量模的运算公式，代入数值计算出结果即可。

20．（2022高一下·广东期中）如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1