抽象函数经典习题

抽象函数经典习题教育VIP精品讲义页抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知,求.解：设,则∴∴2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知，求解：∵又∵5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。例6.已知，求的表达式解：用代替得到（1）又（2）2（1）-（2）得到，于是二、求值问题例7.已知定义域为的函数，同时满足下列条件：①；②，求的值。解：取，得因为，所以又取得评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。三、定义域问题例8.已知函数的定义域是［1，2］，求的定义域。解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。五、判断函数的奇偶性：例11已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。证明：令=0,则已知等式变为……①在①中令=0则2=2∵≠0∴=1∴∴∴为偶函数。六、单调性问题例12.设定义于实数集上，当时，，且对于任意实数有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对任意，恒有设，则所以所以在上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）例13：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。解：由得，∵为函数，∴又∵在（-1，1）内递减，∴巩固练习练习一1．给出四个函数，分别满足①；②；③；④，又给出四个函数图象丁丁正确的匹配方案是（）（A）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—丁（C）①—丙②—甲③—乙④—丁（D）①—丁②—甲③—乙④—丙2．定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，当x<0时，,f(x)>0，则函数f(x)在[a,b]上

(

)

A有最小值f(a)

B有最大值f(b)

C有最小值f(b)

D有最大值f()3．

设函数的定义域为Ｒ，且对恒有若（）Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．B．C．D．5．定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，．（1）试举出一个满足条件的函数；（2）试求的值；（3）判断的单调性并证明你的结论；（4）若解不等式1-4DCCD5．（1）如，（2）在中，令．得：．因为，所以，．（3）要判断的单调性，可任取，且设．在已知条件中，若取，则已知条件可化为：．由于，所以．为比较的大小，只需考虑的正负即可．在中，令，，则得．∵时，，当时，．又，所以，综上，可知，对于任意，均有．∴．∴函数在R上单调递减，（4）若则，则不等式，由函数在R上单调递减，则，则不等式的解集为。练习二1.若奇函数，满足，则等于（）A．0 B．1 C． D．2.设对任意实数、，函数满足。（1）求证：；（2）求证：为偶函数。3.已知函数是定义在上的增函数，且满足对于任意的正实数、，都有，且（1）求的值；（2）解不等式4.已知函数对于任意的正实数、，都有，若，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．5.设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-3≤≤3时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。6.若函数f(x)为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f(2)=0，则的解集为（）A．（-2，0）（0，2）B．（-，-2）（0，2）C．（-，-2）（2，+）D．（-2，0）（2，+）7.设对满足的所有实数，函数满足，求的解析式。8.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数的奇偶性。9.（09年东城区示范校质检一）（本小题满分14分）设函数的定义域为全体，当时，，且对任意的实数，有成立，数列满足，且（Ⅰ）求证：是上的减函数；

（Ⅱ）求数列的通项公式；10.（09届华南师大附中综合测试题）设函数满足，且对任意，都有.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若数列满足：且,

求数列的通项；1.解析：对于，令，得即，从而，所以，选D。2.解析：（1）令，得，所以。令，得，所以。（2）令，得，令，得，从而我们有：，所以，为偶函数。3.解析：（1）（2）由函数是定义在上的增函数，则即，依题设，有，，从而不等式的解集为。4.解析：满足对一切正实数、都成立的函数模型是对数函数。由，可知，从而可知是减函数，所以，应选B。5.解析：⑴令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数⑵设－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2则f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2)－f(x1)，因为x＞0时，f(x)＜0，故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0。∴f(x2)＜f(x1)、f(x)在区间[－3，3]上单调递减∴x=－3时，f(x)有最大值f(－3)=－f(3)=－f(2+1)=－[f(2)+f(1)]=－[f(1)+f(1)+f(1)]=6。x=3时，f(x)有最小值为f(3)=－6。6.解析：因为f(x)是定义域上的奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称。根据题设条件可以作出函数f(x)在R上的大致图象，由得：x与f(x)异号。由图像可得解集为（-2，0）（0，2），选择（A）。7.解析：在（1）中以代换其中，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。8.解析：取得：，所以又取得：，所以再取则，即因为为非零函数，所以为偶函数。9.解析：（Ⅰ）令，得，由题意知，所以，故．

当时，，，进而得．

设且，则，．即，是