利用分块矩阵计算行列式的

利用分块矩阵计算行列式的】

在线性代码中，分块矩阵是一个非常重要的概念。它可以简单明了矩阵的表达，简化矩阵的操作，使矩阵的计算简化。此外，用分块矩阵方法解决各种矩阵计算问题。事实上，使用分块矩阵方法计算行列式通常是行列式计算的简单过程，并可以获得意想不到的效果。在这项工作中，我们提供了几种方法可以使用分块矩阵来计算行列式。1引用理论引理设矩阵或其中A1,A2,…,As均为方阵,则|H|=|A1||A2|…|As|.2行列方程是用分块矩阵计算的行列公式的设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式|Η|=|ADCB|.|H|=∣∣∣ADCB∣∣∣.2.1行列式的计算命题1设A、B分别为m与n阶方阵.证明:(1)当A可逆时,有(2)当B可逆时,有|ADCB|=|A-DB-1C|⋅|B|.(2)∣∣∣ADCB∣∣∣=|A−DB−1C|⋅|B|.(2)证(1)根据分块矩阵的乘法,有[E0-CA-1E][ADCB]=[AD0B-CA-1D][E−CA−10E][ADCB]=[A0DB−CA−1D]由引理知,两边取行列式即得(1).(2)根据分块矩阵的乘法,有[E-DB-10E][ADCB]=[A-DB-1C0CB][E0−DB−1E][ADCB]=[A−DB−1CC0B]两边取行列式即得(2).注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A或B可逆.推论1设A,B,C,D分别是m,n,n×m和m×n矩阵.证明证明只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4).推论2C,D分别是n×m和m×n矩阵.证明|EmDCEn|=|En-CD|=|Em-DC|.(5)∣∣∣EmCDEn∣∣∣=|En−CD|=|Em−DC|.(5)证明在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5).例1计算下面2n阶行列式|Η2n|=|ad⋱⋰adcb⋰⋱cb|(a≠0)解令为n阶方阵.由于a≠0,故A为可逆方阵.从而由命题1中(1)得例2计算行列式(1)|a011⋯11a10⋯010a2⋯0⋯⋯⋯⋯⋯100⋯an|‚(ai≠0‚i=1‚2‚⋯,n)；(2)|100⋯0a1010⋯0a2001⋯0a3⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯1anb1b2b3⋯bnc|.解(1)设Q=|ADCB|‚其中A=(a0)‚B=［a1a2⋱an|‚C=(1‚1‚⋯‚1)Τ‚D=(1‚1‚⋯‚1).因为ai≠0,i=1,2,…,n,所以B是可逆矩阵.又易知A-DB-1C=(a0-n∑i=11ai)从而由命题1中的(2)得(2)设,其中B=(c),C=(b1,b2,…,bn),D=(a1,a2,…,an)T由于CD=(b1‚b2‚⋯‚bn)(a1‚a2‚⋯‚an)Τ=n∑i=1aibi从而由推论1知,2.2行列式的计算命题2设A,C是两个n阶方阵.则|ACCA|=|A+C|⋅|A-C|证根据行列式的性质和引理,有|ACCA|=|A+CCC+AA|=|A+CC0A-C|=|A+C|⋅|A-C|.例3计算行列式.D=|0xyzx0zyyz0xzyx0|解这道题看似简单,但如果方法选择不佳,做起来并不轻松.这里设A=[0xx0]‚C=[yzzy]由命题2知D=|ACCA|=|A+C||A-C|=|yx+zx+zy||-yx-zx-z-y|=[y2-(x+z)2][y2-(x-z)2]=(x+y+z)(-x+y-z)(x+y-z)(-x+y+z).2.3当a和c或b和c之间或c之间进行交换时，列公式为h-命题3设A,B,C,D都是n阶方阵.(1)如果是ac。ca，则(2)高阶行列式的计算例4计算例2所给的2n阶行列式.解设A,C如例2,则而AC=CA,由命题3知:|Η2n|=|ADCB|=|AB-CD|=|ab-cdab-cd⋱ab-cd|=(ab-cd)n.注意:①这里并不需要a≠0的条件.②在利用命题3计算高阶行列式时,如果A和C(或B和C)有一个是n阶单位矩阵或者是n阶数量矩阵时,那么计算方法会更简便.3生成n阶行列式|A+βαT|=|A|(1+αTA-1β)(6)证因为[E-βΟ1][Aβ-αΤ1]=[A+βαΤΟ-αΤ1](7)[EΟαΤA-11][Aβ-αΤ1]=[AβΟ1+αΤA-1β](8)由引理,(7)和(8)两边各取行列式,并由于|E-βΟ1|=|EΟαΤA-11|=1故由(7)和(8)得[Aβ-αΤ1]=|A+βαΤ|=|A|(1+αΤA-1β)即|A+βαT|=|A|(1+αTA-1β).注:由于|A|≠0,故由(6)式很容易得到|A|-1|A+βαT|=1+αTA-1β;|E+A-1βαT|=1+αTA-1β.注意:在利用这个命题计算n阶行列式时,需要根据具体情况,把原行列式的元素组成的矩阵分成两项,其中一项是n阶可逆矩阵A,该矩阵一般选为对角矩阵,则其行列式和逆矩阵比较容易求出;另一项是n维列向量α与β组成的乘积αβT.这种分法是利用命题4计算n阶行列式的难点,它需要学生具有较强的观察能力.这种方法特别能锻炼学生的思维,提高学生分析问题和解决问题的能力,增强其探究意识.例5计算下列n阶行列式:解①令A=[-1-2⋱-n]‚α=(1‚2‚⋯‚n)Τ‚β=(1‚1‚⋯‚1)Τ则有显然有D=|A+βαT|.再由于|A|=(-1)·n!,且αΤA-1β=(1‚2‚⋯‚n)[-1-1-2-1⋱-3-1][11⋮1]=-n从而由命题4知:②令A=[bb⋱b]‚α=(a1‚a2‚⋯‚an)Τ‚β=(1‚1‚⋯‚1)Τ则有βαΤ=[11⋮1](a1,a2,⋯‚an)=[a1a2⋯ana1a2⋯an⋯⋯⋯⋯a1a2⋯an]‚且D=|A+βαΤ|再由于|A|=bn,且αΤA-1β=(a1‚a