第6章 离散信号与系统的频域分析

学习本章，要求掌握离散信号的傅立叶级数和傅立叶变换。了解离散系统的频域分析方法。学习重点：离散信号的傅立叶级数（DFS）；离散信号的傅立叶变换（DTFT）；离散傅里叶变换（DFT）快速傅立叶变换（FFT）；离散系统的频域分析方法。第6章离散信号与系统的频域分析学习目标：9/22/202316.1周期信号的离散时间傅里叶级数6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换6.3周期序列的离散时间傅里叶变换6.4离散时间傅里叶变换的性质6.5离散傅里叶变换（DFT）6.6DFT的性质6.7快速傅里叶变换（FFT）简介6.8离散系统的频域分析第6章离散信号与系统的频域分析9/22/202326.1周期信号的离散时间傅里叶级数设离散信号满足：则称离散信号为周期N的离散周期信号。设基本信号集：由于：所以只有N个是独立的，即:9/22/202336.1.1离散时间傅里叶级数(DFS)一周期为T的周期信号f(t)，若满足狄里赫利条件，则有：6.1周期信号的离散时间傅里叶级数以周期TN秒等间隔对周期函数f(t)的一个周期中采集N个样点，则：9/22/202346.1周期信号的离散时间傅里叶级数6.1.1离散时间傅里叶级数(DFS)即：9/22/202356.1周期信号的离散时间傅里叶级数6.1.1离散时间傅里叶级数(DFS)由于：当：称为Fn的主值周期（主周期）。9/22/202366.1.2离散时间周期信号的频谱6.1周期信号的离散时间傅里叶级数9/22/202376.1.2离散时间周期信号的频谱6.1周期信号的离散时间傅里叶级数令：9/22/202386.1.2离散时间周期信号的频谱6.1周期信号的离散时间傅里叶级数9/22/202396.1.2离散时间周期信号的频谱6.1周期信号的离散时间傅里叶级数特点（宽度不变）主瓣宽度和包络形状不变。但周期越大，谱线越密集，幅度减小。9/22/2023106.1.2离散时间周期信号的频谱6.1周期信号的离散时间傅里叶级数特点（周期不变）谱线间隔不变。但脉冲宽度越小，主瓣宽度越宽。o2p2N1+12pNp2pwN=10N1=1N2N1+19/22/2023116.2非周期信号的离散时间傅里叶变换对周期离散信号：当6.2.1离散时间傅立叶变换（DTFT）令：可以证明（略，P249）9/22/2023126.2.1离散时间傅立叶变换（DTFT）6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换正变换反变换注意：为偶函数为奇函数为2π的周期函数9/22/2023136.2.2常用信号的离散时间傅里叶变换

1.f(k)=akε(k)，|a|＜16.2非周期信号的离散时间傅里叶变换9/22/202314119/22/2023152.6.2.2常用信号的离散时间傅里叶变换6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换9/22/2023163.矩形脉冲信号f(k)6.2.2常用信号的离散时间傅里叶变换6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换f

(k)ok1N1­N1(a)9/22/2023172p­2p­ppwoF(ejw)(b)5f

(k)ok1N1­N1(a)3.矩形脉冲信号f(k)6.2.2常用信号的离散时间傅里叶变换6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换9/22/2023184.单位脉冲序列δ(k)d

(k)ok1ow1F(ejw)2p­2p6.2.2常用信号的离散时间傅里叶变换6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换9/22/2023195.f(k)=16.2.2常用信号的离散时间傅里叶变换6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换of

(k)k1(a)9/22/202320owF(ejw)­2p2pd

(w+2p)2pd

(w)2p2pd

(w­2p)(b)5.f(k)=16.2.2常用信号的离散时间傅里叶变换6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换of

(k)k1(a)9/22/2023216.正负号函数Sgn(k)6.2.2常用信号的离散时间傅里叶变换6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换Sgn(k)ok1­19/22/2023227.单位阶跃序列ε(k)6.2.2常用信号的离散时间傅里叶变换6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换9/22/2023236.3周期序列的离散时间傅里叶变换对于周期连续信号f(t)的傅立叶变换：

对于周期离散信号f(k)的傅立叶级数：

必须先求出傅立叶变换！9/22/202324我们已经知道，f(k)=1是一个周期信号，其对应的离散时间傅里叶变换为：对下图所示的频谱：6.3周期序列的离散时间傅里叶变换可表示为：9/22/2023256.3周期序列的离散时间傅里叶变换即：对于，可以令：则：对两边求傅立叶变换：9/22/2023266.3周期序列的离散时间傅里叶变换如果将n的取值范围选为n=0~N-1，由于Fn的周期性，可以改写为简单形式：

9/22/202327例6.3-1求f(k)=cosω0k的离散时间傅里叶变换。解:由于同理可得：6.3周期序列的离散时间傅里叶变换9/22/2023286.3周期序列的离散时间傅里叶变换作出f(k)=cosω0k的频谱：9/22/202329例6.3-2f(k)为如图所示的周期性矩形脉冲序列，它在 的一个周期中可表示为：求其离散时间傅里叶变换。解：由6.1.2可知n=0,±N,±2N,…n≠0,±N,±2N,…6.3周期序列的离散时间傅里叶变换9/22/202330例6.3-2f(k)为如图所示的周期性矩形脉冲序列，它在 的一个周期中可表示为：求其离散时间傅里叶变换。其频谱为：6.3周期序列的离散时间傅里叶变换(N=10,N1=2)o2p2N1+12pN2pw2pN2N1+1p9/22/2023311.周期性离散时间f(k)的离散时间傅里叶变换F(ejω)对ω来说总是周期性的，其周期为2π。这是它与连续时间傅里叶变换的根本区别。6.4离散时间傅里叶变换的性质周期性、线性、奇偶性、时移和频移、时域和频域的尺度变换、频域微分特性、卷积（和）特性、差分与迭分（累和）、巴塞瓦尔定理、对偶性等。9/22/2023322.线性若则有6.4离散时间傅里叶变换的性质9/22/2023333.若则有:若f(k)为实序列，则f(k)=f*(k),于是有此式可进一步表述如下。若6.4离散时间傅里叶变换的性质9/22/2023344.时移和频移例如，6.4离散时间傅里叶变换的性质9/22/2023355.时域和频域的尺度变换对于离散时间信号f(k)，由于k只能取整数，因而f(ak)中a也只能取整数，而且f(ak)的含义与f(at)根本不同。f(ak)并不表示将f(k)沿k轴压缩1/a。比如当a=2时，f(2k)表示由f(k)的偶次项组成的序列，因而f(2k)的离散时间傅里叶变换与f(k)的离散时间傅里叶变换无直接关系。为了讨论离散序列中与连续信号尺度变换类似的性质，我们定义一个信号f(m)(k)k是m的倍数k不是m的倍数(m为整数)6.4离散时间傅里叶变换的性质9/22/202336f(m)(k)序列相当于将f(k)在k轴扩展而得。f(m)(k)的离散时间傅里叶变换F(m)(ejω)为6.4离散时间傅里叶变换的性质5.时域和频域的尺度变换9/22/202337这样就得到离散时间傅里叶变换的尺度变换性质，即若f(k)←→F(ejω),则有:作为特例，当m=-1时，有:尺度变换性质表明，对离散序列，当序列在时域里“拉长”，其对应的傅里叶变换在频域里就“压缩”了。6.4离散时间傅里叶变换的性质5.时域和频域的尺度变换9/22/2023386.频域微分特性若f(k)←→F(ejω)，即有把上式两端对ω求微分，可得因此，两端乘j,就有6.4离散时间傅里叶变换的性质9/22/2023396.4离散时间傅里叶变换的性质f

(k)ok1f(2)(k)ok1f(3)(k)ok12p­2p­ppwoF(ejw)2p­2p­pwoF(ej2w)pwoF(e­j3w)­2p2p59/22/2023407.卷积(和)特性若f1(k)←→F1(ejω),f2(k)←→F2(ejω)，应用与连续时间傅里叶变换卷积特性的证明完全相似的方法，可得时域卷积特性对于频域卷积特性:6.4离散时间傅里叶变换的性质周期卷积9/22/2023418.差分与迭分(累和)设f(k)←→F(ejω)，根据线性和时移特性可得离散序列傅里叶变换的差分性质，即:离散序列迭分的傅里叶变换为6.4离散时间傅里叶变换的性质当f(k)=δ(k)时，9/22/2023429.巴塞瓦尔定理与连续时间信号的情况一样，在离散序列的傅里叶变换中也有类似的巴塞瓦尔定理。即若f(k)←→

F(ejω)，则有对于周期序列，则相应有6.4离散时间傅里叶变换的性质9/22/20234310.对偶性若则有：若非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换为F(ejω)，即6.4离散时间傅里叶变换的性质9/22/2023446.5.1离散傅里叶变换的引入假定f(k)是一个有限长序列，其长度为N，即在区间0≤k≤N-1以外，f(k)为零。将f(k)以周期为N延拓而成的周期序列记为fp(k)，则有

(r为整数)上式还可写为6.5离散傅里叶变换9/22/202345符号((k))N表示将K域序列以周期N延拓。为了便于记述，我们定义矩形脉冲序列GN(k)：于是可以将周期序列fp(k)与有限长序列f(k)的关系表示为6.5.1离散傅里叶变换的引入6.5离散傅里叶变换9/22/202346周期序列fp(k)的离散时间傅里叶级数表示式为如果将NFn表示成Fp(n),并令，则上两式可改写为6.5.1离散傅里叶变换的引入6.5离散傅里叶变换9/22/202347式中，常数系数1/N置于DFS的正变换或反变换式中，对DFS变换无任何实质影响。如果将周期序列Fp(n)在主值区间表示为F(n),0≤n≤N-1，由于以上两式的求和范围均为0~N-1，在此区间内fp(k)=f(k)，因此，“借用”离散傅里叶级数的形式可以得到0≤n≤N-10≤k≤N-1式中:(6.5-9)(6.5-10)6.5.1离散傅里叶变换的引入6.5离散傅里叶变换9/22/202348式(6.5-9)和式(6.5-10)所定义的变换关系就称为离散傅里叶变换。它表明，时域的N点有限长序列f(k)可以变换为频域的N点有限长序列F(n)。很显然，DFT与DFS之间存在以下关系：与连续时间傅里叶变换的情况类似，DFT的正、反变换之间存在一一对应的关系。或者说，IDFT［F(n)］是惟一的。对此可作如下证明。6.5.1离散傅里叶变换的引入6.5离散傅里叶变换9/22/202349由于m=k+MN

m≠k+MN

(M为整数)所以，在区间0~N-1有0≤k≤N-1由此可见式(6.5-10)定义的离散傅里叶反变换是惟一的。可记为6.5离散傅里叶变换9/22/202350例6.5-1有限长序列f(k)=G4(k)，设变换区间N=4、8、16时，试分别求其DFT。

解:设N=4,则据式(6.5-9)有同样,当N=8时n=0,1,…,76.5离散傅里叶变换6.5.1离散傅里叶变换的引入9/22/202351当N=16时n=0,1,…,15由此可见f(k)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。例6.5-1有限长序列f(k)=G4(k)，设变换区间N=4、8、16时，试分别求其DFT。

6.5离散傅里叶变换6.5.1离散傅里叶变换的引入9/22/202352设序列f(k)的长度为N，据式(6.2-11)可求得f(k)的离散时间傅里叶变换而f(k)的离散傅里叶变换为0≤n≤N-16.5离散傅里叶变换6.5.1离散傅里叶变换的引入9/22/202353图6.5-2F(n)与F(ejω)的关系9/22/2023546.5.2DFT的计算其计算过程可写成矩阵形式，即6.5离散傅里叶变换9/22/202355设

l均为整数式中，r是kn被N除得的商数，l是余数。所以有由于所以有6.5.2DFT的计算6.5离散傅里叶变换9/22/202356表6.1按模8计算的kn值6.5.2DFT的计算6.5离散傅里叶变换9/22/2023576.6DFT的性质1.线性若

f1(k)←→F1(n)，f2(k)←→F2(n)，则式中，a,b为任意常数。9/22/2023582.对称性若

f

(k)←→F(n)，则此性质可以由IDFT式(6.5-10)互换变量k和n而证得。6.6DFT的性质9/22/2023593.时移特性有限长序列f(k)的时移序列f(k-m)，从一般意义上讲，是将序列f(k)向右移动m位。即将区间0~N-1的序列f(k)移到区间m~N+m-1。由于DFT的求和区间是0到N-1，这就给位移序列的DFT分析带来困难。我们这里所讨论的时间位移并不是指上述一般意义上的位移，而是指循环位移(亦称圆周位移)。所谓循环位移，实质上是先将有限长序列f(k)周期延拓构成周期序列fp(k)，然后向右移动m位得到fp(k-m)，最后取fp(k-m)之主值。这样就得到所谓的循环位移序列fp(k-m)GN(k)。一般可记为9/22/202360图6.6-1有限长序列的循环位移9/22/202361

DFT分析中的时间循环位移特性告诉我们：若f(k)←→F(n)，则上述结论可直接对位移序列f((k-m))NGN(k)求DFT得到。9/22/2023624.频移特性频移特性表明，若时间序列乘以指数项 ,则其离散傅里叶变换就向右循环位移l单位。这可看作调制信号的频谱搬移，因而也称为调制定理。若f(k)←→F(n)，则有9/22/2023635.采用ＤＦＴ的IDFT这个性质的意义在于，利用DFT正变换的算法既可计算其正变换，又可计算其反变换，这就为DFT的计算带来了程序通用化的方便。若f(k)←→F(n)，则有9/22/2023646.时域循环卷积(圆卷积)我们知道，卷积在系统分析中起着非常重要的作用。两序列f1(k)和f2(k)(长度分别为L和M)的卷积得到长度为L+M-1的另一个序列，即k=0，1,2，…,L+M-29/22/202365这就是所谓的线卷积。而这里所讨论的是循环卷积，也称圆卷积。循环卷积的含义为：两长度均为N的有限长序列f1(k)和f2(k)，其循环卷积结果仍为一长度为N的序列f(k)。循环卷积的计算过程与线卷积相似，只不过求和式中的位移项f(k-m)应按循环位移处理。因而，有限长序列f1(k)与f2(k)的循环卷积可记为9/22/202366图6.6-2线卷积与圆卷积比较9/22/202367在DFT中，循环卷积(圆卷积)具有如下的性质：若f1(k)←→F1(n)，f2(k)←→F2(n)，则有对原序列应作如下处理：对长度分别为L和M的有限长序列f

1(k)和f2(k)用补零的方法将其开拓成长度为N≥L+M-1的增广序列和9/22/202368图6.6-3应用DFT求序列f1(k)与f2(k)的线卷积于是，增广序列与的循环卷积就得到长度为N≥L+M-1的序列,与原序列线卷积的结果相同。对于增广序列的循环卷积显然可以应用DFT处理。9/22/2023697.频域循环卷积(频域圆卷积)若f1(k)←→F1(n)，f2(k)←→F2(n)，则有式中：9/22/2023708.奇偶虚实性设f(k)为实序列，f(k)←→F(n)，令式中，Fr(n)是F(n)的实部，Fi(n)是F(n)的虚部。由DFT的定义式可写出于是有9/22/202371由此可见，实序列的离散傅里叶变换为复数，其实部为偶函数，虚部为奇函数。若实序列f(k)为k的偶函数，即上面讨论的性质可用如下的表示式说明：9/22/202372即，对于实数序列，其变换式的实部为n的偶函数，虚部为n的奇函数。由此可知，F(n)与F(-n)呈共轭关系，即由于F(n)具有周期性，故F*((-n))NGN(n)=F*(N-n)，因此，式(6.6-17)可写为(6.6-17)式(6.6-18)的共轭关系反映其模相等，幅角(arg)反号，即(6.6-18)9/22/202373图6.6-4实序列DFT的|F(n)|对称分布示例9/22/202374若f(k)为纯虚序列，它的DFTF(n)也可分解为实部和虚部之和，仍以式(6.6-11)表示。容易证明，Fr(n)是n的奇函数，而Fi(n)是n的偶函数。即纯虚序列的离散傅里叶变换为复数，其实部为奇函数,虚部为偶函数。同样可证，虚偶函数的DFT是虚偶函数，而虚奇函数的DFT为实奇函数。因此,对于纯虚序列有9/22/2023759.巴塞瓦尔定理若f

(k)←→F

(n)，则有如果f(k)为实序列，则有巴塞瓦尔定理表明，在一个频域带限之内，功率谱之和与信号的能量成比例。9/22/2023766.7快速傅里叶变换(FFT)简介9/22/2023776.7.1DFT矩阵WE及其因子化当N=8，kn值以模8运算，据定义式有：9/22/202378显然，这样的方程式用矩阵表示更为简明方便。一般情况下，我们可将DFT的定义式写成矩阵的形式:它们都是列矩阵。WE称为DFT矩阵

.9/22/202379它们都是列矩阵，WE称为DFT矩阵，当N=8时9/22/202380在分析一个系统时， 往往是确定的，因而WE矩阵的关键是矩阵中 的指数排列次序。为此，我们将WE矩阵中各元素的指数单独组成矩阵E，使问题更加简单明了。当N=8时9/22/202381同理，IDFT也可写成矩阵形式。设N=22=4，则有n=0,1,2,3式中，9/22/202382令n的排序为0，2，1，3，则可写出其矩阵表示式为可见，在n按0,2,1,3排序情况下，DFT矩阵为9/22/202383每个子矩阵可以写成下面的形式：9/22/202384矩阵WE可以写为9/22/202385若令则稀疏矩阵9/22/2023866.7.2基2FFT概述对于N=22=4，据DFT定义式(6.7-1)有9/22/202387利用DFT矩阵因子化的结论式(6.7-10)，可将上式写成9/22/202388列矩阵F1(k)：9/22/202389利用中间矢量F1(k)就可进一步完成式(6.7-12)的计算：元素F2(0)可用一次复数乘法和一次复数加法确定：9/22/202390直接算法的计算时间对FFT算法的计算时间之比有下列近似的关系：图6.7-1N=22的FFT信号流程图9/22/202391例如，对于结点F1(2)有表6.2自然顺序与二进制逆序(N=8)9/22/2023926.8离散系统的频域分析6.8.1基本信号ejωk激励下的零状态响应对一任意的周期离散信号f(k)，利用离散傅里叶级数可以将其表示为指数信号

的线性组合，即式中：9/22/202393同样，利用离散时间傅里叶变换可以将任一非周期离散信号f(k)表示为指数信号ejωk的线性组合，即式中：因此，与连续信号的情况一样，我们将指数信号ejωk称为基本信号。指数信号

实质上与基本信号ejωk一样，它只不过是当时的特例。9/22/202394设稳定离散LTI系统的单位响应为h(k)，则据上一章的讨论可知，系统对基本序列ejωk的零状态响应为式中的求和项正好是h(k)的离散时间傅里叶变换，记为H(ejω)，即称H(ejω)为传输函数或频率响应。9/22/202395一个稳定的离散LTI系统，对ejωk这一