江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末 数学试题【含答案】

2023-2024学年度第二学期高一年级期终考试数学试卷注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若向量，为单位向量，且，则（

）A． B． C． D．13．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若，，则用，表示（

）A． B． C． D．5．若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线（

）A．只有一条 B．无数条C．是平面内的所有直线 D．不存在6．若，则（

）A． B． C．1 D．37．《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（

）A． B． C． D．8．设函数，若恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．1二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9．若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（

）A． B．的虚部为C． D．在复平面内对应的点在第二象限10．若函数，则（

）A．函数的一个周期为 B．函数的图象关于轴对称C．函数在区间上单调递减 D．函数的最大值为2，最小值为011．如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（

）A．B．若点在线段上，则四面体的体积为定值C．若，则点轨迹的长度为D．若点在直线上，则的最小值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．若，，，的方差为2，则，，，的方差为.13．若，，，则的最小值为.14．已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：

(1)请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；(2)现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.16．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域.17．在中，角，，的对边分别为，，，且满足.(1)求的大小；(2)若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长.18．如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若二面角的大小为，求点到平面的距离.19．若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”.(1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；(2)若为函数的“可消数对”，求的值；(3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围.1．C【分析】借助数轴，利用集合交集运算规则求交集即可.【详解】由图可知，，故选：C.2．A【分析】通过向量模的平方等于向量的平方即可求解.【详解】因为向量，为单位向量，所以，因为，所以，所以.故选：A.3．A【分析】根据向量平行得出x，再结合充分不必要条件判断即可.【详解】因为，可得,则是的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】结合对数运算性质即可得解.【详解】由对数运算性质可得，故选：D.5．B【解析】直线与平面不垂直，可以和平面内一条直线垂直，即可得答案.【详解】直线与平面不垂直,一定存在，使得成立，因此在平面内，与平行的所有直线都与直线垂直，因此有无数条直线在平面内与直线垂直.故选：B6．B【分析】首先用齐次分式求正切值，然后利用两角差正切公式求值即可.【详解】因为，所以，即，所以，故选：B.7．C【分析】由面面垂直的性质得到平面，设的外接球的半径为，则，求出，即可求出外接球的表面积.【详解】因为，，，所以，又为直棱柱，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又矩形外接球的直径为，设的外接球的半径为，又，，所以，所以，所以阳马的外接球的表面积.故选：C8．C【分析】分与两类讨论，根据恒成立，得出的结论，从而得解.【详解】若当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即，当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即，综上，，同理时，又，所以，，当且仅当时，取等号故选：C.9．AC【分析】根据复数的模判断A，根据复数的定义判断B，根据共轭复数判断C，根据复数的几何意义判断D.【详解】因为，所以，故A正确；的虚部为，故B错误；，所以，故C正确；在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误.故选：AC10．ABC【分析】A选项，根据作出判断；B选项，根据函数奇偶性的定义作出判断；C选项，当时，，化简得到，由复合函数同增异减得到函数的单调性；D选项，先求出时，，得到最值，结合函数的周期性和奇偶性得到答案.【详解】A选项，，故的一个周期为，A正确；B选项，定义域为R，，故函数的图象关于轴对称，B正确；C选项，当时，，在上单调递增，故，由于在上单调递减，由同增异减，可知在区间上单调递减，C正确；D选项，当时，，，当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为0，又的图象关于轴对称，的一个周期为，故在R上的最大值为，最小值为0，D错误.故选：ABC11．ABD【分析】利用直棱柱及所在棱长都为，很快可计算各边长，再利用菱形的对角线垂直，再结合直棱柱易证A成立。再结合空间关系可证明平面，即B选项正确，而对于C选项，易证明点在平面上的轨迹是圆弧，接下来就是计算，可判断错误，最后就是利用两个平面的展开图，为一个平面四边形，再计算对角线长即可作出判断.【详解】连接，由菱形可得，再由直棱柱，可得底面，又因为底面，所以，而，所以平面，又因为平面，所以，故A正确；取的中点为，连接，又由点为的中点，可得，而，所以，即四点共面，由平面，平面，所以平面，因为动点，所以动点到平面的距离不变，又因为三点固定，则四面体的体积为定值，故B正确；

动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为，由直棱柱，易证明平面，而侧面，即有，由菱形边长为2，，可得，再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，则由侧面正方形，可知，，可得，所以点的轨迹的圆弧长为，故C错误；利用直棱柱的所有棱长为，可计算得：再把这三角形与三角形展开成一个平面图，如下图：先解三角形，由余弦定理得：，利用平方关系得：，所以，再由余弦定理得：，即，故的最小值为，故D正确；故选：ABD．12．18【分析】法一：利用方差公式求解即可，法二：利用方差的定义直接求解.【详解】方法一：因为，，，的方差为2所以，，，的方差为；方法二：设，，，的平均数为，则，显然，，，的平均数为：，所以它们的方差为,故答案为：18.13．【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故答案为：14．【分析】建立平面直角坐标系，用带的坐标分别表示向量，求得数量积关于的式子，然后用函数的思想求范围.【详解】如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则,,所以,所以令，当时，，当或时，，所以，故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；（2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：；（2）样本中年龄在区间的频率为，年龄在区间的频率为，则年龄在区间抽取人，分别记作、、、，年龄在区间抽取人，分别记作、，从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共个，其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个，所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.16．(1)(2)【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再用周期公式即可求最小正周期；（2）通过图像平移求得解析式，在用整体代换法求得在时的值域.【详解】（1）因为，所以最小正周期为：；（2）由（1）知，所以函数图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的解析式为，因为，所以，所以当时，；当时，，所以的值域为：.17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解；（2）由面积公式求出，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，求出此时、的值，再由余弦定理计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，所以，所以，即，又，所以；（2）因为的面积为，即，即，则，，因为，所以，在中，即，当且仅当，即，时取等号，所以，即的最小值为，此时，，则，所以，即.18．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）依题意可得四边形为平行四边形，即可得到，从而得证；（2）连接，即可说明四边形为菱形，得到，从而得到，再由线面垂直得到，从而证明平面，即可得证；（3）首先证明平面，即可得到为二面角的平面角，从而求出，再由，利用等体积法求出点到平面的距离.【详解】（1）因为，，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）连接，因为，，为的中点，则，所以四边形为菱形，所以，又，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（3）因为平面，平面，所以，，，又，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，即，所以为等腰直角三角形，所以，又，，，所以，又平面，平面，所以，所以，设点到平面的距离为，则，即，即，解得，即点到平面的距离为.19．(1)(2)(3)【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可.（2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到,