第一章曲线曲面的数学表示(精简)

CAGD概述ComputerAidedGeometricDesign(CAGD)1974年，Barnhill与Riesenfeld首先提出GAGD的研究对象与核心问题研究对象：工业产品的几何形状（解析曲面、自由曲面）的数学表示核心问题：研究适合计算机表示，且满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状数学描述方法。需要解决的问题：用于工业产品形状数学描述的标准形式，曲线曲面的形状控制，曲线曲面的光滑连接与统一表示1.2形状数学描述的发展主线显式标量函数与隐方程描述曲线曲面1963年，弗格森将曲线曲面表示为参数的矢函数1964年，孔斯（Coons）提出由封闭的4条边界构造曲面1971年，雷诺（Renault）公司Bezier提出由控制多边形定义曲线曲面1972年，德布尔（deBoor)提出B样条算法，1974年，戈登（Gordon）和里森弗尔德（Riesenfeld)将B样条理论应用于曲线曲面的描述上世纪80年代后期，Piegl、Tiller、Farin等人将非均匀有理B样条方法用于形状的描述对于形状数学描述的要求唯一性由已给有限信息决定的形状唯一几何不变性数学表示与形状不随坐标系的改变而改变易于定界统一性能统一表示各种形状及处理各种情况，如平面与空间曲线，无穷大斜率易于实现光滑连接易于实现对形状的控制，不仅要有整体控制的能力，且要有局部控制的能力第二章曲线曲面的基本理论CAGD的数学基础－微分几何CAGD中矢量、点与直线矢量具有长度以及方向服从相等、相加、反向、相减、数乘分为绝对矢量（点）与相对矢量（矢量与矢量间的相互关系）固定矢量与变矢量若变矢量随某一参数或变量而变化，则称其为该变量或参数的矢函数相对矢量相加减得相对矢量，绝对矢量加或减相对矢量得绝对矢量，绝对矢量相加减则不能判定两点连线的数学表示两点之间的线性插值一般形式曲线与曲面的参数表示解析几何的参数表示微分几何的参数矢函数表示CAGD的基表示的参数矢函数形式基函数决定了曲线的整体性质，当基函数确定后，就决定了系数矢量是绝对矢量还是相对矢量，也就决定了所表示曲线的形状。矢函数形式曲线方程的物理意义矢函数形式曲线方程：p=p(u)点动成线，如果将u视为时间，则p(u)可看作一质点随时间的变化运动的轨迹。其关于u的一阶导矢与二阶导矢分别就是质点的速度矢量和加速度矢量。有可能质点的运动轨迹即曲线相同，但速度矢量和加速度矢量不同。曲线与曲面的参数表示在微分几何里，把曲面表示成双参数u和v的矢函数：在CAGD里，曲面大都采用基表示的一种特殊矢函数形式：基表示的矢函数形式的优点总是能够获取几何不变性易于界定形状的范围易于表示空间曲线易于计算形状上的点易于处理无穷大斜率提供对曲线、曲面形状控制的较多的自由度曲线的表示给定一个具体的单参数的矢函数，即给定一个具体的参数曲线方程，称之为给定了一个曲线的参数化(parametrization)，它即决定了所表示曲线的形状，也决定了该曲线上的点与其参数域内的点(即参数值)间的一种对应关系。当曲线取任意参数时，参数域内线段长度之比即不等于曲线上对应线段长度之比，也不等于对应曲线段的弦长之比。仅在曲线取自身弧长的线性函数为参数时，参数域内线段长度之比即才等于曲线上对应线段长度之比。曲线上的点与参数域上的点一一对应关系不成立的点为奇点，如自交点。曲线的导矢曲线的导矢对曲线各分量分别对参数求导GADG中曲线的导矢几何意义为曲线的切矢，是相对矢量正则曲线曲线的弧长公式自然参数方程曲线取自身弧长为参数曲线论的基本公式、曲率与挠率（Frenet）活动标架Frenet-Serret公式（基本公式）Frenet活动标架将曲线在一点处的三个单位矢量用来作为坐标轴方向的基矢量，则在该点处构成一个局部坐标系。当参数连续变化时，该坐标系就连续发生平移和旋转，成为曲线上的一个活动坐标系，称为Frenet活动标架。有了活动标架，则曲线在任一点处临近的几何行为或几何性质就可以在该点处的活动标架内考察，该点处的任一个矢量就可表示成活动标架上三个基矢量的线性组合。三个基本矢之间的关系都是单位矢量相互垂直组成的体积为1曲率与挠率曲率k的几何意义为曲线的单位切矢对于弧长的转动率，因单位切矢对于弧长的一阶导矢其模长等于曲率，故称为曲率矢，与主法矢同向。挠率的绝对值等于副法线方向对于弧长的转动率，其大于、等于、小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。曲线的弧长、曲率、挠率是几何不变量，三个基矢量是几何不变矢，与参数选取无关。曲面论公式范围奇点曲面的参数化u线与v线u向切矢与v向切矢曲面的单位法矢曲面表示曲面方程：p=p(u,v)曲面范围：用两个参数的变化区间所表示的uv参数平面上的矩形区域u1≤u≤u2，v1≤u≤v2给出。奇点：一一对应关系不成立的点，以及切平面法矢为零的点曲面的参数化给定一个具体的曲面方程，称为给定了一个曲面的参数化。它即决定了所表示曲面的形状，也决定了该曲面上的点与参数域内的点的对应关系。曲面的参数化不是唯一的。如果固定其中一个参数，则曲面退化为单参数的矢函数，表示曲面上的一条等参数线。曲面的参数化曲面上一点的u线与v线曲面的u向切矢与v向切矢曲面上一点的单位法矢曲面的等距面曲面上的曲线及曲率性质曲面上的曲线切矢曲率矢法曲率曲面的曲率性质曲面上过一点具有相同切线方向的曲线有无数条，但这些曲线的曲率矢都位于该点处的法平面内过曲面上一点具有相同切线方向的所有曲线在该点都具有相同的法曲率（非曲率矢）曲面上一点的法曲率总是沿着某一方向的法曲率，曲面上一点有无数个方向，就有无数个法曲率，其中的最值为主曲率高斯曲率（两主曲率的乘积，决定双曲点、抛物点、椭圆点）与平均曲率（两主曲率的均值）曲线曲面的几何不变性基表示的曲线曲面的规范性划分规范基表示部分规范基表示非规范基表示基表示中系数矢量的类型判定：凡与规范基或部分规范基表示中具有规范性的那些基函数相联系的系数矢量为绝对矢量，否则为相对矢量。非规范基表示中的系数矢量不能判定究竟是绝对矢量还是相对矢量。曲线曲面的几何不变性概念曲线曲面的数学表示及其所表达的形状不依赖于坐标系规范基表示具有几何不变性，仅需将原表示中的系数矢量作相同的坐标变换即可获得变换后的曲线与曲面部分规范基表示具有几何不变性，需将原表示中的绝对系数矢量作相同的坐标变换，而相对矢量仅作旋转变换非规范基不具有几何不变性对非规范基表示的规范化处理在非规范基表示中加入零矢量，该项的基函数取为与其它所有基函数和为1则成为规范基表示；如取为与其它部分基函数和为1则成为部分规范基表示。参数化与参数变换重新参数化将曲线从表示为参数u的矢函数变成表示为参数t的矢函数参数变换后曲线关于新老参数的一阶导矢平行，二阶导如何？域变换u与t间的关系为线性函数，在对老参数的k阶导矢相比，方向不变，仅模长改变。曲线经重新参数化后，其形状不变，但对应关系发生变化（域变换除外）用不同的方程描述同一条曲线，其间差别在于曲线上的点与参数域内的点的对应关系不同，仅在方向不变的域变换下，这种对应关系不变。曲面的重新参数化给定一正则曲面p=p(u,v)，其中(u,v)єR，令：满足Jacobi行列式不为零的条件：则得到参数曲面：此过程称之为曲面的重新参数化。Jacobi行列式不为零的条件保证变换后的曲面也是正则的。第三章参数多项式

插值与逼近3.1基本概念插值（interpolation）插值曲线被插曲线曲线插值法插值曲面被插曲面曲面插值法逼近（approximation）逼近曲线被逼曲线曲线逼近法逼近曲面被逼曲面曲面逼近法插值与逼近统称为拟合（fitting）多项式基采用多项式函数作为基函数即为多项式基，得到的曲面为参数多项式曲线、曲面多项式基的优点：无穷次可微，易计算函数值及各阶导数值n次多项式的全体构成n次多项式空间，其中任意一组n+1个线性无关的多项式都可作为一组基采用幂基的参数多项式曲线数据点的参数化给每个数据点赋予相应的参数值，使其形成一个严格递增的序列，该序列称为关于参数的一个分割，每个参数值称为节点，以上过程称为对数据点实行参数化，它规定了这些数据点与参数域相应点的对应关系同一组数据点，采用同样的插值法，而数据点的参数化不同，将获得不同的插值曲线数据点的参数化方法均匀参数化法积累弦长参数化法向心参数化法修正弦长参数化法规范化处理多项式插值曲线及其特点曲线方程的待定系数矢量个数等于给定的插值条件即数据点的数目幂基多项式插值曲线及插值条件拉格朗日(Lagrange)多项式插值曲线及插值条件最小二乘逼近插值条件（数据点）多于待定系数矢量插值条件矩阵形式解（法方程，Gaussian正交方程组）参数三次曲线能表示空间曲线的次数最低的多项式曲线，方程：三次埃尔米特基及其性质参数三次曲线的几何特征两数据点分别是曲线段的两端点，首末端切矢决定曲线段的形状三次埃尔米特插值的域变换对域变换的依赖性：基与系数矢量都有变化由部分规范性需对几何变换进行特殊处理双线性插值曲面张量积曲面方程准线不一定位于曲面上，母线运动形成曲面的一族等参数线，同时形成了曲面曲面数据点的参数化曲面数据点的参数化是给每一数据点赋予一对参数值一般采用双向平均规范积累弦长参数化参数（孔斯）双三次曲面片差值于四个角点、四个角点处双向偏导矢扭矢以及混合偏导矢参数（孔斯）双三次曲面片弗格森双三次曲面片定义在任意子矩形域上的参数双参数曲面片第四章参数样条曲线曲面函数曲线的光滑度用对其变量的可微性度量参数曲线的光滑度参数连续性与曲线的光顺程度不一致几何连续性反映曲线的光顺程度不一致参数多项式组合曲线的连续性取决于各段间公共连接点处的连续性参数曲面的连续性（跨界切矢）参数连续性几何连续性分片为双参数多项式的张量积组合曲面，其参数连续性取决于公共边界处的连续性C1分段三次埃尔米特插值给定数据点、切矢及参数分割，构造一条C1分段三次多项式曲线，其分段表达式：切矢的确定方法弗密尔法（FMILL）贝塞尔法（Bessel）秋间法（Akima）优良的局部支撑性质采用相异的切矢模长，相同的切线方向获得一阶几何连续性三切矢连续性方程：C2分段三次埃尔米特插值即参数三次样条插值曲线必须满足的连续性条件，由，得参数三次样条曲线参数三次样条曲线的提出弹性细梁的应变能问题的简化假定，有边界条件封闭曲线且整体C2连续则无需边界条件曲线两端点处的附加方程－边界条件的确定方法切矢条件自由端点条件4.3.7参数三次样条曲线的性质唯一性由数据点、边界条件、参数分割唯一决定收敛性插值曲线随所取数据点增多将收敛被插曲线计算稳定改动一点或端点处边界条件对曲线的影响将随与该点距离的增大而迅速衰减整体性改动一点或端点处边界条件对整条曲线产生影响灵活性差由唯一性决定不易控制由整体性造成参数三次样条曲线的光顺性二阶几何连续（位置、切线方向、曲率矢）、不存在奇点与多余拐点曲率变化较小应变能变化较小挠率变化较小弗格森样条曲面（组合）给定呈拓扑点阵，双方向参数分割取整数序列，构造弗格森样条曲面步骤如下：（1）对各行列数据点构造弗格森样条曲线生成曲面的网格骨架。（2）生成定义于子矩形域上分片形式的弗格森双三次样条曲面弗格森样条曲面在公共边界处仅能达到一阶连续孔斯双三次样条曲面将各角点混合偏导矢为非零矢量获得二阶参数连续各角点混合偏导矢需满足的条件参数双三次样条曲面给定呈拓扑点阵，双方向参数分割取任意递增序列，分片参数双三次曲面片贝齐尔曲线及其性质贝齐尔曲线的数学表示控制顶点伯恩斯坦基函数伯恩斯坦基函数的性质定义式非负性规范性端点性质对称性函数递推导数递推最大值升阶公式积分贝齐尔曲线的性质零次贝齐尔曲线为一个点一次贝齐尔曲线是连接两顶点的直线首末端点分别是首末顶点曲线在首末端点的k阶导矢仅与多边形首末k条边有关几何不变与仿射不变对称性凸包性变差减少性移动第j个控制顶点将对曲线上参数为j/n的点处影响最大贝齐尔曲线的线性运算贝齐尔曲线的计算（曲线上点、导矢、分割、升阶）通过曲线的显式表示计算德卡斯特里奥算法贝齐尔曲线的递推定义抛物线的三切线定理n次贝齐尔曲线可定义为分别由前后n个控制顶点定义的两n-1次贝齐尔曲线的线性组合：德卡斯特里奥递推算法递推公式中间控制顶点中间控制顶点的显式定义当参数从0变化到1时，第k级递推的每个中间顶点都各扫描出一条由原始顶点bj+i定义的k次中间贝齐尔曲线，这些中间顶点再经n-k级递推后就得到了由原始顶点定义的n次贝齐尔曲线。贝齐尔曲线的导矢一阶导矢高阶导矢由德卡斯特里奥算法求一、二阶导矢贝齐尔曲线的分割求解由曲线上一点分割曲线后形成的两曲线段贝齐尔曲线的任意分割求解介于贝齐尔曲线上任意两点之间的曲线段，由两个一分为二的过程实现贝齐尔曲线的延拓求解曲线定义域外一点所在曲线段，由对原控制多边形各边进行线性外插，并进行ｎ级递推（广义德卡斯特里奥算法）实现贝齐尔曲线的升阶名义次数真实次数升阶公式用途：无限次的升阶将使控制多边形收敛为曲线本身增加曲线的柔性构造曲面张量积贝齐尔曲面贝齐尔曲面的显式定义曲线沿空间的运动轨迹形成张量积曲面曲面的控制顶点，控制网格，次数曲面的u线为m次贝齐尔曲线，v线为n次贝齐尔曲线德卡斯特里奥递推定义

以u参数对n+1个u向控制多边形进行曲线的m次递推，再对得到的n+1个顶点构成的中间多边形以v参数进行n次递推，得到的点为曲面上的点贝齐尔曲面的性质p(0,0)=b0,0，p(1,0)=bm,0，p(0,1)=b0,n，p(1,1)=bm,n曲面网格的最外一圈顶点定义贝齐尔曲面的四条边界；曲面边界的跨界切矢只与该边界的顶点及相邻一排顶点有关；跨界二阶导矢只与该边界的顶点及相邻两排顶点有关几何不变与仿射不变凸包性质移动顶点bi,j将对点p(i/m,j/n）影响最大偏导矢与法矢偏导矢法矢2.10B样条曲线曲面（一）2.10.1B样条与B样条曲线的基本概念2.10.2B样条曲线与贝齐尔曲线的差别2.10.3B样条的递推定义2.10.4B样条的性质2.10.5B样条曲线的其他性质2.10.6B样条曲线的分类2.10.7B样条基的递推计算2.10.1B样条与B样条曲线的基本概念B样条曲线方程控制顶点B样条基函数节点矢量2.10.2B样条曲线与贝齐尔曲线的差别基函数次数与控制顶点数间的关系贝齐尔曲线的基函数为多项式