高中数学抽象函数常见题型及解法

1、抽象函数常见题型及解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下一、 函数的基本概念问题1抽象函数的定义域问题例1 已知函数的定义域是1，2，求的定义域解：由的定义域是1，2，是指1x2，所以

2、1x4，即函数的定义域是1，4评析：一般地，已知函数的定义域是A，求的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题例2 已知函数的定义域是1，2，求函数的定义域解：由的定义域是1，2，意思是凡被作用的对象都在1，2中，由此易得 1log(3x)2 ()3x()1x函数的定义域是1，评析：这类问题的一般形式是：已知函数的定义域是A，求函数的定义域正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键一般地，若函数的定义域是A，则x必须是A中的元素，而不能是A以外的元素，否则，无意义因此，如果有意义，则必有xA所以，这类问题实质上相当于已知的值域是A，据此求x的取值范围，即由A建立不等

3、式，解出x的范围例2和例1形式上正相反2抽象函数的值域问题例4 设函数(x) 定义于实数集上，对于任意实数x、y，(x + y) =(x)(y)总成立，且存在xx，使得(x)( x)，求函数(x)的值域解：令x = y = 0，得(0) =(0)，即有(0) = 0或(0) = 1若(0) = 0，则(x) =(x + 0) =(x)(0) = 0，对任意xR均成立，这与存在实数xx，使得(x)( x)成立矛盾故(0)0，即(0) = 1由于(x + y) =(x)(y) 对任意x、yR均成立，因此，对任意xR，有(x) =(+) =()() = ()0下面只需证明，对任意xR，(0)0即可设

4、存在xR，使得( x) = 0，则(0) =( xx) =( x)(x) = 0，这与(0)0矛盾，因此，对任意xR，(x)0所以(x)0 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段3抽象函数的解析式问题例5 设对满足 x0，x1的所有实数 x ，函数(x) 满足(x) +() = 1 + x，求(x) 的解析式解：在(x) +() = 1 + x ， (1) 中以代换其中 x，得：() +() = ， 再在(1)中以代换x，得 ：() +(x) =， (1)(2) + 化简得：(x) =评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一

5、个变量的转化是解题关键通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略二、寻觅特殊函数模型问题1指数函数模型 例6 设 定义于实数集R上，当x0时，1 ，且对于任意实数x、y ，有(x + y) =·，同时(1) = 2，解不等式(3xx)4联想：因为a= a·a(a0，a1)，因而猜测它的模型函数为= a(a0，a1)(由(1) = 2，还可以猜想= 2)思路分析：由=·= 4，需解不等式化为(3xx)这样，证明函数的(由= 2，只证明单调递增)成了解题的突破口解：由 (x + y) =(x) ·(y)

6、中取x = y = 0 ，得(0) =(0)，若(0) = 0，令x0 ，y = 0 ，则 (x) = 0，与(x)1 矛盾 (0) 0，即有(0) = 1 当x0 时 ，(x)10 ，当x0 时 ，x0，(x)10 ，而(x) ·(x) =(0) = 1， (x) =0 又当x = 0 时，(0) = 10 ，xR ，(x)0 设 xx+ ，则xx0 ，( xx)1 ( x) = x+ ( xx) =(x)( xx)( x) y =(x) 在R 上为增函数又(1) = 2，(3xx)(1) ·(1) =(1 + 1) =(2)，由(x)的单调递增性质可得：3xx2，解得1

7、x22对数函数模型例7 已知函数满足：() = 1；函数的值域是1，1；在其定义域上单调递减；=(x·y) 对于任意正实数x、y 都成立解不等式·联想：因为log(x·y) = logxlogy，而log= 1，y = logx在其定义域1，1内为减函数，所以猜测它的模型函数为= logx且的模型函数为= ()思路分析：由条件、知，的反函数存在且在定义域1，1上递减，由知=剩下的只需由的模型函数性质和运算法则去证明·=，问题就能解决了解：由已知条件、知，(x)的反函数存在，且(1) =，又在定义域1，1上单调递减设y=(x)，y=(x)，则有x=(y)，

8、x=( y) ，x+ x=(y) +( y) =(yy)，即有yy=(x+ x)·=，于是，原不等式等价于： x = 0故原不等式的解集为0解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即通过联想、分析，然后进行类比猜测，经过带有非逻辑思维成份的推理，即可寻觅出它的函数模型，由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路3幂函数模型例8 已知函数对任意实数x、y都有=·，且=1，=9，当0x1时，01时判断的奇偶性；判断在0，上的单调性，并给出证明；若a0且，求a的取值范围联想：因为·= (x·y)，因而猜测它的模型函数为=(由=9，还可以猜想= x)思路分

9、析：由题设可知是幂函数y = x的抽象函数，从而可猜想是偶函数，且在0，上是增函数解：令y =1，则=·，=1，=，即为偶函数若x0，则=·=0设0xx，则01，=·，当x0时0，且当0x1时，0101，故函数在0，上是增函数=9，又=·=··= ，9 = ，=，a0，(a1)，30，函数在0，上是增函数 a13，即a2， 又a0，故0a2三、研究函数的性质问题1抽象函数的单调性问题例9 设(x) 定义于实数集上，当x0时，(x)1 ，且对于任意实数x、y，有(x + y) =(x) ·(y)，求证：(x) 在R 上为增函数

10、证明：由 (x + y) =(x)(y) 中取x = y = 0，得(0) =，若(0) = 0，令x0，y = 0，则 (x) = 0，与(x)1 矛盾 (0)0，即有(0) = 1当x0时，(x)10，当x0时，x0，(x)10，而(x) ·(x) =(0) = 1， (x) =0 又当x = 0 时，(0) = 10 ，xR，(x)0设 xx+，则xx0，( xx)1 ( x) = x+ ( xx) =(x)( xx)( x) y =(x) 在R 上为增函数评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系

11、式及所求的结果相关联2抽象函数的奇偶性问题例10 已知函数(x) (xR，x0）对任意不等于零实数x、x 都有(x·x) =(x) +(x)，试判断函数(x) 的奇偶性解：取x=1，x= 1得：(1) =(1) +(1)，(1) = 0又取x= x=1得：(1) =(1) +(1)，(1) = 0再取x= x，x=1则有(x) =(1) +(x)，即(x) =(x)，(x)为非零函数，(x)为偶函数3抽象函数的周期性问题例11 函数定义域为全体实数，对任意实数 a、b，有(ab)(ab) =2(a) ·(b)，且存在C0 ，使得= 0 ，求证(x) 是周期函数联想：因为co

12、s(ab)cos(ab) = 2cosacosb，且cos= 0，因而得出它的模型函数为y = cosx，由y = cosx的周期为，可猜想2C为的一个周期 思路分析：要在证明2C为的一个周期，则只需证=，而由已知条件= 0和(ab)(ab) =2(a) ·(b)知，必须选择好a、b的值，是得条件等式出现和证明：令a = x，b =，代入(ab)(ab) = 2(a) ·(b) 可得 (xC ) =(x)(x2C ) =(xC)C =(xC ) =(x) ，即是以 2C 为周期的函数评析：如果没有余弦函数作为模型，就很难想到2C 就是所求函数的周期，解题思路是难找的由此可见

13、，寻求或构造恰当的模型函数，可以为思考与解题定向，是处理开放型问题的一种重要策略4抽象函数的对称性问题例12 已知函数y =满足+= 2002，求+的值解：由已知，在等式+= 2b中a = 0，b = 2002，所以，函数y =关于点(0，2002)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数y =关于点(2002，0)对称+= 0，将上式中的x用x1001换，得+= 0评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：即：设a、b均为常数，函数y =对一切实数x都满足+= 2b，则函数y =的图象关于点(a，b) 成中心对称图形四、抽象函数中的网络综合问题例13 定义在R上的函数满足：对任意实数m，n，总有=·，且当x0时，01判断的单调性；设A = (x，y)|·，B = (x，y)|= 1，aR，若AB =，试确定a 的取值范围解：在=·中，令m = 1，n = 0，得=·，因为0，所以= 1在=·中，令m = x，n =x，当x0时，01，当x0时，x0，01，而(x) ·(x) = 1， (x) =10 又当x = 0 时，(0) = 10，所以，综上可知，对于任意xR，均有(x)0设 xx+ ，则xx0，0( xx)1( x) = x( xx) =(x)