高等数学习题详解多元函数微分学

1、习题7-11. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).解：A在V卦限，B在y轴上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。2. 已知点M(-1，2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标.解：设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3).(2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3).同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z

2、轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x=-1，y=2，z+3=0，得到点M关于xOy面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M关于yOz面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M关于zOx面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点.解:设所求的点为M(0，0，z)，依题意有|MA|2=|MB|2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z=11，故所求的点为M(0，0，).4. 证明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三

3、角形是一个等腰三角形.解：由两点距离公式可得， 所以以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a=2,b=3,c=5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为。6. 求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解：因所求平面经过x轴，故可设其方程为Ay+Bz =0.又点(4,3,1)在平面上，所以-3A-B =0.即B=-3 A代入并化简可得 y-3z =0.7. 求平行于y轴且过M1(1,0,0)，M2(0,0,1)两点的平面方程.解：因所求平面平行于y轴，故可设其方程为Ax+Cz+D=0.又点M1和M2都在平面

4、上，于是可得关系式：A=C=D,代入方程得：DxDz+D=0.显然D0,消去D并整理可得所求的平面方程为x+z1=0.8. 方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，0）为球心，半径为的球面方程。9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？(1) x2y=1；(2) x2+y2=1；(3) 2x2+3y2=1；(4) y=x2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。习题7-21. 下列各函数表达式:(1) 已知f(x,y)=x2+y2,求；(2) 已知求f(x,y).解

5、：（1） （2） 所以2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形：(1) ；(2) ;(3) ；(4) 解：（1）由可得 故所求定义域为D=(x,y)| 表示xOy平面上不包含圆周的区域。 （2）由 可得 故所求的定义域为D=(x,y)| ，表示两条带形闭域。 （3）由 可得 故所求的定义域为D=(x,y)| ，表示xOy平面上直线y=x以下且横坐标的部分。 （4）由 可得 故所求的定义域为D=(x,y)| 。3. 说明下列极限不存在： (1) ；(2) .解：（1）当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时，有 。显然，此时的极限值随k的变化而变化。 因此，函数f(x,

6、y)在(0,0)处的极限不存在。（2）当点P(x,y)沿曲线趋于点(0,0)时，有 。显然，此时的极限值随k的变化而变化。 因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。4. 计算下列极限：(1) ；(2);(3) ；(4) .解：（1）因初等函数在(0,1)处连续，故有（2）（3）（4）。5. 究下列函数的连续性：(1) (2) 解：(1) 所以f(x,y)在(0,0)处连续. (2) 该极限随着k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.6. 下列函数在何处间断？(1) ；(2) .解：(1)z在(x,y)| 处间断. (2)z在(x,y)| 处间断.习题7-31. 求下

7、列函数偏导数：(1) z=x3+3xy+y3； (2) ;(3) ； (4) (5) ； (6) 解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 求下列函数在指定点处的偏导数：(1) f(x,y)=x2xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);(2) ;求(3) ; 求； (4) , 求.解：(1) (2) 因此 (3) 因此所以. (4) 故3设，证明：(1) ;(2) ;(3) .证明：利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：(1) (2) 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：(3) 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：.4. 求下列函数的二阶偏导数,：(1) ； (

8、2) .解：(1) (2) 5. 某水泥厂生产A,B两种标号的水泥，其日产量分别记作x,y(单位：吨)，总成本(单位：元)为C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,求当x=4,y=3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义.解：经济含义:当A,B两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B水泥产量不变，而A水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A水泥产量不变，而B水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。6. 设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为Q=4002p+0.03y.求当p=25,y=5000时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.解：经济含义:

9、 价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品的需求量将增加0.03；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.习题7-41. 求下列函数的全微分：(1) z=4xy3+5x2y6； (2) (3) u=ln(xyz)； (4) 解：(1) 所以 (2) 所以 (3) 所以 (4) 所以 2. 计算函数z=xy在点(3，1)处的全微分.解：所以 3. 求函数z=xy在点(2，3)处，关于x=0.1，y=0.2的全增量与全微分.解：所以4. 计算 (1.04)2.02的近似值.设函数f(x,y)=xy.x=1,y=2,x=0.04,y=0.02.f(1,3)

10、=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得(1.05)3.021+2×0.04+0×0.02=1.08.5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm，内半径为4 cm，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm，求容器外壳体积的近似值.解：解设圆柱的直径和高分别用x，y表示，则其体积为.于是，将所需的混凝土量看作当x+x=8+2×0.1，y+y=20+0.1与x=8，y=20时的两个圆柱体的体积之差V(不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式VdV=

11、fx(x,y)x+fy(x,y)y.又，代入x=8，y=20，x=0.2，y=0.1，得到(m3).因此，大约需要55.264m3的混凝土.习题7-51. 求下列函数的全导数：(1) 设z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求导数；(2) 设z=arctan(uv),而u=3x,v=4x3,求导数;(3) 设z=xy+sint,而x=et,y=cost,求导数解： (1) (2) (3) 2. 求下列函数的偏导数(其中f具有一阶连续偏导数)：(1) 设z=u2vuv2，而u=xsiny,v=xcosy，求和；(2) 设z=(3x2+y2)4x+2y，求和；(3) 设u=f(x,y,z)=

12、ex+2y+3z,z=x2cosy，求和；(4) 设w=f(x，x2y，xy2z)，求,.解：(1)(2) 令.(3) 3. 应用全微分形式的不变性，求函数的全微分.解：令而故4. 已知sinxy2z+ez=0,求和.解：两同时对x求偏导，可得故两边同时对y求偏导，可得故5. 若f的导数存在，验证下列各式：(1) 设u=yf(x2y2)，则；(2) 设，则.证：(1) ,所以.(2) ,所以.6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数)：(1) ；(2) z=ylnx；(3) z=f(xy,x2y2).解：(1)由第3题可知故.(2) 故,.(3) 故7. 求由下列方程所确定的隐函

13、数z=f(x,y)的偏导数：(1) x2+y2+z24z=0；(2) z33xyz=1.解：(1)两边同时对x求偏导得故两边同时对y求偏导得故(2) 两边同时对x求偏导得故两边同时对y求偏导得故习题7-61. 求下列函数的极值：(1) f(x,y)=x2+y36xy+18x39y+16；(2) f(x,y)=3xyx3y3+1.解：(1) 先解方程组得驻点为(-6,1),(6,5).在点(-6，1)处，=AC-B2=2×6-36<0,所以f(-6，1)不是极值；在点(6，5)处，= AC-B2=2×30-36>0，又A>0，所以函数在(6，5)处有极小值f

14、(6，5)=-90.(2) 先解方程组得驻点为(0,0),(1,1).在点(0，0)处，=AC-B2=-9<0,所以f(0，0)不是极值；在点(1，1)处，=AC-B2=27>0,又A<0，所以函数在(1，1)处有极大值f(1，1)=2.2. 求函数f(x,y)=x22xy+2y在矩形区域D=(x,y)|0x3,0y2上的最大值和最小值.解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组得唯一驻点(1,1),且f(1,1)=1.(2) 再求f(x,y)在D的边界上的最值.在边界x =0,上, f(x,y)=2y，因此最大值为f(0,2)=4，最小值为f(0,0)=0；在边界x =3,上

15、, f(x,y)= -4y+9，因此最大值为f(3,0)=9，最小值为f(3,2)=1；在边界y =0,上, f(x,y)= x2，因此最大值为f(3,0)=9，最小值为f(0,0)=0；在边界y =2,上, f(x,y)= x24x+4，因此最大值为f(3,2)=1，最小值为f(2,2)=0；(3) 比较上述得到的函数值，从而得到f(3,0)=9为最大值，f(0,0)=0为最小值.3. 求函数f(x,y)=3x2+3y2x3在区域D:x2+y216上的最小值.解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组得驻点(0,0), (2,0)，且f(0,0)=0， f(2,0)=4.(2) 再求f(x,y

16、)在D的边界上的最值.在边界x2+y2=16上，f(x,y)=48x3, 因此最大值为f(0,4)=48，最小值为f(4,0)=-16；(3) 比较上述得到的函数值，从而得到f(0,4)=48为最大值，f(4,0)=-16为最小值.4. 求下列函数的条件极值：(1) z=xy，x+y=1；(2) u=x2y+2z， x2+y2+z2=1. 解：(1) 作拉格朗日函数L(x,y,)=xy+(x+y1).写出方程组得到,因此，z=xy在处取得最大值.(2) 作拉格朗日函数L(x,y,z,)= x2y+2z +(x2+y2+z21).写出方程组得到,.因此，u=x2y+2z在处取得最小值-3.5.

17、要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？解设长方体的三棱长分别为x，y，z，则问题就是在约束条件xyz=8下求函数S=2(xy+yz+xz)的最大值.构成辅助函数F(x，y，z)= 2(xy+yz+xz)+(xyz8)，解方程组得,这是唯一可能的极值点.因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件，总成本函数为C(x,y)=1000+8x2xy+12y2(元),要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、

18、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？解：问题是在约束条件x+y=42(x>0，y>0)下，函数C(x,y)=1000+8x2xy+12y2(元)的条件极值问题.令由得x=25,y=17.根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为R(x,y)=15+14x+32y8xy2x210y2，(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求

19、最佳广告策略. 解：(1)得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。(2) 问题是在约束条件x+y=2(x>0，y>0)下，函数R(x,y)=15+14x+32y8xy2x210y2的条件极值问题.令由解得x=0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元时，广告策略最佳。由x+y=2，可得y =2-x,代入R得 R(x,y)=-4 x2+6x+39令.因此y=1.25.复习题7（A）1. 设，且已知y=1时，z=x则,. 解：由y=1时，z=x，得令，.2. 设，则 1 , 0 .解

20、：3. 设,则 .解：令而故4. 设,其中f,g具有二阶连续偏导数,则 .解：所以0.5. 若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数存在，则在该点处函数 ( D ) A有极限 B连续C可微 D以上三项都不成立解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC三项不一定正确. 6. 偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的( D ) A充分条件 B必要条件C充要条件 D即非充分也非必要条件解：同5.7. 设函数f(x,y)=1x2+y2,则下列结论正确的是( D ) A点(0,0)是f(x,y)的极小值点 B点(0,0)是f(x,y)

21、的极大值点C点(0,0)不是f(x,y)的驻点 Df(0,0)不是f(x,y)的极值8. 求下列极限：(1) ；(2) .解：(1) 因为所以 (2) =09. 设u=e3xy，而x2+y=t2,xy=t+2,求.解：由x2+y=t2,xy=t+2,可得所以.因此，.令故10. 设z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所确定,求解：两边同时对x求偏导，得.11. 设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足，又,试证.证：则所以.12. 求函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.解：先解方程组得驻点为(0,1).在点(0，1)处,=AC-B2=6×1-0>0,又A>0,所以函数在(0，1)处有极小值f(0，1)=0.（B）1. 设z=ex+f(x2y)，且已知y=0时，z=x2,则 .解：令所以2. 设f(x,y,z)=exyz2，其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则 . 解：故因此.3.