专题提升课二　空间直角坐标系的建系问题

9专题提升课二空间直角坐标系的建系问题运用“坐标法”解答空间几何问题时,往往需要建立空间直角坐标系.依据空间几何体的结构特征,充分利用垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系,是解决问题的基础与关键.一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系【典例1】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D⊥平面ABD;(2)求证:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF与平面ABD的距离.【解析】(1)如图所示,以B1为原点,分别以B1A1,B1C1,B1B所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),Ga2所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2),所以·=0+0+0=0,·=0+4-4=0,所以⊥,⊥,所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.(2)由(1)可得=(-a,0,0),=(0,2,-2),=-a2,0,0,=(0,1,-1),所以=2,=2,所以∥,∥.所以GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD.(3)由(1)(2)知,是平面EGF和平面ABD的法向量.因为平面EGF∥平面ABD,所以点E到平面ABD的距离就是两平面间的距离,设为d.因为=(0,0,3),=(0,2,2),所以d==622+2即两平面间的距离为321.在长方体、正方体中,一般选择共顶点的三条相互垂直的棱为坐标轴建系;2.直棱柱的侧棱垂直于底面,如果在底面上有相互垂直的邻边,也可构造此类建系模型.(2022·抚州高二检测)如图,在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.(1)证明:平面EA1C⊥平面DA1C;(2)求平面DEF与平面DBF所成二面角的大小.【解析】(1)据题意,建立如图所示的坐标系.于是D(0,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),E(2,1,0),F(1,1,1),所以=(-1,0,1),=(2,0,2),=(0,2,0),·=-1×2+0×0+1×2=0,所以⊥,即EF⊥DA1;·=-1×0+0×2+1×0=0,所以⊥,即EF⊥DC.又因为DA1,DC⊂平面DCA1,且DA1∩DC=D,所以EF⊥平面A1CD.又因为EF⊂平面EA1C,所以平面EA1C⊥平面DA1C.(2)由题知D(0,0,0),F(1,1,1),E(2,1,0),B(2,2,0),所以=(1,1,1),=(-1,0,1),=(2,2,0),设平面DEF的法向量为n1=(x1,y1,z1),则,不妨取n1=(1,-2,1),设平面DBF的法向量为n2=(x2,y2,z2),则,不妨取n2=(1,-1,0),则cos<n1,n2>=n1·n2|n1||n2|二、利用正棱锥的中心与高所在直线建系【典例2】(2022·泰州高二检测)如图,在正四棱锥P-ABCD中,AC,BD交于点O,AB=2,OP=1.(1)求二面角C-AP-B的大小;(2)在线段AD上是否存在一点Q,使得PQ与平面APB所成角的正弦值为26?若存在,指出点Q的位置;若不存在,说明理由【解析】(1)由题意得PO⊥平面ABCD,且AC⊥BD,以O为原点,分别以,,为x,y,z轴正方向建系,如图所示,所以A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,1),所以=(-2,0,1),=(-2,2,0),=(0,-22,0),设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则,即-2x令x=1,可得y=1,z=2,所以n=(1,1,2),因为PO⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PO⊥BD,又因为AC⊥BD,AC∩PO=O,AC,PO⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,所以为平面PAC的一个法向量,所以cos<n,>==-12,又<n,>∈[0,π],由图可得二面角C-AP-B为锐二面角,所以二面角C-AP-B的大小为π3(2)假设线段AD上存在一点Q满足题意,设Q(m,n,0),因为=λ(λ∈[0,1]),所以(m-2,n,0)=λ(-2,-2,0),解得m=2-2λ,n=-2λ,所以Q(2-2λ,-2λ,0),则=(2-2λ,-2λ,-1),因为平面PAB的一个法向量为n=(1,1,2),设PQ与平面APB所成角为θ,所以sinθ=|cos<,n>|==|2-2λ-2λ-2(2-2λ)2+(-2λ)2+1·1+1+2|=26,解得λ=14或正棱锥底面中心与顶点的连线与底面垂直,建系时常作z轴.(2022·台州高二检测)如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,AB=4,∠BAD=60°,PO⊥底面ABCD,M为BC上一点,且BM=1,MP⊥AP.(1)求PO的长;(2)求二面角A-PM-B的余弦值.【解析】(1)如图,连接AC,BD,AC∩BD=O,连接PO,因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,又PO⊥底面ABCD,所以以O为原点,OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,因为∠BAD=π3所以OA=AB·cosπ6=23OB=AB·sinπ6所以O(0,0,0),A(23,0,0),B(0,2,0),C(-23,0,0),=(0,2,0),=(-23,-2,0),由BM=1,BC=4,得=14=(-32,-12,0),所以=+=(-32,32,0),即M(-32,32设P(0,0,a),a>0,则=(-23,0,a),=(32,-32,a),因为MP⊥AP,所以·=0,即-3+a2=0,解得a=3,a=-3(舍去),所以PO=3.(2)由(1)知=(-23,0,3),=(32,-32,3),=(0,-2,3),设平面APM的法向量为n=(x,y,z),则,取x=1,得n=(1,53设平面PMB的法向量为m=(a,b,c),则,取a=1,得m=(1,-3,-2),设二面角A-PM-B的平面角为θ,由图得θ为锐角,则cosθ=|n·m||n||m|=88×三、利用线面、面面的垂直关系建系【典例3】如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=2.若点Q在棱BC上,且PC与平面PAQ所成角的正弦值为34,求二面角Q-AP-B的平面角的余弦值【解析】如图,建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),则=(0,1,-3),=(-1,1,0),=(0,-1,-3),=(1,1,0),令=λ=(-λ,λ,0),λ∈[0,1],则=+=(1-λ,1+λ,0),设平面PAQ的法向量为n=(x,y,z),则取n=(λ+1λ-1,1,-33),设直线PC与平面PAQ所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|==2解得λ=13或λ故n=(λ+1λ-1,1,-设平面PAB的法向量为m=(x0,y0,z0),所以,取m=(3,-3,1),记二面角Q-AP-B的平面角为α,所以cosα=|m·n1.已知条件中的线面、面面垂直关系是建系的依据;2.如果题目中没有明显的垂直关系,可先根据已知条件,设法证明线面、面面垂直,进而为建系做准备.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.(1)求证:平面BAE⊥平面A1BD;(2)求平面DBA1和平面BAA1夹角的余弦值;(3)在线段B1B(含端点)上是否存在点M,使点M到平面A1BD的距离为255【解析】取A1C1的中点O,连接B1O,OD,则OB1⊥A1C1,OD∥AA1,又AA1⊥平面ABC,所以OD⊥平面ABC,所以OA1,OD,OB1两两垂直.如图,以O为原点,OA1,OD,OB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,2,0),B(0,2,3),D(0,2,0),A1(1,0,0),E(-1,1,0).(1)=(-1,2,0),=(-1,2,3),=(1,0,-3),=(-1,-1,-3),=(0,2,0).设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别为平面A1BD和平面BAE的法向量,由·n1=0,·n1=0得-x1令y1=1,则x1=2,z1=0.所以n1=(2,1,0)是平面A1BD的一个法向量.由·n2=0,·n2=0得x令z2=1,则x2=3,y2=-23.所以n2=(3,-23,1)是平面BAE的一个法向量.所以n1·n2=2×3-23+0=0.所以平面BAE⊥平面A1BD.(2)设平面A1AB的法向量为m=(x,y,z).由·m=0,·m=0得2y=0令z=1,则x=3,y=0,所以m=(3,0,1)是平面A1AB的一个法向量.设平面DB