第一章 阶段复习课

9第一章阶段复习课题组一空间向量的运算1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),则12b-2a=________【解析】12b-2a=12(-4,-3,-2)-2(2,3,-4)=(-6,-15答案:(-6,-1522.已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),a∥b,b⊥c.(1)求向量a,b,c;(2)求a+c与b+c所成角的余弦值.【解析】(1)因为向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c,所以x1=所以向量a=(-1,1,2),b=(1,-1,-2),c=(3,1,1).(2)因为a+c=(2,2,3),b+c=(4,0,-1),所以(a+c)·(b+c)=2×4+2×0+3×(-1)=5,|a+c|=22+2|b+c|=42+0所以a+c与b+c所成角的余弦值为(a+c1.空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的.2.向量的数量积运算的性质是解决空间线段长度与夹角大小的依据.题组二空间的平行与垂直问题1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,A1D1的中点,则直线MN与平面BB1D1D的位置关系为________.

【解析】设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),D1(0,0,1),D(0,0,0),M1,12,所以=-12,-12,设平面BB1D1D的法向量为n=(x,y,z),则即x+y=0,z=0,所以n=(1,-1,0)是平面BB1D1D的一个法向量.因为·n=0,MN⊄平面BB1D1D,所以MN∥平面BB1D1D.答案:平行2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E,F分别为线段A1C1,AB,A1A的中点,A1A=AC=BC,∠ACB=90°.求证:(1)DE∥平面BCC1B1;(2)EF⊥平面B1CE.【证明】如图,建立空间直角坐标系,设A1A=AC=BC=2,则A(2,0,0),C(0,0,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2),D(1,0,2),E(1,1,0),F(2,0,1),所以=(2,0,0),=(0,1,-2),=(1,-1,1),=(0,2,2),=(-1,1,2).(1)显然,是平面BCC1B1的一个法向量,因为·=0,所以⊥.因为DE⊄平面BCC1B1,所以DE∥平面BCC1B1.(2)设平面B1CE的法向量为n=(x,y,z),则令z=-1,则y=1,x=-1,即n=(-1,1,-1),显然∥n,所以EF⊥平面B1CE.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线线垂直:证明两直线的方向向量垂直.(3)线面平行:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;③证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示.(4)线面垂直:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.(5)面面平行:①证明两个平面的法向量共线;②转化为线面平行、线线平行问题.(6)面面垂直:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题.题组三空间距离问题1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,则平面A1BC1与平面ACD1的距离是________.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A(3,0,0),A1(3,0,2),B(3,4,0),C1(0,4,2),所以=(-3,4,0),=(0,4,-2).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则得-3x+4y得n=(43,1,2).又=(0,0,2),所以点A到平面A1BC1的距离d==4619=12易知平面A1BC1∥平面ACD1,所以两平面之间的距离为1261答案:122.如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB=2,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(2)求点A到CE的距离;(3)求直线CE到平面PAB的距离.【解析】(1)取PA的中点M,连接BM,EM,因为E为PD的中点,所以EM∥AD∥BC,EM=12AD=BC所以四边形BCEM为平行四边形,所以CE∥BM,因为CE⊄平面PAB,BM⊂平面PAB,所以CE∥平面PAB;(2)取AD的中点N,连接BN,PN,易得四边形BCDN为正方形,所以BN=CD=1.因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,所以PN⊥AD,PN=12AD因为BN⊥AD,PN∩BN=N,PN,BN⊂平面PNB,所以AD⊥平面PNB.因为BC∥AD,所以BC⊥平面PNB.因为BC⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PNB.以B为原点,BC,BN所在直线分别为x,y轴,在平面PNB内,作Bz⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(-1,1,0),D(1,1,0),C(1,0,0).因为BC⊥平面PNB,所以BC⊥PB.在Rt△PBC中,PB=PC2-BC因为BN=PN=1,所以∠PNB=120°,所以P(0,32,32),E(12,5所以=(2,-1,0),=(-12,54,34故·=2×(-12)-1×54+0×34=-9故点A到CE的距离d==1588;(3)由(1)知CE∥平面PAB,所以点E到平面PAB的距离即为所求.由(2)知=(0,32,32),=(-1,1,0),=(12,54,3设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则即32令x=1,则y=1,z=-3,所以n=(1,1,-3),所以点E到平面PAB的距离l==|12+54-故直线CE到平面PAB的距离为551.向量法求点到平面的距离,一般转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度问题.2.求直线到平面、平面到平面的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以易于求解为准则.题组四空间角问题1.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为33,M,N分别是AC,BC的中点,求EM,AN所成角的余弦值【解析】如图所示,过点C作CO⊥平面ABDE,垂足为O,取AB的中点F,连接CF,OF,OA,OB,则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角,所以cos∠CFO=33设AB=1,则CF=32,OF=12,OC=所以O为正方形ABDE的中心.如图建立空间直角坐标系,则E(0,-22,0),A(22,0,0),M(24,0,24),N(0,所以=(24,22,24),=(-22,24所以cos<,>==16.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥DC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(3)若F为棱PC上一点,且满足BF⊥AC,求平面FAB与平面ABP夹角的余弦值.【解析】(1)以点A为原点建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1),所以=(0,1,1),=(2,0,0),因为·=0,所以BE⊥DC;(2)易知=(-1,2,0),=(1,0,-2).设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,则即-x令y=1,得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量,所以cos<n,>==26×2=3所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33(3)易知=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).由点F在棱PC上,设=λ,0≤λ≤1,故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF⊥AC得·=0,因此2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=34,即=(-12,12,设n1=(x1,y1,z1)为平面FAB的法向量,则即x1令z1=1,得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.易知平面ABP的一个法向量为n2=(0,1,0),则cos<n1,n2>=n1·n2|所以平面FAB与平面ABP夹角的余弦值为310