基本不等式（第1课时）导学案

2.2基本不等式（第1课时）导学案【学习目标】1.掌握基本不等式及其结构特点.2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题【自主学习】一．重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b22ab，当且仅当时，等号成立．【答案】≥a＝b二．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，把eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当时，等号成立．【答案】a＝b三．最值定理已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq\f(S2,4).(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq\r(p).上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．解读：基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.思考1：不等式a2＋b2≥2ab与eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)成立的条件相同吗？如果不同各是什么？【答案】不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)成立的条件是a，b均为正实数。思考2：a＋eq\f(1,a)≥2(a≠0)是否恒成立？【答案】只有a>0时，a＋eq\f(1,a)≥2，当a<0时，a＋eq\f(1,a)≤－2【当堂达标基础练】x>0,求x+解：因为x>0，所以x+1当且仅当x=1x，即x2=1x，(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2p(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值1证明：因为x，y都是正数，所以x+y2（1）当积xy等于定值P时，x+y2?当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2P（2）当和x+y等于定值S时，xy?当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值147.已知直角三角形的面积等于50cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小?最小值是多少?【当堂达标提升练】8．利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：【详解】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号），即.9．已知，求证.【详解】∵，①，②，③①+②+③得；.∴(当且仅当等号成立).10．证明：（1）；（2）.【详解】（1），当且仅当时，即时，等号成立.（2），当且仅当时取等号，此时，显然的值不存在，所以等号不成立，所以.11.已知，，若，求的最小值．【答案】．【详解】因为，，所以，．又，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．12.（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．【答案】（1）9；（2）．【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9．（2）因为，所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．【当堂达标素养练】13．（多选）（2023秋·河北石家庄·高一统考期末）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（

）A．xy的最大值为1 B．的最大值为2C．的最小值为 D．的最小值为1【答案】ABD【详解】对于A，因为，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以xy的最大值为1，故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为2，故B正确；对于C，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D，令，，则，，，，所以，当且仅当且，即，即时，等号成立，所以的最小值为1，故D正确.故选：ABD.14．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）已知，若，则的最小值是.【答案】【详解】设，由对应系数相等得，得所以整理得即所以.经验证当时，等号可取到.15．（2023秋·山东枣庄·高一统考期末）已知且，则的最小值为.【答案】【详解】解：令，，因为，所以，则，，所以,所以，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.16．若，，，则当______时，取得最小值．【答案】【详解】解：因为，，所以，即．当时，，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值；当时，，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．综上所述，当时，取得最小值．17．（2023春·江西九江·高一校考期中）（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；【答案】（1）；（2）1；（