空间向量运算的坐标表示（导学案）原卷版高二数学系列（人教A版2019选择性）

空间向量运算的坐标表示导学案学习目标1.掌握空间向量的坐标运算；2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；3.掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；4.会应用这些知识解决简单的立体几何问题.重点难点重点利用空间向量的运算证明解决空间中直线、平面的平行与垂直问题；利用空间向量的运算求两点间的距离.难点1.利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角2.运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题课前预习自主梳理知识点一空间向量的坐标运算设则有向量运算向量表示坐标表示加法减法数乘，数量积由表可知空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．例如，一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．知识点二空间向量的平行、垂直、模及夹角设,则有当时,;;;.知识点三空间两点间的距离公式设是空间中任意两点,则.自主检测1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)若,则()(2)四边形是平行四边形,则向量与的坐标相同.．()(3)对于空间任意两个向量,若与共线,则.()(4)设,若,则.()2.已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．3.向量，若，则（

）A． B． C．4 D．54.下列关于空间向量的命题中，错误的是（）A．若非零向量，，满足，，则有B．任意向量，，满足C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面D．已知向量，，若，则为锐角新课导学学习探究（一）新知导入环节一：创设情境，引入课题探究问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？知识点1空间向量及其运算的坐标表示设，，与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：环节二：观察分析，感知概念下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示．其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成．设为空间的一个单位正交基底，则环节三：抽象概括，形成概念由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．例如，我们有：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：知识点2：空间向量共线或平行的判定当时，（）；；知识点3.空间向量的模；知识点4.空间向量的夹角公式．环节四：辨析理解，深化概念知识点5.空间两点之间的距离公式探究问题2：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？如图建立空间直角坐标系，设，是空间中任意两点，则．于是所以．这就是空间两点间的距离公式．将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单．:环节五：课堂练习，巩固运用例2如图，在正方体中，，分别是，的中点．求证．分析：要证明，只要证明，即证．我们只要用坐标表示，，并进行数量积即可．证明垂直和利用空间向量的坐标运算求夹角的问题，并通过向量及其坐标的运算求解问题.证明：问题3：你能从本题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？例3如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．（1）求的长．（2）求与所成角的余弦值．分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点，的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果．根据条件建立适当的空间直角坐标系,用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题.解：（1）（2）环节六归纳总结，反思提升基本知识:空间向量运算的坐标表示空间向量的长度公式与空间两点间的距离公式;求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的空间直角坐标系中找到两个向量的坐标,然后用公式计算思想方法用向量计算或证明几何问题时,可以先建立空间直角坐标系,然后把向量点坐标化,借助空间向量运算的坐标表示进行计算或证明.环节七：目标检测，作业布置教材第2122页,练习第15题,习题1.3第35题备用练习1.已知，，则与的夹角为（