数学物理方法快速学习资料与练习题

现代远程教育《数学物理方法》课程学习指导书作者：赵先林08年2月课程学习方法指导为便于学员赶快进入本课程的学习，下边将简要介绍本课程的性质及基本要求，并给出学习方法指导。一、课程的性质、目的和任务经过本课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特别函数的基本理论、建模方法和计算方法，并能将数学结果联系物理实质，加深对物理理论的理解，为学习电动力学和量子力学等后继课程打下优秀的基础。二、课程教课的基本要求经过本课程的教课,学员应达到以下基本要求:1.掌握复变函数论的基本理论、微分和积分的方法、认识残数及其在积分中的应用掌握弦振动方程、热传导方程、电报方程的建模过程初步学会确立界限条件和初始条件娴熟掌握分别变量法、达朗贝尔法、付里叶变换法和拉普拉斯变换法认识特别函数的导出和意义三、学习方法建议学习本课程最基本的方法是课前预习，课后复习，多做习题。针对课前预习时存在的问题，经过上课时认真的学习，并试试运用上课时所学内容解决这些问题，或许经过课外指导书，认真研究书中例题，在此过程中搞懂、会做课后习题，进而对课程内容有进一步认识。别的，每章结束后，做好阶段性总结。还要拟订学习计划，擅长自主学习。学习中，既重视知识的记忆，也重视对知识的反省。别的，为方便大家自主学习，现将教材及参照书排列以下：（一）教材：《高等数学》（第四册）．四川大学．高等教育第一版社（二）参照书：1、《数学物理方法》，梁昆淼，高等教育第一版社，第三版2、《数学物理方法教程》，刘志旺，高等教育第一版社3、《数学物理方法学习指导》，姚正直，科学第一版社希望各位学员擅长这些教参书，能获得一个优秀的成绩。课程学习进度安排周次学习内容日期（章节名称、学习的内容纲要）第一周第一章复数与复变函数第二周第二章分析函数第三周第三章哥西定理哥西积分第周围第四章分析函数的幂级数表示函数项级数的基天性质幂级数与分析函数罗朗级数第五周第四章分析函数的幂级数表示单值函数的孤立奇点第六周第五章残数及其应用残数利用残数计算实积分第七周1-5章复习课第八周第七章一维颠簸方程的付氏解第九周第八章热传导方程的付氏解第十周第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十一周第十章颠簸方程的达朗贝尔解第十二周第十三章付里叶变换第十三周第十四章拉普拉斯变换第十周围7-14章复习课第十五周第十五章勒让德多项式球函勒让德微分方程及勒让德多项式勒让德多项式的母函数及其递推公式按勒让德多项式睁开第十六周第十五章勒让德多项式球函数连带勒让德多项式拉普拉斯方程在球形地区上的狄利克雷问题第十七周第十六章贝塞耳函数柱函数第十八周15-16章复习课及总复习课课程学习课时分派章次教课内容学时备注第一章复数与复变函数4第二章分析函数4第三章哥西定理哥西积分4第四章分析函数的幂级数表示8第五章残数及其应用4第七章一维颠簸方程的付氏解4第八章热传导方程的付氏解4第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解4第十章颠簸方程的达朗贝尔解4第十三章付里叶变换4第十四章拉普拉斯变换4第十五章勒让德多项式球函数8第十六章贝塞耳函数柱函数4第一章复数和复变函数一、章节学习目标娴熟掌握复数的运算。掌握复数的几种表示法及交换关系，能正确地求出复数的实部、虚部、模与辐角，认识共轭复数的性质。理解复数的几何意义。认识各样地区。理解复函的极限与连续。知道复函极限存在与连续的充要条件。二、章节重点本部分学习的主要内容包含复数、复变函数的基本观点、复球面与无量远点三个部分。掌握复数的几种表示方法。分别为以下三种：1.复数的代数表示；2.复数的几何表示；3.复数的指数表示。此中复数的几何表示与指数表示能够使相关复数的运算简化，进而达到能够正确解题的要求。比如计算复数的乘幂及复数的方根时，运用复数的几何表示和指数表示就能迅速计算出结果。对复数的运算规则也需掌握，需明的确数中的运算规则在复数中相同是合用的。本部分学习的主要内容还包含复变函数的基本观点。此中所波及复变函数的极限与连续问题，是第一要认识的。对于复函的极限制义与连续定义需要知道。并且需要知道复变函数极限存在与连续的充要条件，即函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点z0x0iy0连续的充分必需条件是二元实函数u(x,y),v(x,y)于(x0,y0)连续。这是本章的重中之重，必定要掌握它的定义、定理以及应用，对这一部分书籍上的例题要会计算。三、章节考试纲领第一节复数复数域复平面复数的模与幅角复数的乘幂与方根第二节地区与约当曲线复变函数的观点复变函数的极限与连续性第三节复球面闭平面上的几个观点四、章节练习题（一）选择题1.z为复数，则（）。Alnz没存心义；Blnz为周期函数；CLnz为周期函数；Dln(z)lnz。2．由对数函数的定义有（）。（二）填空题1.复数1i的幅角为

，模为

。w

z2．函数

R，将

z平面的图形；以原点为中心，

R为半径的圆，变成

w平面的图形为。第二章分析函数一、章节学习目标理解复函的导数的观点、分析函数的观点。掌握复变函数分析的充要条件，并能应用函数分析的充要条件鉴别函数的分析性和可导性。认识分析函数与调解函数的关系；掌握从已知调解函数求出分析函数的方法。4认识指数函数、对数函数、三角函数、幂函数的定义和性质.二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含分析函数的观点及哥西－黎曼条件、分析函数与调解函数的关系、初等分析函数三个部分。知道分析函数的观点，并且要深入掌握哥西－黎曼条件，哥西－黎曼条件是本章内容的重要部分。uv,uv.哥西－黎曼条件为以下公式xyyx，记为C－R条件。知道C－R条件后，对函数可微的充分必需条件能更进一步认识。即函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点z0x0iy0可微的充分必需条件是二元实函数u(x,y),v(x,y)于(x0,y0)可微并知足C－R条件。这是本章的重点，要掌握它的定义、定理以及应用。掌握分析函数和调解函数之间的关系。知道任何一个在地区D上分析的函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，其实部与虚部都是该地区上的调解函数。即知足条件2u2u2v2v，。对已知实虚部，再求解函数的习题，或已知函数，务实虚部的题要掌x2y20x2y20握，要学会计算。对于初等分析函数部分，一些基本的分析函数，如幂函数zn，指数函数ez，三角函数sinz,cosz,L双曲函数sinhz,coshz,L，等等。它们都能够当作是相应实变函数在复数域中的推行。要掌握·怎样将相应实变函数推行到复数域·这些函数的分析性·这些函数作为复变函数所独有的性质并且掌握初等多值函数的计算。三、章节考试纲领第一节导数的定义哥西－黎曼条件分析函数的定义第二节共厄调解函数的求法共厄调解函数的几何意义第三节初等单值函数初等多值函数四、章节练习题（一）计算题1.已知u3x2yy3,f(i)1，求分析函数f(z)uiv。2.设z1，规定0arg(z1)2，求(2),(i),(0),(i)。第三章哥西定理哥西积分一、章节学习目标掌握复变函数积分的定义、基天性质及计算方法。?ldz2i,n1zan0,n12.记着并能娴熟地运用公式。坚固地掌握哥西定理及其推行定理。4．掌握哥西积分公式及其推行定理。5．掌握分析函数的随意阶导数的存在性。6．娴熟地运用哥西积分公式和柯西导数公式计算复变函数的围道积分。7．分析函数在平面场中的应用。二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含复变积分的观点及其简单性质、哥西积分及其推行、哥西积分公式及其推行、分析函数再平面场中的应用四个方面。会计算一般的积分，并且要掌握哥西积分定理，知道哥西定理的使用条件和范围。若函数fz在单连通地区D上分析，C是D内的随意一条分段圆滑的围线，则cfzdz0。?在运用哥西定理解题的时候，要分清积分路径所包含的范围，注意函数fz在地区D内能否分析。只有当知足全部条件时，才能运用哥西定理。对于哥西定理的推行这一部分的内容是相同的运用原理。dz2i,n1lzan0,n1别的，书籍上例题5也是很重要的内容，经过此例题的结论?也可求积分的值，是很重要的结论。所以需要将此结论深入理解并记着，并将书上例题掌握。1f()d能够改写成f(z)dz2if(a)f(z)cza对于哥西积分公式这个公式表示，对于2icz在某界闭域上分析的函数，它在地区内一点的值可用它在界限上的值表示出来。这是分析函数的一个基天性质。借用此公式能够计算某些围线积分。对分析函数在平面场中的应用部分需要掌握复位势的定义观点，并会计算例题。三、章节考试纲领第一节哥西积分的定义及其计算方法复变积分的简单性质第二节哥西积分定理不定积分哥西积分定理推行到复围线的情况第三节哥西积分公式分析函数的无穷次可微性模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节什么叫平面场复位势举例四、章节练习题（一）选择题1．以下积分不为零的是（）。1dz1dzAz0.5z；Bz0.5z2；1dz1dzzz2C0.5z；Dz1。（二）填空题dz1.z1z5。（三）计算题1.计算积分Rezdz，此中积分路径如右图示，c（1）C为连接O点到1i点的直线段（2）C为连接O点到1点再到1i点的折线cosxex0dx.2.计算x3.计算积分Idz，此处C是z2。cz21第四章分析函数的幂级数表示一、章节学习目标1.认识在复数范围内级数及级数的收敛、发散、绝对收敛、一致收敛及相关性质，会使用收敛判据。正确确立幂级数的收敛半径，并认识幂级数的性质。掌握泰勒级数与分析函数的关系及泰勒睁开的方法。掌握罗朗级数与奇点存在的关系。罗朗级数睁开的方法。理解其收敛半径与孤立奇点的关系。孤立奇点的种类。精准地判断孤立奇点的种类，掌握其特色。二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含函数项级数的基天性质、幂级数与分析函数、罗朗级数、单值函数的孤立奇点四个方面。认识幂级数与分析函数的关系，知道分析函数能够表示成幂级数。依据分析函数的分析范围，有两种睁开方法可将分析函数表示成幂级数。(一)泰勒定理设fz在地区D内分析,aD，只需圆K:zaR含于D内，则fz在K内能展成幂级f(z)cn(za)ncnf(n)(a),n0,1,2,L,数n0，此中系数n!并且展式是独一的，此展式称为是fz在a点的泰勒展式，这样确立的系数称为泰勒系数。可经过上述定理将一个分析函数睁开成幂级数。泰勒睁开总结：1、泰勒级数在分析圆域内进行睁开。2、睁开式是独一的，可用各样方法睁开。3、睁开式在其可展地区内是收敛的。（二）罗朗定理在圆环H:rzaR(r0,R)内的分析函数fz必可展成级数f(z)cn(za)ncn1f()d,n0,1,2,Ln此中2i(a)n1称为罗朗系数,右侧的级数称为罗朗级数。为圆周arR，并且展式是独一的,即fz及圆环H唯一地决定了系数cn。罗朗级数睁开总结1、罗朗级数在孤立奇点的一个环域内进行睁开。2、睁开式是独一的，可用各样方法睁开。3、睁开式在其可展地区内是收敛的。4、睁开式一般是一个双边级数。上述两种方法都能够将分析函数睁开为幂级数，可是有所差别，要理解二者之间的差别。能正确地判断孤立奇点的种类，掌握其特色。三、章节考试纲领第一节数项级数一致收敛的函数项级数第二节幂级数的敛散性分析函数的幂级数表示第三节双边幂级数的收敛圆环分析函数的罗朗展式第四节孤立奇点的三种种类可去奇点极点天性奇点

罗朗展式举例分析函数在无量远点的性质四、章节练习题（一）填空题ezzn1.n0n!的收敛区间为。fcosz2.就奇点的种类而言，zz是函数z的奇点。resf。1(1)nzn3.1zn0的收敛区间。（二）计算题将z216在z2上展成罗朗级数；1.5z2.将函数f(z)11（2）1z2内展成罗朗级数。(z在（1）z1)(z2)第五章残数及其应用一、章节学习目标理解残数的观点，掌握残数的计算的方法。掌握残数定理，并能正确应用于计算复变函数的围道积分。认识无量远点的残数的性质和定理。掌握利用残数计算实积分的一般方法，学会依据实质状况适合的选择协助函数和积分围道来计算实定积分。二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含残数、利用残数计算实积分两个方面。对残数的观点要理解，知道残数定理的详细内容，并能掌握残数的计算方法。设fz以有限点a为孤立奇点，则在a点的某没心领域内能够展成罗朗级数f(z)n,0zaR.1cn(za)za的系数c1为fz在a点的残数(或n我们称此展式中Resf(z)1f(z)dz1f(z)dzc1i2i作为残数的定义。利用残数留数)，记为za2c故也可将c的定义能够直接求解残数。设fz在围线C所包围的地区D上除点a1,a2,L,an外分析，并且在C上每一点也分析，则ncf(z)dz2iResf(z)k1zak。此即为残数定理，利用残数定理，能够求解一些难计算的积分。认识无量远点的残数的性质和定理，知道无量远点也可看作式函数的孤立奇点，依据孤立奇点的性质来判断无量远点的残数的性质和定理。掌握利用残数计算实积分的一般方法，学会依据实质状况适合的选择协助函数和积分围道来计算实定积分。三、章节考试纲领第一节残数的性质和残数定理残数的求法无量远点的残数2Rcos,sindf(x)dx的计算第二节0的计算实轴上有奇点的种类其余例子四、章节练习题（一）填空题Resez1.z0z2。12ez22.函数z1在z1处的残数为。fz1zz12resf03.函数在z0,1,处的留数分别为，resf1，resf（二）计算题2d1.计算03cos；Isinxdx2.x24x计算5；第七章一维颠簸方程的付氏解一、章节学习目标掌握用数理方程描述研究物理问题的一般步骤。掌握一维颠簸方程的推导和成立方程的一般方法。能正确写出颠簸方程的定解问题和定解条件。掌握利用分别变量法求解齐次定解问题。掌握利用付里叶解法求解齐次定解问题。能够得出非齐次方程的解。二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含一维颠簸方程――弦振动方程的成立、齐次方程混淆问题的付里叶解法、逼迫振动非齐次方程的求解三个方面。对一维颠簸方程的成立这一部分，需要掌握用数理方程描述研究物理问题的一般步骤。一般有以下四个步骤：实例弦的数学物理模型振动方程的成立定解条件的提出利用上边四个步骤即可依据实例导出一维颠簸方程。能正确写出颠簸方程的定解问题和定解条件。对于一个实质问题，不单要学会怎样由现象看到本质，列出方程，并且还要依据实例中的条件，写出颠簸方程的定解问题和定解条件。掌握分别变量法的步骤，并利用分别变量法求解齐次及非齐次方程的定解问题。分别变量法分为以下四个步骤：（一）分别变量（二）求解对于X(x)的特色值，再解T(t)，而后利用叠加原理作无量级数Tn(t)Xn(x)k0（三）由初始条件确立上述无量级数的待定系数三、章节考试纲领第一节、弦振动方程的成立定解条件的提出第二节、利用分别变量法求解齐次弦振动方程的混淆问题付氏解的物理意义四、章节练习题（一）选择题1.以下方程是颠簸方程的是（）。Autta2uxxf；Buta2uxxf；Cuta2uxx；Dutta2ux。2.用分别变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是（）。A分别变量解单变量本征值问题得单变量解得分别变量解；B分别变量得单变量解解单变量本征值问题得分别变量解；C解单变量本征值问题得单变量解分别变量得分别变量解；D解单变量本征值问题分别变量得单变量解得分别变量解。utta2uxx(-x,t0)3.定解问题ux,00,utx,01的解为（）。4.2．弹性杆原长为l，一端固定，另一端被拉离均衡地点b而静止，松手任其振动，将其平衡地点选在x轴上，则其定解条件可写作以下三种状况的哪一种（）。A．Ux00，Ut0lb;Ux00,UxllbB.Ut00,Utt0(x);Ux00,Uxxl0UtbUtt0;C.0x,0l（二）填空题1.一维颠簸方程的齐次界限条件为。2.颠簸方程的付里叶解中频次最低的项称为，振动最强的地点称为。y''y0y(0)03.本征方程y(a)0的本征值为。（三）计算题utta2uxxu(0,t)0,u(l,t)0(t0)(,)sinx,(,)sinx(0xl)1.ux0tl求解定解解问题l2.29．长为l两头固定的弦，弦中张力为T。在xx0处遇到一横向力F作用后开始振动，求解该振动问题。第八章热传导方程的付氏解一、章节学习目标能成立热传导方程理解其初始条件与界限条件求混淆问题的付氏解初值问题的付氏解法一端由界的热传导问题二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含热传导方程和扩散方程的成立、混淆问题的付里叶解法、初值问题的付氏解法、一端有界的热传导问题四个方面。能够由实例成立热传导方程。能理解其初始条件与界限条件。复惯用分别变量法解混淆问题认识热传导方程的初值问题以及掌握其付氏解法。uta2uxxx,t0对于无界限热传导方程的初值问题：ux,0xx，此中x为一已知函数。假如方程描述一个热传导方程，则此初值问题表示：已知一个无穷长的细杆在初始时刻的温度散布，而求其此后的温度散布。掌握分别变量法求解定解问题。对一端有界的热传导问题需要会解其定解问题。三、章节考试纲领第一节、热传导方程的成立扩散方程的成立定解条件第二节、混淆问题的付氏解法第三节、付氏积分利用付氏积分解热传导方程的初值问题付氏解的物理意义第四节、定解问题的解举例四、章节练习题（一）填空题热传导方程的齐次初值条件为。第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解一、章节学习目标1.二维拉氏方程直角坐标与极坐标之间的关系.理解其狄利克雷问题.求狄利克雷问题的付氏解理解函数的定义.掌握函数的性质.证明弱收敛序列的弱极限二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含圆的狄利克雷问题、函数两个方面。知道二维拉氏方程直角坐标与极坐标之间的关系。二维的拉普拉斯方程在直角坐标下的表示为uxxuyy0，在极坐标下的表示为urr1ur1u0rr2，依据上两式可知二维拉氏方程的两种不同表示之间的关系。urr110rl,02urr2u0r理解其狄利克雷问题。对边值问题ul,f02此中f为已知函数，并有f2f。上述边值问题，习惯上称为圆的狄利克雷问题。求狄利克雷问题的付氏解。仍旧是用分别变量法进行，要注意与前面分别变量法的不一样。理解函数的定义，掌握函数的性质。函数是指拥有以下性质的函数:0,x0x0。（1）.,x（2）.xdx1。1x（3）.函数的量纲x。知道什么是弱收敛序列的弱极限，并且会证明。三、章节考试纲领第一节、定解问题的提法定解问题的付氏解法第二节、函数的引入函数的性质把函数看作是弱收敛序列的弱极限高维空间中的函数及函数的其余性质四、章节练习题（一）选择题1.二维拉普拉斯方程的定解问题是（）。A哥西问题；B狄拉克问题；C混淆问题；D狄里克雷问题。(x)f(n,x)dxna2.一函数序列的序参量n趋于某值a时有（）。

(x)f(x)dx则我们称Af(n,x)收敛于f(x)；Bf(n,x)绝对收敛于f(x)；Cf(n,x)弱收敛于f(x)；Df(n,x)条件收敛于f(x)。3.以下函数f(x)不是函数的是（）（二）填空题写出三维直坐标下的拉普拉斯方程。（三）计算题12a2x弱(x)a4x41.证明a0；u1u12u0(0a,02)2.求解定解解问题u(a,)Asin第十章颠簸方程的达朗贝尔解一、章节学习目标会导出并记着颠簸方程的通解。掌握达朗贝尔公式的应用理解达氏解的意义.认识三维颠簸方程的初值条件及其泊松公式.二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法、高维颠簸方程两个方面。会导出并记着颠簸方程的通解。xatxat1ux,t22a掌握达朗贝尔公式的应用。这个式子称为达朗贝尔公式或许达朗贝尔解，简称达氏解。达朗贝尔解法的思路简单理解，先求出通解，而后从中精选特解。

xatdxat理解达氏解的意义.自由弦振动方程的解,总能够写成ux,tf1xatf2xat的形式.方程的解表示成f1xat的形式时,振动的波形是以常速度a向右流传,f1xat所描述的振动规律,称为右流传规律或正形波。相同f2xat所描述的振动规律,称为左流传波或逆行波。认识三维颠簸方程的初值条件及其泊松公式.三维颠簸方程的初值问题：此中x,y,z,x,y,z为已知函数。uM,tux,y,z,t其泊松公式为三、章节考试纲领

t2,,ds12,,ds220220t4at04at0t2,,dt2,,dt400400第一节、达朗贝尔解的推出达朗贝尔解的物理意义举例依靠区间决定地区和影响地区第二节、三维颠簸方程的初值问题降维法四、章节练习题（一）计算题utta2uxxx,t0ux,0sinxx1.求解utx,0x2x。uxx2uxy3uyy0ux,0sinxuyx,0x2．求解第十三章付里叶变换一、章节学习目标理解付氏变换的意义能求其付里叶变换理解函数的付里叶变换掌握付里叶变换的应用认识基本解的物理意义知道基本解的定义二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含付氏变换的定义及其基天性质、用付氏变换解数理方程举例。基本解三个方面的内容。理解付氏变换的意义。ixf(x)1F()eixd.定义F()f(x)edx,其逆变换为2称为fx的付里。F叶变换或象,而fx称为F的逆付氏变换或原象。利用付氏变换的定义能够求得函数的付氏变换或逆变换。理解函数的付里叶变换。Fxxeixdxeixx01函数的付里叶变换会利用付里叶变换的性质求某些函数的付里叶变换。认识基本解的物理意义。知道基本解的定义函数11代表单位点电荷所产生的电位，除(,,)这一个点以外，它处r(x)2(y)2(z)2处知足拉普拉斯方程uuxxuyyuzz0。而u(x,y,z)(,,)ddd则代表地区D中密度为(x,y,z)的电荷(x)2(y)2(z)2D所产生的电位，它知足泊松方程u4。因而可知，函数1在求解拉普拉斯方程和泊松方程r时起了很重要的作用，人们把它称为三维拉普拉斯方程或泊松方程的基本解。三、章节考试纲领第一节、付氏变换的定义付氏变换的基天性质n维付氏变换函数的付氏变换第二节、用付氏变换解数理方程举例第三节、基本解的物理意义基本解的定义非定常型非齐次方程的基本解四、章节练习题（一）计算题uta2uxx(x,t0)u(x,0)(x)(x)1.求解热传导方程的哥西问题.2．求(xa)（a是常数）的付里叶变换；第十四章拉普拉斯变换一、章节学习目标理解拉氏变换的意义能用拉普拉斯求变换拉普拉斯变换的性质掌握运用拉普拉斯变换解数学物理方程。二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含拉氏变换的定义和它的逆变换、拉氏变换的基天性质及其应用举例、睁开定理三个方面的内容。付氏变换在信号办理领域有重要的应用，但其应用范围却遇到限制，它既要求函数在整个实轴上有定义，又要求函数知足狄氏条件，这对于以时间为指数增加的函数力所不及。可否找一个既近似于付氏变换，又能战胜以上困难的一种变换？故有了拉普拉斯变换。拉普拉斯变换和付氏变换之间有差别，主假如原象和象之间的关系。原象：付氏变换的原象函数的自变量一般为空间坐标，拉氏变换的原象函数的自变量一般为时间。象：付氏变换的象函数是一以实变量

的复函，拉氏变换的象函数是以一复变量

p

i

的复函。要娴熟掌握拉普拉斯变换的定义，会依据定义计算拉氏变换和逆拉氏变换。掌握运用拉普拉斯变换解数学物理方程。对拉普拉斯变换的运用需要将书上例题弄懂，会做题。第一掌握课本例题1-5，再利用例1-5题结论和性质直接进行计算。三、章节考试纲领第一节、付氏变换与拉氏变换拉氏变换的定义第二节、拉氏变换的基天性质及其应用举例第三节、睁开定理用反演公式解数理方程举例

拉氏变换的存在定理和反演定理四、章节练习题（一）计算题求test（s是常数）的拉普拉斯变推换。p2．求p22p5的逆拉普拉斯变推换。第十五章勒让德多项式球函数一、章节学习目标1．认识勒让德方程推出过程知道勒让德多项式的定义3．记着勒让德多项式的微分式和积分式。掌握勒让德多项式的各项性质如递推公式、母函数关系、正交归一性、睁开定理及其运用。5．掌握连带勒让德多项式、球函数的定义及它们的正交归一和睁开定理。掌握u0在球坐标系中的分别变量的解，并用之于详细的物理问题。二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含勒让德微分方程及勒让德多项式、勒让德多项式的母函数及其递推公式、按勒让德多项式睁开、连带勒让德多项式和拉普拉斯方程在球形地区上的狄利克雷问题五个方面的内容。记着勒让德多项式的定义。记着勒让德多项式的微分式和积分式。Pn1dn(x2n(x)1).勒氏多项式的另一种表示法,即所谓的洛德利格公式2nn!dxndxn。1(21)nPn(z)C2n(z)n1d勒氏多项式的施列夫利积分表达式2i，或简称为施氏积分.掌握勒让德多项式的各项性质如递推公式、母函数关系、正交归一性、睁开定理及其运用。G(x,z)112xzz2(或许1/r)称为勒让德多项式的母函数．把递推公式勒氏多项式序列P0(x),P1(x),L,Pn(x),L在区间[-1,1]上正交,即勒让德多项式的归一性

12,n0,1,2,LPn2(x)dx12n1掌握连带勒让德多项式、球函数的定义及它们的正交归一和睁开定理。掌握u0在球坐标系中的分别变量的解，并用之于详细的物理问题。三、章节考试纲领第一节、勒让德微分方程的导出幂级数解好勒让德多项式的定义勒让德多形式的微分表达式——洛德利格公式勒让德多项式的施列夫积分表达式第二节、勒让德多项式的母函数勒让德多项式的递推公式第三节、勒让德多项式的正交性勒让德多项式的归一性睁开定理的表达第四节、连带勒让德多项式的定义连带勒让德多项式的正交性和归一性第五节、利用连带勒让德多项式Pnm(x)得出方程’的解确立出定解问题’和’的解四、章节练习题（一）计算题一个半径为a的球壳上的电势散布为u0sin2，试计算ra与ra两地区的电势散布。此中u0为常数。第十六章贝塞尔函数柱函数一、章节学习目标柱面问题定解条件ν阶贝塞耳微分方程的形式贝塞耳函数前两项的表达式理解塞耳函数的母函数及其递推公式5．掌握贝塞耳函数的母函数、主要递推公式、正交性、睁开定理及其应用。掌握u0在柱坐标系中的分别变量的解，并用之于详细的物理问题。二、章节重点、重点本部分学习的主要内容包含贝赛耳微分方程及贝赛耳函数、贝赛耳函数的母函数及其递推公式、按贝赛耳函数睁开、第二类和第三类贝赛耳函数、变形（或虚变量）贝赛耳函数和贝赛耳函数的渐近公式五个方面的内容。认识柱面问题定解条件此中l为已知正数,和为已知函数.这个定解问题因与z坐标没关,故又称为柱面问题.认识ν阶贝塞耳微分方程的形式方程和都称为v阶贝塞耳微分方程。掌握贝塞耳函数前两项的表达式称为v阶贝塞耳函数.掌握贝塞耳函数的母函数、主要递推公式、正交性、睁开定理及其应用。x(z1)贝塞耳函数的母函数G(x,z)e2z贝塞耳函数的递推公式0在柱坐标系中的分别变量的解，并用之于详细的物理问题。、章节考试纲领第一节、贝赛耳微分方程的导出幂级数解和贝赛耳函数的定义第二节、贝赛耳函数的母函数贝赛耳函数的积分表达式贝赛耳函数的递推公式半奇数阶贝塞尔函数第三节、贝赛耳函数的零点贝赛耳函数的正交性贝赛耳函数的归一性睁开定理的表达圆膜振动问题四、章节练习题（一）计算题一个半径为a高为h的圆柱体，下底和侧面保持温度为零度，上底的温度散布为u0，求柱体内稳固的温度散布。考试样题（2套）《数学物理方法》试卷A卷得分评卷人天性奇点

一、选择题（每题2分，共10分）复变函数在奇点睁开时没有主要部分，奇点是何种种类B非孤立奇点C可去奇点D极点。2．由对数函数的定义有以下方程是颠簸方程的是Autta2uxxf；Buta2uxxf；Cuta2uxx；Dutta2ux。4．用分别变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是A分别变量解单变量本征值问题得单变量解得分别变量解；B分别变量得单变量解解单变量本征值问题得分别变量解；C解单变量本征值问题得单变量解分别变量得分别变量解；D解单变量本征值问题分别变量得单变量解得分别变量解。(x)f(n,x)dx5．一函数序列的序参量n趋于某值a时有

na

(x)f(x)dx则我们称Af(n,x)收敛于f(x)；Bf(n,x)绝对收敛于f(x)；Cf(n,x)弱收敛于f(x)；Df(n,x)条件收敛于f(x)。得分评卷人二、填空题（将正确答案写在横线上，每一空2分，共20分。）1.复数1i的幅角为，模为。fcosz2.就奇点的种类而言，zz奇点。resf是函数z的。3．一维颠簸方程的齐次界限条件为。4．热传导方程的齐次初值条件为5．已知P0(x)1,P1(x)x,则P2(x)＝6．勒让德多项式Pl(x)的模Nl＝＝17．P51(x)P102(x)dx1得分评卷人三、简答题（每题10分，共40分。）1.计算积分Rezdz，此中积分路径以以下图示，c（1）C为连接O点到1i点的直线段（2）C为连接O点到1点再到1i点的折线2.计算积分Idz，此处C是z2。cz213.将函数f(z)1在（1）z1（2）1z2内展成罗朗级数。(z1)(z2)4.求(xa)（a是常数）的付里叶变换；得分评卷人四、计算题（每题15分，共30分。）1.利用付里叶级数法求解定解问题2.半径为a的球壳上电势散布为u0sin2，u0为常数，试计算球壳内的电势散布。《数学物理方法》试卷A卷答案一、选择题（每题2分，共10分）二、填空题（将正确答案写在横线上，每一空2分，共20分。）1.2k,k0,1,2;2;2.天性奇点;resf1;43.(0)0,(l)0；4.u(x,0)(x)(0xl);1(3x21125.1);6.Pl(x)2dx2;;7.0;212l1三、简答题（每一小题10分，共40分。）1.解：（1）C可表为z(1i)t,0t1故Rezt，dz(1i)dt。（2）C分为两段为：C1:zt.0t1，2.解：在圆z2内，函数12除z11外均为分析。今以z1为中心以1为半径作两个圆周C1,C2，将上述2定理应用于复围线CC1C2即得dzdzdzcz21c1z21c2z2。1又dz1dzdz1ii212c1z1c1z1?2c1z2dz1dzdz1ii，最后可得c2z212c2z1c2z1?223.解：（1）在z11111内，f(z)2z11zzz)2(12（2）在1z1111112内，f(z)21zz11z2z12z4.解：F()(xa)eixdxeia四、计算题（每题15分，共30分。）utt(x,t)2uxx(x,t),0xl,t（）a0,11．解：u(0,t)0,u(l,t)0,t0，（2）u(x,0)x,ut(x,0)0,0xl，（3）依据（2）式可得u(x,t)Tn(t)sinnx（,4）n1l将（4）代入（1）得：[Tn"(t)(na)2Tn(t)]sinnx0,n1ll将（5）代入（4）得：由（3）和（6）得：2故Cnl

l0

nx2(1)n1lxsindx,Dn0（,7）ln将（7）代入（6）中得：解：当ra时，该问题可化为以下定解问题知足（1）（3）式的解的广泛形式是：由（2）（4）得：u(a,)AlalPl(cos)u0sin2（,5）l0u0sin2u0(1cos2)u0(1x2)又由于u0P0(x)[2P2(x)1P0(x)]33u02P0(x)2P2(x)33故比较（5）式两边系数可得：将（6）代入（4）得：《数学物理方法》试卷B卷得分评卷人一、选择题（每题2分，共10分）复变函数在奇点睁开时没有主要部分，奇点是何种奇点A天性奇点B非孤立奇点C可去奇点D极点。2．以下积分不为零的是1dzz0.5z21dzz0.5z；B；A11dzzdzzC0.5z；z21。D3．二维拉普拉斯方程的定解问题是A哥西问题；B狄拉克问题；C混淆问题；D狄里克雷问题。4．以下表述中不正确的选项是sinzz3在z0处是二阶极点；某复变函数在开复平面内有有限个奇点，全部这些奇点的残数之和为零；残数定理表示，分析函数的围线积分为复数；D某复变函数在某处为m阶极点，则其倒函数在该奇点处为m阶零点。1zz2z3LznL5．级数1!2!3!n!的收敛半径为n1!AB0C1Dn!。得分评卷人二、填空题（将正确答案写在横线上，每一空2分，共20分。）1.已知函数f(z)x33xy2i(3x2yy3)，则f(z)的实部是2.就奇点的种类而言，z0为zsin2z的的3.cosz在z0处的残数为则积分z34.已知P0(x)1,P1(x)x,则P2(x)＝5.勒让德多项式Pl(x)的模Nl＝写出三维直角坐标系下的拉普拉斯方程17.P51(x)P102(x)dx1

则zn为zsin2zcoszz1z3dz＝得分评卷人三、简答题（每一小题10分，共40分。）1.已知u3x2yy3,f(i)1，求分析函数f(z)uiv。2.计算积分2z2z12)。c(z1)2dz(C:z3.将函数f(z)1在（1）z1（2）1z2内展成罗朗级数。1)(z(z2)4.求以下函数的拉普拉斯变换（1）.sint（2）.cost得分评卷人四、计算题（每一小题15分，共30分。）1.利用分别变量法求解定解问题2.半径为a的球壳，球壳上电势保持u0sin2cos2，u0为常数，试求球壳内的电势散布。（Y0,01,Y1,13sinei,Y1,03cos,Y1,13sinei4848Y2,115sincosei,Y2,215sin2ei2,）832《数学物理方法》试卷B卷答案一、选择题（每题2分，共10分）二、填空题（将正确答案写在横线上，每一空2分，共20分。）1.f(z)x33xy2)；2.一阶极点；二阶极点；3.1；i；4.1(3x21);221212uxxuyyuzz0;25.Pl(x)dx;；6.7.0;12l1三、简答题（每一小题10分，共40分。）1.解：因u6xy,u3x23y2，又因vu6xyxyyx故v3xy2(x)。v3y2'(x)u3y23x2xy'(x)3x2，故(x)x3c又f(i)1,zi，即，x0,y1f(i)(uiv)zi1ic1，c=02.解：依据分析函数的无穷次可微性，f(n)(z)n!f()d可知2ic(z)(n1)3.解：（1）在z1内，f(z)1111z2z11zz2(1)2（2）在1z2内，f(z)111111z2z12zz11(12)z4.解：（1）eiteit1[it][it]L[sint]L2i2iLeLeeiteit1[it][it]L[cost]L（2）22四、计算题（每一小题15分，共30分。）utt2uxx,0xl,t，（）a011.解：，（）u(0,t)0,u(l,t)0,t02u(x,0)u0sin3x0,0xl，（）l令u(x,t)X(x)T(t)分别代入（1）（2）中得：（4）（6）组成本征值问题，n,n1,2,3，（7）其本征值为l本征函数为Xn(x)nx，（8）sinln()ncosnatBnsinnat，（9）将（7）代入（5）得：TtAll由（10）和（3）得：u(x,0)Asinnxu0sin3x,nlln1比较系数得A3u0,An0,当n3时将An,Bn代入（10）得：u(x,t)3atsin3xu0cosll解：该问题可化为定解问题知足（1）（3）的解的一般形式由（2）（4）得比较两边系数得将（5）代入（4）得章节练习题答案第一章练习题答案（一）选择题（二）填空题1.4，2；2.以原点为中心的单位圆：z1第二章练习题答案（一）计算1.解：因u6xy,u3x23y2，又因vu6xyxyyx故v3xy2(x)。v3y2'(x)u3y23x2xy'(x)3x2，故(x)x3c又f(i)1,zi，即，x0,y1f(i)(uiv)zi1ic1，c=0arg1arg(z1),2，所以2.解：2由于0arg(z1)第三章练习题答案（一）选择题（二）填空题（三）计算题1.解：（1）C可表为z(1i)t,0t1故Rezt，dz(1i)dt。（2）C分为两段为：C1:zt.0t1，fzeizezz的积分。由于2.解：考虑函数所以z0为可去奇点，则有eRsineRcosgR0422分故当R时将（2）∽（4）诸式一并代入（1）式有所以3.解：在圆z2内，函数1除21z1外均为分析。今以z1为中心以1为半径作两个圆周C1,C2，将上述2定理应用于复围线CC1C2即得dzdzdzcz21c1z21c2z2。1又dz1dzdz1ii212c1z1c1z1?2c1z2dz1dzdz1?2ii，最后可得c2z212c2z1c2z12第四章练习题答案（一）填空题全平面；2.天性奇点；

resf13.

z1（二）计算题1.解：z22.解：（1）在z1内，f(z)11112z11zzz2(1)2111111（2）在1z2内，f(z)z1z2z121z12z第五章练习题答案（一）填空题1；2.2e；，-1，0；