高中数学人教版必修2作业1-3-1柱体锥体台体的表面积与体积3

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积基础巩固一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是()A．6eq\r(3) B．3eq\r(6)C．11 D．12[答案]A[解析]设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6eq\r(3).2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A．3 B．4C．5 D．6[答案]A[解析]由题意，V＝eq\f(1,3)(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.3．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(3,4)[答案]D[解析]设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径r，高都为h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R，V柱V锥＝πR2heq\f(1,3)πr2h＝34，故选D．4．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为()A．6 B．9C．12 D．18[答案]B[解析]由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×3×3＝9，故选B．5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A．4 B．eq\f(14,3)C．eq\f(16,3) D．6[答案]B[分析]根据三视图可知此几何体为棱台，分别确定棱台的底面面积和高即可求得体积．[解析]由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝eq\f(1,3)(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)h＝eq\f(1,3)×(1＋eq\r(1×4)＋4)×2＝eq\f(14,3).6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－2π B．8－πC．8－eq\f(π,2) D．8－eq\f(π,4)[答案]B[解析]该几何体为一个棱长为2的正方体在两端各削去一个eq\f(1,4)圆柱．V＝2×2×2－2×eq\f(1,4)×(π×12×2)＝8－π.二、填空题7．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.[答案]eq\r(3)[解析]设底面半径为r，则eq\f(1,3)πr2×4＝4π，解得r＝eq\r(3)，即底面半径为eq\r(3).8．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1V[答案]124[分析]找到棱锥的底、高与棱柱的底、高之间的关系，从而可以得出它们的体积之比．[解析]设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，即V1V2＝124.三、解答题9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[解析]如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，R，l，高为h.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D·eq\f(1,tan60°)，即R－r＝3×eq\f(\r(3),3)，∴R－r＝eq\r(3).又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，而h＝3，∴V圆台＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.所以圆台的体积为21π.10．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．[解析]该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为eq\f(1,3)×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.能力提升一、选择题1．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A．3 B．2C．eq\r(3) D．1[答案]D[解析]由侧视图可知，该三棱锥的高为eq\r(22－12)＝eq\r(3).由俯视图可知，该三棱锥的底面面积S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(22－12)＝eq\r(3).根据三棱锥的体积公式，得V＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.2．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为eq\f(1,2)，则该几何体的俯视图可以是()[答案]C[解析]若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体是正方体，其体积V＝13＝1≠eq\f(1,2)，所以A选项不是；若该几何体的俯视图是选项B，则该几何体是圆柱，其体积V＝π×(eq\f(1,2))2×1＝eq\f(π,4)≠eq\f(1,2)，所以B选项不是；若该几何体的俯视是选项D，则该几何体是圆柱的四分之一，其体积V＝eq\f(1,4)(π×12×1)＝eq\f(π,4)≠eq\f(1,2)，所以D选项不是；若该几何体的俯视图是选项C，则该几何体是三棱柱，其体积V＝eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,2)，所以C选项符合题意，故选C．3．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为()A．29cm B．30cmC．32cm D．48cm[答案]A[解析]图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h，则有π×12(h－20)＝π×32(h－28)，解得h＝29(cm)．4．下图所示是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是()A．24 B．12C．8 D．4[答案]B[解析]由三视图该几何体是两个完全一样的三棱柱．V＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×2×4×2＝12，故选B．二、填空题5．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2，若它们的的侧面积相等且S1S2＝94，则V1V2＝________.[答案]32[解析]设甲圆柱底面半径r1，高h1，乙圆柱底面半径r2，高h2，eq\f(S1,S2)＝eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，∴eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2)，又侧面积相等得2πr1h1＝2πr2h2，∴eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3).因此eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2).6.一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为____.[答案]eq\f(10,3)[解析]由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×eq\f(1,3)＋1×1×2＝eq\f(10,3).三、解答题7．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.[答案](1)eq\r(3)(2)6＋2eq\r(3)[解析](1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体，如图所示，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3)，所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S表＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).8．某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图(如图)，其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆(含圆心)，三视图尺寸如图所示(单位cm)．(1)求出这个工件的体积；(2)工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用(精确到整数部分)．[解析](1)由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4cm，母线长为3