矩阵论及其应用-1 chapter1

MatrixTheory武文佳上海电机学院数理教学部矩阵论课程：矩阵论（MatrixTheory）学时：36学时（36Lectures）教材：矩阵理论及其应用（第１版）邱启荣主编

考核方式：闭卷笔试矩阵理论及其应用参考资料矩阵与计算工具：MATLAB教学参考书：《矩阵论学习指导》邱启荣中国电力出版社，2010《矩阵论》，清华大学出版社，2004。作业：课后习题作业，论文，报告。成绩分配：平时成绩40%（作业+上机）考试成绩60%课程简介矩阵论是数学的重要分支，随着计算机的发展，矩阵理论在电子信息、机械、电力、管理、金融、保险等领域都有着重要的应用。矩阵论全国工科研究生必修课知识基础：线性代数，高等数学线性代数—包含矩阵的基本知识，如定义，矩阵的初等变换，线性方程组，向量组，秩，相似矩阵，特征值，特征向量，二次型等课程内容线性空间线性变换Jordan标准形向量与矩阵的范数矩阵分析矩阵函数及其应用矩阵的分解广义逆矩阵应用举例矩阵特征值计算例：Google搜索引擎1998年创立，市值近2500亿(2012.10)G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”——SIAMReview，2006Gx=x,eTx=1预备知识微积分线性代数常微分方程

Matlab编程所需知识线性代数预备知识复习1.初等行(列)变换2.初等变换3.线性方程组--非齐次线性方程组;--齐次线性方程组;结论：若上述线性方程组的系数行列式则方程组一定有唯一解.如果线性方程组无解或有两个不同的解，则其系数行列式必为零.如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组没有非零解只有零解.4.线性方程组的向量表示则方程组的向量表示为线性代数预备知识复习5.矩阵的秩A中非零子式的最高阶数初等变换求矩阵秩的方法：

把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.线性代数预备知识复习线性方程组解的判定准则

定理：线性代数预备知识复习5.向量组及其线性组合线性组合（1）

向量能由向量组线性表示．（2）则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．（3）设在向量组A中能选出r个向量满足：线性无关,（i）向量组A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关.（ii）则称向量组是向量组

A的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组）（4）线性代数预备知识复习线性无关；（i）那么称部分组为向量组A的一个设A为一个向量组，A的部分组

满足：（ii）A的任意向量都能由线性表示。极大无关组的等价定义:极大无关组。注:（1）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（2）向量组的极大无关组一般不是唯一的。（3）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。线性代数预备知识复习第一章线性空间

线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广．

在线性代数中，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论．

现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义。

1.1集合与映射一、集合二、映射一、集合

把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C

等表示集合；当a是集合A的元素时，a属于A，记为：；

当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：

1、定义组成集合的这些事物称为集合的元素．

用小写字母a、b、c等表示集合的元素．

☆集合的表示方法：描述法、列举法

描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例1例2

M＝｛x|x具有性质P｝M＝｛a1，a2，…，an｝约定：空集是任意集合的子集合.

空集：不含任何元素的集合，记为

．注意：｛

｝≠

集合间的关系

如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是

A的子集，记作，（读作B包含于A）当且仅当

如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称

A与

B相等，记作A＝B

.A＝B当且仅当且

集合间的运算交：；

并：

显然有，和：设A，B是两个集合，集合称为A与B的和集。集合的和与集合的并有什么区别?注意:称为A与B的积。积：设A，B是两个集合，集合定义1.1.1设A，B是两个非空集合，A到B的一个映射对于集合A中的每一个元素x，都有集合B中的一个唯一确定的元素y与之对应。是指一个对应法则，通过这一法则，用记号表示f是从A到B的一个映射。如果通过映射,与A中元素对应的则记作:

B中元素是或二、映射

叫做元素在下的象，叫做在下的原象。

某个集合A到自身的映射也称为A的一个变换。A在下的象的集合记作注意：1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的集合；2）对于A中的每一个元素x，B中必有一个唯一确定的元素与之对应；3）一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象；4）A中不同元素的象可能相同。相等映射，满射，单射映射的积，1-1映射(双射)例判断下列映射的性质1）M＝｛a,b,c｝、M´＝｛1,2,3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（不是单射，也不是满射）

τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1

2）M=Z，M´＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,（是满射，但不是单射）（双射）例题第二节线性空间的定义与性质线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．一、线性空间的定义一.线性空间的定义设V

是一个非空集合,P是一个数域,在集合V

中的和，记为；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：定义了一种代数运算，叫做加法:即对在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域上的向量空间（或线性空间）．

线性空间的概念是集合与运算二者的结合：

判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．说明

凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．同一个集合，定义两种不同的线性运算，则构成不同的线性空间（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．例１实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作．线性空间的判定方法通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．例1.2.4给定记按中的加法和数乘运算，都是上的线性空间。例5正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．是一个线性空间.一般地在通常的函数加法和数乘运算下构成线性空间。定理1.2.1零向量唯一．任意向量的负向量唯一．二、线性空间的性质定义1.2.2在线性空间V中，两个向量的差为

，记作定理1.2.2对任意向量任意数有：线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线性空间是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算线性空间是二维、三维几何空间及维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.小结§1.3维数·基与坐标一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标三、基变换与坐标变换如何把线性空间的全体元素表示出来？线性空间中是否有类似于几何空间的坐标系问题？线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？怎样才能便于运算？问题Ⅰ

基的问题（basis）问题Ⅱ

坐标（coordinate）问题一、线性空间中向量之间的线性关系

1、有关定义设V是数域P上的一个线性空间（1）和式的一个线性组合．称为向量组（2）

，若存在

则称向量可经向量组

线性表出；使若向量组中每一向量皆可经向量组

线性表出，则称向量组可经向量组线性表出；若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的．

（3），若存在不全为零的数，使得则称向量组线性相关；（4）如果向量组不是线性相关的，即只有在时才成立，

则称线性无关．

（1）单个向量线性相关

单个向量线性无关向量组线性相关中有一个向量可经其余向量线性表出.

2、有关结论（2）若向量组线性无关，且可被向量组线性表出，则

若与为两线性无关的等价向量组，则

（3）若向量组线性无关，但向量组

线性相关，则可被向量组

线性表出，且表示法唯一．二、线性空间的维数、基与坐标注3零空间的维数定义为0.注1线性空间的基不唯一,即对n维线性空间来说,其中任意n个线性无关的向量组都可以作为该线性空间的一组基.但维数唯一。注2线性空间的基也就是线性空间的一个极大无关组.注4当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时，则称V为无限维的.例如：所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的。因为：对任意的正整数n，都有n个线性无关的向量常见线性空间的自然（标准）基为n维的，线性空间Pn[x]

是n+1维的，且

1，x，x2，…，xn－1，xn为Pn[x]的一组自然基．就是的一组基．称为的自然基（标准基）.证:首先，1，x，x2，…，xn－1，xn是线性无关的．∴1，x，x2，…，xn－1，xn为Pn[x]的一组基，从而，Pn[x]是n+1维的.其次，可经1，x，x2，…，xn线性表出．注：在基1，x，x2，…，xn下的坐标就是此时，1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1，(x－a)n也为Pn[x]的一组基．证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1，(x－a)n是线性无关的．

又对，按泰勒展开公式有即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n线性表出.∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n为Pn

[x]

的一组基．

在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n下的坐标是

例1.3.9所有二阶实矩阵组成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域上的一个线性空间．对于中的矩阵

一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。例1.3.10求的极大线性无关组。解：向量组在自然基因此的极大线性无关组为例1.3.11、求中的多项式组的秩和一个极大线性无关组。（一）、向量的形式书写法（二）、基变换（三）、坐标变换三、基变换与坐标变换在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．问题：同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的？（一）向量的形式书写法1、V为数域P上的

n维线性空间，为V

中的一组向量，

，若

则形式地记作约定向量矩阵则形式地记作

2、V为数域

P

上

n维线性空间，

；为V中的两组向量，若1、定义设V为数域P上n维线性空间，；

为V中的两组基，若①即，

(二)基变换则称矩阵

为由基到基的过渡矩阵；称

①

或

②

为由基到基的基变换公式．

②通过过渡矩阵，建立了任意两组基之间的关系引理设

是一组线性无关的向量，A是一个n阶矩阵，令则线性无关的充要条件是A可逆。2、有关性质

1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．2）若由基过渡矩阵为A,则由基过渡矩阵为A-1.3）若由基过渡矩阵为A,由基过渡矩阵为B，则由基过渡矩阵为AB.事实上,若则有，若两个基满足关系式(三)坐标变换公式则有坐标变换公式或两组基的过渡矩阵相应坐标之间的关系知道两组坐标，可求两组基之间的过渡矩阵知道过渡矩阵，可研究两组坐标的关系证明习题思路（1）建立其与标准基的关系，标准基已知，通过研究过渡矩阵，证明其为基。（2）求坐标，已知关于标准基的坐标，则通过过渡矩阵，求解。关键：标准基过渡矩阵，则2）显然，则1.4线性子空间一.线性子空间的定义二.子空间的交与和1、线性子空间的定义1.4.1设V是数域P上的线性空间，集合若W对于V

中定义的加法和数乘也构成数域P上的线性空间,则称W为V

的一个线性子空间，简称为子空间．注：①线性子空间也是数域P

上一线性空间，它也②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念.

维数.一、线性子空间2、线性子空间的判定，若W对于V中两种运算封闭，即

则W是V的一个子空间．

证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证

W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．

定理1.4.1：设V为数域P上的线性空间，集合

一、线性子空间∵，∴.且对，

由数乘运算封闭，有

，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于

，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的．下证3）、4）成立．

由加法封闭，有,即W中的零元一、线性子空间一、线性子空间一、线性子空间一、线性子空间也为V的子空间，设V1、V2为线性空间V

的子空间，则集合二、子空间的交与和1.定理1.4.2称之为V1与V2的交空间.2.定理1.4.3设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合也为V

的子空间，称之为V1与V2的和空间.称其为V的由所生成的子空间，定义：V为数域P上的线性空间，则子空间

，记作称为的一组生成元.3.一个重要的子空间——生成子空间或记作二、子空间的交与和有关结论（性质）二、子空间的交与和定理1.4.5的充要条件为与等价二、子空间的交与和二、子空间的交与和有关结论（性质）定理1.4.6线性空间的维数等于向量组的秩。证明设的秩为r,并设为它的一个极大线性无关向量组，则与等价，所以，均有有关结论（性质）定理1.4.7（基扩充定理）设W是n维线性空间V的一个r维子空间，是W的一个基，则V中存在n-r个向量使得为V的一个基。特别地，n维线性空间V中任意n个线性无关的向量都可以取作基。(证明：用数学归纳法，此处略)它扩充为P4的一组基，其中例求的维数与一组基，并把解：对以为列向量的矩阵A作初等行变换二、子空间的交与和由B知，为

的一个极大故，维

＝3，就是

的一组基.无关组.二、子空间的交与和则线性无关，从而为P4的一组基.二、子空间的交与和例1.4.9、已知求的子空间的基与维数。二、子空间的交与和二、子空间的交与和定理1.4.8设为线性空间V的两个子空间，则推论1.4.2：设为

n

维线性空间V的两个子空间，若，则必含非零的公共向量.即中必含有非零向量.故为非零子空间，必含有非零向量.二、子空间的交与和三、子空间的交与和—-直和设为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的，和就称为直和，记作中每个向量的分解式(一)、直和的定义注:若有则①分解式唯一的，意即三、子空间的交与和—-直和三、子空间的交与和—-直和(二)、直和的判定三、子空间的交与和—-直和分解式唯一，即若1.定理1.4.9(1)和是直和的充要条件是零向量则必有证：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式充分性.

故是直和.设，它有两个分解式有其中

于是

由零向量分解式唯一，且即

的分解式唯一.(二)、直和的判定2.定理1.4.9(2)和是直和则有

即是直和.

“”任取证：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故(二)、直和的判定证：由维数公式3.定理1.4.10和是直和有，是直和.（由thm1.4.9得之）(二)、直和的判定总之，设为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:2）零向量分解式唯一1）是直和3）4）(二)、直和的判定4.定理1.4.11设U是线性空间V的一个子空间，称这样的W为U的一个余子空间(补空间).则必存在一个子空间W，使(二)、直和的判定一、欧氏空间的定义二、欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角§１.５内积空间（欧氏空间）四、正交向量组六、线性空间的同构五、标准正交基问题的引入：性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.其具体模型为几何空间、1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，但几何空间的度量长度：都可以通过内积反映出来：夹角

：2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.满足性质：当且仅当时一、内积（欧氏）空间的定义1.定义1.5.1设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作，若（对称性）（数乘）（可加性）（正定性）①

V为实数域R上的线性空间;②

V除向量的线性运算外