ch-集合映射与函数

ch-集合映射与函数第一页，共125页。名称工科数学分析总学时一学年(两学期)教材《工科数学分析基础》第二版本学期96学时王绵森马知恩主编第一页2008年9月242*第二页，共125页。参考书《数学分析》第三版华东师范大学数学系主编《高等数学》第五版同济大学应用数学系主编第二页2008年9月243*第三页，共125页。书后习题参考书《工科数学分析基础学习指导与习题解析》孙清华孙浩主编习题册参考书《数学分析同步辅导及习题精解华东师大第三版》张天德韩振来主编第三页2008年9月244*第四页，共125页。本学期的教学内容1.一元函数的微分学；4.无穷级数。2.一元函数的积分学；3.微分方程；第四页2008年9月245*第五页，共125页。

高等数学

工科数学分析数学分析计算计算为主、证明兼顾证明第五页2008年9月246*第六页，共125页。

高等数学是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一，它是理工科大学生必修的数学基础理论课程，也是学习后续数学的必修课程，还是学习其它专业的必修课。

高等数学的性质与作用

高等数学的概念、理论和方法对于学生毕业后从事科学研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的内容。同时也是参加具有选拔功能的水平考试的必备基础。第六页2008年9月247*第七页，共125页。

掌握高等数学的基本知识、基本理论和基本的计算方法，提高数学素养；

高等数学的教学目的

培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力，以及辩证的思维方法；

培养学生的空间想象能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力；

为学生进一步学习数学打下基础，也为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。第七页2008年9月248*第八页，共125页。

认识高等数学的重要性，注意高等数学的特点，改进学习方法

如何学习高等数学？

初等数学------研究对象为常量，以静止的观点研究问题；

学数学最好的方法是做数学

高等数学------研究对象为变量，运动和辩证法进入了数学。第八页2008年9月249*第九页，共125页。

（2）每次课后均布置作业，希望大家认真完成。（1）考试内容以课堂上讲的为范围，在第12周前后会安排一次期中考试；

两点说明：第九页2008年9月2410*第十页，共125页。第1章函数、极限、连续第1节集合、映射与函数第2节数列的极限第3节函数的极限第4节无穷小量及无穷大量第5节连续函数第十页2008年9月2411*第十一页，共125页。第1节集合、映射与函数

1.1集合及其运算

1.2实数集的完备性与确界定理1.3映射与函数的概念1.4复合映射与复合函数1.5逆映射与反函数1.6初等函数与双曲函数第十一页2008年9月2412*第十二页，共125页。

集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家康托（Cantor）创立的，不仅是分析学的基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分割地联系在一起。第十二页2008年9月2413*第十三页，共125页。1.1集合及其运算1、集合概念具有某种确定性质对象的全体.组成这个集合的个别对象称为该

集合元素(简称元)(集)元素.集合的通常以大写字母等表示集合,以小写字母等表示集合的元素.否则记记作或

注：集合中的元素具有确定性、无重复性、无序性。第十三页2008年9月2414*第十四页，共125页。2表示法(1)列举法：把集合的全部元素一一列出来,例有限集合自然数集(2)描述法：

x所具有的性质P(x)例整数集合或有理数集p与q互质实数集合

x

为有理数或无理数外加花括号.正整数集第十四页2008年9月2415*第十五页，共125页。3集合的关系两个集合一般地,如则子集则称集合A与B相等,记作则称子集,(读作A含于B)或(读作B包含A).集合相等记作第十五页2008年9月2416*第十六页，共125页。如空集.不含任何元素的集合称为则称真子集记作如NZQR.真子集,空集规定空集为任何集合的子集.今后在提到一个集合时,一般都是如不加特别声明,非空集.第十六页2008年9月2417*第十七页，共125页。集合之间的相等与包含关系具有以下几个性质:(1)反身性(2)反对称性(3)传递性

注：空集是唯一的。

第十七页2008年9月2418*第十八页，共125页。

例确定下列命题是否为真（1）

⊆；（2）

∈；（3）∈{}；（4）⊆{}；（5）∈{{}}；（6）{a}⊆{{a}}；（7）{a}∈{{a}}；（8）{a}⊆{a，{a}}；（9）{a}∈{a，{a}}。

注:（i）理解符号∈和⊆的区别和联系(ii)理解集合

和{}；{a}和{{a}}的区别和联系。

第十八页2008年9月2419*第十九页，共125页。给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:或4集合的三种基本运算第十九页2008年9月2420*第二十页，共125页。注研究某个问题时所考虑的对象的全体记作例如,则余集或补集.A∪BA∩B并用

X表示,称为全集或基本集,并把差积特别称为A的例如,在实数集R中,集合的余集B关于A

余(补)集第二十页2008年9月2421*第二十一页，共125页。

，D={5}，求出以下集合。

，例

设，，(1)(2)(4)(3)(5)A∩D

第二十一页2008年9月2422*第二十二页，共125页。例

用文氏图表示下列集合。

(1)第二十二页2008年9月2423*第二十三页，共125页。

(2)第二十三页2008年9月2424*第二十四页，共125页。(3)第二十四页2008年9月2425*第二十五页，共125页。例

用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分(1)解：

第二十五页2008年9月2426*第二十六页，共125页。(2)解：

第二十六页2008年9月2427*第二十七页，共125页。5.集合的运算法则为任意三个集合,则下列法则成立:(1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)结合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)对偶律(A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪

BC;第二十七页2008年9月2428*第二十八页，共125页。(5)幂等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=A;=A,A∩=第二十八页2008年9月2429*第二十九页，共125页。定义两个确定了先后次序的元素a,b组成的元素对,称为有序元素对,简称为有序偶,记为(a,b)。且规定

笛卡儿乘积

(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d.注:有序偶(a,b)和集合{a,b}的区别.第二十九页2008年9月2430*第三十页，共125页。定义有序偶集合{(a,b)|a∈A,b∈B}称为集合A和B的笛卡儿乘积,记为A×B.例设A={1,2,3},B={x,y},求A×B,

B×A。(2)一般的,A×B≠B×A。注:(1)A×

=

×B=

;特例:记为平面上的全体点集第三十页2008年9月2431*第三十一页，共125页。1.2实数集的完备性与确界定理实数的定义1实数及其性质第三十一页2008年9月2432*第三十二页，共125页。实数集的一些重要性质四则（有理）运算封闭性：实数全体对加、减、乘、除运算封闭有序性：任意两实数a,b必满足下述三个关系之一：稠密性：任意两个不相等实数之间还有另一个实数，所以任意两个实数之间必存在无穷多实数.有理数集也具有稠密性！第三十二页2008年9月2433*第三十三页，共125页。完备性:实数的连续性有理数集不具有！（实数的连续性）第三十三页2008年9月2434*第三十四页，共125页。逻辑符号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“”表示“任取”,或“任意给定”.“”表示“存在”,“至少存在一个”,或“能够找到”.Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写Exist(存在)的字头E的倒写“”表示“蕴含”,或“推出”.“”表示“等价”,或“充分必要”.第三十四页2008年9月2435*第三十五页，共125页。第三十五页2008年9月2436*第三十六页，共125页。2绝对值与不等式运算性质第三十六页2008年9月2437*第三十七页，共125页。几个常用的绝对值不等式:第三十七页2008年9月2438*第三十八页，共125页。几个重要不等式第三十八页2008年9月2439*第三十九页，共125页。几何平均值算术平均值第三十九页2008年9月2440*第四十页，共125页。

区间是用得较多的一类数集(实数集合),具体是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.

在数轴上可表示为3.区间第四十页2008年9月2441*第四十一页，共125页。

在数轴上可表示为

除了开区间和闭区间外,我们还可类似定义如下区间:第四十一页2008年9月2442*第四十二页，共125页。除了有限区间外,我们还可以定义所谓的无限区间.通过引入记号+(读作正无穷大)及-(读作负无穷大),则可类似地表示无限区间.如:注:以上这些区间均称为有限区间,数b－a称为这些区间的长度(区间两端点间的距离),从数轴上看,这些有限区间是长度有限的线段.第四十二页2008年9月2443*第四十三页，共125页。

注:在不需要辨明所论区间是否包含端点,以及是有限区间还是无限区间时,我们可简单地称其为“区间”,且常用I表示.

全体实数R可记作(-,+

),为一无穷区间.第四十三页2008年9月2444*第四十四页，共125页。4邻域:第四十四页2008年9月2445*第四十五页，共125页。第四十五页2008年9月2446*第四十六页，共125页。第四十六页2008年9月2447*第四十七页，共125页。5有界数集与确界原理有界数集定义1.1(有界数集）

第四十七页2008年9月2448*第四十八页，共125页。第四十八页2008年9月2449*第四十九页，共125页。因此A无上界.证故A有下界.取l

=1,例第四十九页2008年9月2450*第五十页，共125页。确界若数集A有上界,则必有无穷多个上界,而其中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为上确界,记作supA.同样,若A有下界,则最大的下界称为下确界，记作infA.先给定确界的直观定义MM2M1上确界上界

m2mm1下确界下界第五十页2008年9月2451*第五十一页，共125页。定义2（确界的精确定义）设A为实数集R的非空子集，若数s满足以下两条：则称s

为实数集A的上确界，记作sup

A若数t满足以下两条：则称t为实数集A的下确界，记作inf

A第五十一页2008年9月2452*第五十二页，共125页。证先证supA=1.例

第五十二页2008年9月2453*第五十三页，共125页。注：实数集的上界、下界、上确界,下确界均未必存在，若上确界,下确界存在则唯一第五十三页2008年9月2454*第五十四页，共125页。任一有上（下）界的非空实数集必有上（下）确界.注：非空有界实数集的上（下）确界是唯一的！定理1.1(确界原理)以下确界原理也可作公理,不予证明.问题：满足什么条件的实数集必有上确界和下确界？上述确界原理的证明利用到实数集的完备性.第五十四页2008年9月2455*第五十五页，共125页。数集的最大数、最小数与上确界、下确界的关系设A为实数集R的非空子集，且A有最大值和最小值，则证明b0为是数集A的一个上界，并且比b0小的数都不是A的上界，所以b0就是最小的上界。第五十五页2008年9月2456*第五十六页，共125页。1.3映射与函数的概念

1、映射的概念定义设A、B是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对通过f,在B中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从A到B的映(或算子),记作并称y为x(在映射f下)的象,即x称为y

(在映射f下)的原象.射定义域

即记或称为映射的值域第五十六页2008年9月2457*第五十七页，共125页。对元素x的象y是唯一的;而对元素y的原象不一定是唯一的;映射f的值域是Y的一个子集,不一定(2)注(1)集合A,即定义域对应法则f,使对有唯一确定的与之对应.①②二个要素:构成一个映射必须具备以下(3)设若则称映射f与g相等，记作第五十七页2008年9月2458*第五十八页，共125页。第五十八页2008年9月2459*第五十九页，共125页。若，就称该映射是A到B上的映射(即满射).若中的每个y，都有唯一的原象，则称为单射.若必有若映射f则称f是一一映射(或双射)，又是单射,

既是满射,即，即B中任一元素y都是A中某元素的象.即，若必有2、一一映射与对等第五十九页2008年9月2460*第六十页，共125页。第六十页2008年9月2461*第六十一页，共125页。例设对应关系:既非满射,

又非单射;满射,

非单射;单射,非满射;

满射,

单射,即为一一映射.对定义域内的任一x,第六十一页2008年9月2462*第六十二页，共125页。(1)如图,令由A到B的对应关系为则f是一个从A到B的映射.练习满射,

单射,即为一一映射.(2)令则f是一个从N+

到B的映射.满射,

单射,即为一一映射.第六十二页2008年9月2463*第六十三页，共125页。映射又称为算子。根据集合A、B的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称：非空集A到数集B的映射称为泛函非空集A到它自身的映射称为A上的变换从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为定义在A上的函数第六十三页2008年9月2464*第六十四页，共125页。定义

设A和B是两个非空集合，若存在映射则称集合A与B对等(等势），记为若两个集合彼此对等，则认为它们个数是相同的！(1)反身性：(2)对称性：若，则(3)传递性：若，则等价关系对任意的集合A，B，C，对等关系具有如下性质第六十四页2008年9月2465*第六十五页，共125页。例第六十五页2008年9月2466*第六十六页，共125页。3函数的概念

定义1.4设实数集则称映射为定义在A上的函数,通常简记为自变量因变量定义域(domain)定义中,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作函数关系函数值全体组成的集合称为range记作即函数f的值域,第六十六页2008年9月2467*第六十七页，共125页。第六十七页2008年9月2468*第六十八页，共125页。自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.两函数只有在定义域和对应法则皆相同时才能称为相同.第六十八页2008年9月2469*第六十九页，共125页。第六十九页2008年9月2470*第七十页，共125页。第七十页2008年9月2471*第七十一页，共125页。常用的定义函数的方法列表法图像法第七十一页2008年9月2472*第七十二页，共125页。取自变量在横轴上在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指变化,平面点集:通常是一条或几条曲线(包括直线).中的集合函数的图像函数的一种直观表示方法.第七十二页2008年9月2473*第七十三页，共125页。常用的定义函数的方法解析法显函数形式（y由x的解析式直接表示出来）隐函数形式（y没有由x的解析式直接表示出来)分段函数形式（函数在其定义域的不同范围内具有不同的解析表达式）第七十三页2008年9月2474*第七十四页，共125页。例第七十四页2008年9月2475*第七十五页，共125页。练习设则f(x)的定义域20填空:第七十五页2008年9月2476*第七十六页，共125页。2.用分段函数表示函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:即注而不是几个函数.1-243第七十六页2008年9月2477*第七十七页，共125页。几个今后常引用的函数绝对值函数例

定义域值域第七十七页2008年9月2478*第七十八页，共125页。符号函数

定义域值域对例有或第七十八页2008年9月2479*第七十九页，共125页。

取整函数如例当阶梯曲线

定义域值域表示不超过x的最大整数第七十九页2008年9月2480*第八十页，共125页。例狄利克雷(Dirichlet)函数(x为有理函数)(x为无理函数)

定义域值域有理数点无理数点第八十页2008年9月2481*第八十一页，共125页。yxoyxo取最值函数例第八十一页2008年9月2482*第八十二页，共125页。oyM-Mxy=f(x)D有界1．函数的有界性:例如函数y=sinx,y=cosx在（-∞,+∞)上均为有界函数.函数的几种特性第八十二页2008年9月2483*第八十三页，共125页。第八十三页2008年9月2484*第八十四页，共125页。是单调增加;如果对恒有（若改为严格不等号时，称为严格单调增加的）2．函数的单调性:例：y=ex在（-∞,+∞)内单调增加。第八十四页2008年9月2485*第八十五页，共125页。是单调减少.如果对恒有（若改为严格不等号时，称为严格单调减少的）第八十五页2008年9月2486*第八十六页，共125页。注:单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.

注

应指明单调区间,否则会产生错误.第八十六页2008年9月2487*第八十七页，共125页。3．函数的奇偶性:偶函数yxox-xyxox-x奇函数第八十七页2008年9月2488*第八十八页，共125页。4．函数的周期性:第八十八页2008年9月2489*第八十九页，共125页。周期为的周期函数注:并非所有周期函数都存在最小正周期.

第八十九页2008年9月2490*第九十页，共125页。例狄利克雷(Dirichlet)函数有理数点无理数点•1xyo(当x是有理函数时)(当x是无理函数时)这是一个周期函数,任何正有理数r都是它的周期.因为不存在最小的正有理数,所以没有最小正周期.第九十页2008年9月2491*第九十一页，共125页。定义.由上述映射链可定义由A到C的映射称为g与f构成的复设有映射链记作合映射,或1.4复合映射与复合函数(1)复合映射中间元素称为复合运算

注意:构成复合映射的条件不可少.第九十一页2008年9月2492*第九十二页，共125页。定义.由上述函数链可定义由A到C的函数称为g与f构成的复设有函数链记作合函数,或中间元素(2)复合函数—复合映射的特例注意:构成复合函数的条件不可少.第九十二页2008年9月2493*第九十三页，共125页。(1)逆映射的定义定义:设映射,若存在另一映射使记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f的逆映射.称f是可逆映射.设映射为f的逆映射的充要条件是1.5逆映射与反函数

第九十三页2008年9月2494*第九十四页，共125页。定理1.2映射

是可逆映射的充分必要条件是为

到

的一一映射。

定义设是非空集合，定义映射如下：称是上的恒等映射或单位映射。第九十四页2008年9月2495*第九十五页，共125页。（2）反函数(i)反函数的概念及性质设函数若存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.第九十五页2008年9月2496*第九十六页，共125页。问题:满足什么条件的函数才有反函数?回答:构成一一映射的函数就有反函数。则其反函数(减).1)y＝f(x)严格单调递增且也严格单调递增性质:(减),第九十六页2008年9月2497*第九十七页，共125页。（ii))函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都严格单调递增,其图形关于直线对称.指数函数第九十七页2008年9月2498*第九十八页，共125页。1.6初等函数与双曲函数1.基本初等函数常数函数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数第九十八页2008年9月2499*第九十九页，共125页。幂函数第九十九页2008年9月24100*第一百页，共125页。指数函数第一百页2008年9月24101*第一百零一页，共125页。对数函数第一百零一页2008年9月24102*第一百零二页，共125页。三角函数（正弦函数）第一百零二页2008年9月24103*第一百零三页，共125页。三角函数（余弦函数）第一百零三页2008年9月241