函数的单调性第一课时 课件

3.2.1函数的单调性24681012141618202224

108642-20θ/ºCt/h某市一天24小时的气温变化图y＝f(x)，x∈[0，24]请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?一、引例从直观上看，函数图象这种上升或下降的变化趋势就是函数的一个重要性质——函数的单调性。xOy1124-1-2

当x<0时，f(x)=x2图象是下降的，当x>0,时f(x)=x2图象是上升的。即f(x)随着x的增大而减小；即f(x)随着x的增大而增大。二、基础知识讲解思考1：对于函数f(x)=x2，说说它图象从左到右是怎样变化的？这反映了函数在数量上怎样的变化规律？当x<0时，f(x)=x2图象下降的，

思考2:“当x<0时，f(x)随着x的增大而减小”,“x增大了”怎么用符号语言来表示?“对应的函数f(x)减小了”呢？结合以下表格，你能给出具体的描述吗？x...-5-4-3-2-1...f(x)=x2...2516941...当x从-5增大到-4时，f(x)从f(-5)=25减小到f(-4)=16；即f(x)随着x的增大而减小；当x从-4增大到-3时，f(x)从f(-4)=16减小到f(-3)=9；当x从-3增大到-2时，f(x)从f(-3)=9减小到f(-2)=4；......思考3:这样的过程写得完吗？为什么？对于函数f(x)=x2，自变量x在(-∞，0]上任取两个不同值，“当x增大时，f(x)减小”都是成立。yxOx2x1即当x<0时，只要x1<x2，就有f(x1)>f(x2)思考4:如何表述这种任意性？你能写出更严格的表达吗？在(-∞,0]上任取

x1、x2，只要x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，这时我们说函数f(x)在(-∞,0]上是单调递减的。

思考5:对于函数f(x)=x2，你能模仿以上的方法，给出“在区间[0,+∞)上，f(x)随着x的增大而增大”的符号语言刻画吗？

在[0,+∞)上任取

x1、x2，只要x1<x2，就有f(x1)<f(x2),这时我们说函数f(x)在[0,+∞)上是单调递增的。

仿照上述方法，用严格的符号语言刻画函数f(x)=|x|的单调性。练习对于函数f(x)=|x|：在(-∞,0]上，图象从左至右下降；f(x)随着x的增大而减小；

任取x1、x2∈(-∞,0]，当x1<x2，都有f(x1)>f(x2),

即函数f(x)在(-∞,0]上是单调递减的。

同理，任取x1、x2∈[0,+∞)，当x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在(-∞,0]上是单调递增的。

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I:

如果那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，

如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

如果

x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.f(x1)f(x2)x10x2xyf(x1)f(x2)x10x2xy同区间性有序性任意性二、基础知识讲解增函数与减函数的定义判断正误：Oxy12(1)对于区间D内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有

f(x1)<f(x2)，f(x)在区间D上才是增函数——强调“任意”(2)函数f(x)在区间A、B上均为增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数——单调区间之间不能用“∪”(3)单调性是针对函数的定义域内的某个区间而言，不一定整个定义域内都具有单调性.——在谈单调性时一定要强调区间(5)函数单调性是对定义域某个区间而言，单独一点，由于其函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题.-5Oxy12345-1-2-3-4123-1-2例1、下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝

f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝

f(x)是增函数还是减函数.看图判断单调区间解：y=f(x)的单调减区间有：[-5,-2)，[1，3）

单调增区间有：[-2，1）,[3，5].其中y=f(x)在[-5，-2），[1，3）上是减函数，在[-2，1），[3，5）上是增函数.作图是发现函数单调性的方法之一.1、(1)二次函数y=x2﹣2x+1的单调递增区间是：(2)二次函数y=﹣x2﹣2x+1的单调递增区间是：(3)二次函数y=x2﹣2ax+1的单调递增区间是：(4)二次函数y=ax2+bx+c的单调递增区间是：[1,+∞)(-∞,1][a,+∞)练习巩固增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.定义法证明单调性利用定义法证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：第一步：任取值。任取x1，x2∈D，且x1<x2；第二步：作差、变形。将f(x1)－f(x2)通过因式分解、配方、有理化等方法，将差转换为积或商的形式，有利于判断差的符号。第三步：定号。确定差的符号。第四步：下结论（即根据定义指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．二、基础知识讲解∵x1,x2∈(1,+∞)，证明:

x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2∴x1>1,x2>1，∴x1x2>1,x1x2-1>0又x1<x2

，取值练习.根据定义证明函数在区间(1,+∞)上单调递增.∴，即y1<y2∴