最优化模型与算法-基于Python实现 教案 ch02 凸函数

凸函数1．证明下列函数为凸函数(1)一元函数 (2.5.1)其中，。(2)定义在上的几何平均函数 (2.5.2)略。2．已知函数为定义在上的凸函数，函数 (2.5.3)证明：函数为上的凸函数．要证明函数f(x)=eg(x)-1是定义在Rn上的凸函数，需要判断其二阶导数是否非负。首先计算f(x)的一阶和二阶导数：f'(x)=8egzf"(a)=64egz由于函数s(x)是定义在Rn上的凸函数，即s"(x)≥0对于所有x∈R成立。现在我们来研究函数f"(x)的符号。对于所有x∈R,有cgr>0。因此，f"(x)=64egx>0,即二阶导数恒大于零。根据凸函数的定义，如果一个函数的二阶导数恒大于等于零，则该函数是凸函数。因此，函数f(x)是定义在Rn上的凸函数。3．已知二元函数为处处有限的凸函数，设一元函数定义为 (2.5.4)证明：函数为凸函数。根据式子(2.5.4),我们有：g(x)=infyf(x这表示g(x)是函数f(z,y)在变量y上的下确界。由于f(x,y)是处处有限的凸函数，那么对于固定的x,函数f(x,y)关于y是凸函数。因此，对于任意的x1,x2和0≤θ≤1,我们有：f(x1,y)≥θf(x1,y)+(1-θ)f(x2,y)取y1为使得θf(x1,y1)+(1-θ)f(x2,y1)达到下确界g(x1)的值，即θf(x1,y1)+(1-θ)f(x2,y1)=g(x1)。同样，取y2为使得θf(x1,y2)+(1-θ)f(x2,y2)达到下确界g(x2)的值，即θf(x1,32)+(1-θ)f(x2,y2)=g(x2)。由于f(x,y)是凸函数，我们有：f(θx1+(1-θ)x2,θy1+(1-θ)y2)≤θf(x1,y1)+(1-θ)f(x2,y2)取下确界得到：9(θx1+(1-θ)x2)≤θg(x1)+(1-θ)g(x2)因此，函数g(x)是凸函数。4．设函数为凸函数，证明函数的下卷积函数 (2.5.5)为凸函数。要证明函数f(x)是凸函数，我们需要证明对于任意的x1,x2和0≤θ≤1,有f(θx1+(1-θ)x2)≤θf(x1)+(1-θ)f(x2)。首先，我们来研究函数f(x)的定义。根据式子(2.5.5),我们有：f(x)=(f1*f2)(x)-inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+2=x}这表示f(x)是函数f1(a1)+f2(x2)取下确界(infimum)时的差值。由于f1和f2均为凸函数，我们知道对于任意的x1,x2和0≤θ≤1,有：f1(θx1+(1-θ)x2)≤θfi(x1)+(1-θ)f1(x2)f2(θx1+(1-θ)x2)≤θf2(x1)+(1-θ)f2(x2)对于第一项(f1*f2)(x),我们可以使用Jensen不等式来处理。由于f1和f2均为凸函数，我们有：(f1*f2)(θx1+(1-θ)x2)≤θ(f1*f2)(x1)+(1-θ)(f1*f2)(x2)现在，我们来研究第二项inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=x}。我们要证明：inf{f1(θx1+(1-θ)x2)+f2(θx1+(1-θ)x2)|z1+x2=θx1+(1-θ)x2}≥θinf{f1(x1)+f2(x2)|c1+x2=x1}+(1-θ)inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+2=2}也就是要证明：inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=x}≥θinf{f(x1)+f2(x2)|x1+x2=x1}+(1-θ)inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=2}根据下确界的性质，左边的下确界大于等于右边的下确界，因此上述不等式成立。综上所述，我们得到：f(θx1+(1-θ)x2)=(f1*f2)(θx1+(1-θ)x2)-inf{f1(θx1+(1-θ)x2)+f2(θx1+(1-θ)x2)|x1+x2=θx1+(1-θ)x2}≤θ(f1*f2)(a1)+(1-θ)(f1*f2)(a2)-θinf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=x1}-(1-θ)inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x=x2}进一步化简得到：≤θ[(f1*f2)(x1)-inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=x1}]+(1-θ)[(f1*f2)(x2)-inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=x2}]根据函数f(x)的定义，可以将上述不等式进一步简化为：=θf(x1)+(1-θ)f(x2)因此，我们证明了对于任意的x1,x2和0≤θ≤1,有f(θx1+(1-θ)x2)≤θf(x1)+(1-θ)f(x2)。因此，函数f(x)是凸函数。凸性的二阶条件。设函数，其中是中的凸集合且是开集，函数二阶连续可微．证明：是集合上的凸函数当且仅当对任意的，半正定。略。6．分片线性凸函数的表示。函数，其定义域为，被称为分片线性函数，如果存在的一个划分 (2.5.6)其中，且对任意，intint；以及一系列仿射函数使得对有，证明若是凸函数，有。略。7．函数的凸包。函数的凸包(或凸包络)定义为 (2.5.7)几何上，函数的上图是的上图的凸包。证明如果函数是凸函数，且对所有有，则对所有有。略。8．推导下列函数的共轭函数。(a)二次函数， (2.5.8)其中为阶对称正定矩阵，，(b)一元函数 (2.5.9)(c)函数， (2.5.10)(d)定义在上的幂函数，其中。如果呢？略。设为非空凸集合，距离函数，设函数，，证明：，其中，表示函数的下卷积函数，并求的共轭函数．的共轭函数为10．给定函数，其定义域为。证明的共轭函数为 (2.5.11)提示：函数的梯度为。略。11．集合的支撑函数我们知道集合的支撑函数定义为。在前文我们曾证明是凸函数。(a)凸集合为平面上-范数对应的1-范数单位圆： (2.5.12)计算支撑函数。(b)证明。(c)证明。(d)证明。(e)设是闭凸集。证明的充要条件是，对任意有 (2.5.13)略。12．已知凸集合，为集合上的指示函数，，二元函数定义为 (2.5.14)设函数是由生成的正齐次凸函数，即。该正齐次凸函数称为对应于凸集合的度规函数，计算度规函数。略。13．计算下列函数的处的次微分：(1) (2.5.15)(2) (2.5.16)(3) (2.5.17)(4)