数学北师大版必修4学案2.2.1向量的加法

2.1向量的加法学习目标重点难点1．掌握向量的加法运算，并理解其几何意义．2．会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力．3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；利用向量加法运算的交换律和结合律进行计算．难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的应用．疑点：三角形法则和平行四边形法则的区别和联系.1．向量求和法则(1)三角形法则：已知向量a，b，在平面上任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up6(→))，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫作________．记作a＋b.(2)平行四边形法则如下图，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，再作平行于eq\o(AD,\s\up6(→))的向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，连接DC，则eq\o(AC,\s\up6(→))叫作向量a与b的和，表示为eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.预习交流1向量求和的三角形法则和平行四边形法则有什么区别与联系？在应用时要注意什么问题？(3)多边形法则向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的____与后一个向量的____重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线______________．即eq\o(A0A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An1An,\s\up6(→))＝____.2．向量加法运算律①交换律：a＋b＝______.②结合律：a＋b＋c＝(____)＋c＝a＋(____)．特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝________.预习交流2任意两个向量相加就是模相加吗？预习交流3下列等式不成立的是()．A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋aC．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))答案：1．(1)向量a与b的和预习交流1：提示：(1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：(平行四边形法则)，又∵，∴(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．(3)终点起点起点到终点的向量

2．①b＋a②a＋bb＋ca预习交流2：提示：不是．两个向量的和仍是向量，具有大小和方向，不但长度变化还有方向的变化．预习交流3：C在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1．利用向量的加法法则作图如图所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a＋b＋c.思路分析：向量的位置关系已给出，要作出a＋b＋c，可先作a＋c，然后再作(a＋c)＋b，其关键是依据三角形法则求解．如图中(1)(2)(3)所示，试作出向量a与b的和．(1)用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；(2)用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”；(3)在求多个向量的加法作图时，常利用向量的三角形法则．2．向量的加法运算如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))； (2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))； (3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)).思路分析：此类问题应根据三角形法则或平行四边形法则，观察是否具备应用法则的条件，若不具备，应改变条件，以便使用法则求解．化简下列各式：(1)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)).思路分析：考虑用向量加法的运算法则及运算律．化简或计算．(1)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(3)eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)).(1)应用两法则常用方法：①向量平移；②运用运算律调整顺序．(2)两个向量相加仍是一个向量，所以两个向量相加要注意以下两个方面：①和向量的方向；②和向量的模．3．向量加法的综合应用一艘船从A点出发以2eq\r(3)km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶思路分析：该问题属于实际应用题，其中船速和水的流速及两者间的方向关系明确——垂直，因此解答本题可借助向量知识及平面直角三角形的边角关系求解．如图所示，两个力F1和F2同时作用在一个点O上，且F1的大小为3N，F2的大小为4N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力的大小．向量的加法在力学中应用广泛，如力的合成与分解，速度的合成等．解决这类问题的关键是结合向量图去解决．答案：活动与探究1：解：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量=a，接着作向量=c，则得向量=a+c.然后作向量=b，则向量=a+b+c为所求．迁移与应用：解：如下图中(1)(2)(3)所示三个图中

=a+b.活动与探究2：解：(1)；(2)；(3).活动与探究3：解：(1)；(2).迁移与应用：解：(1)原式＝；(2)原式＝；(3)原式＝.活动与探究4：解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．在Rt△ABC中，||=2，||=，∴||==4.∵tan∠CAB=，∴∠CAB=60°.迁移与应用：解：作出F1和F2的合力如图所示．在Rt△AOC中，|F1|＝3，|F2|＝4，|F|2＝|F1|2＋|F2|2＝25，∴|F|＝5N.1．若C是线段AB的中点，则eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))为()．A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(BA,\s\up6(→))C．0 D．以上均不正确2．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是()．A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))3．化简eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的结果是__________．4．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝__________.5．根据下图填空：(1)b＋c＝__________.(2)a＋d＝__________.(3)b＋c