正弦定理和余弦定理讲解

高考风向2.3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等学问点进展综合考察．学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．根底学问梳理＝等形式，解决不同的三角形问题．2．余弦定理：2＝2＋2－2bcos_，2＝2＋2－2acos_，2＝2＋2－2acos_．余弦定理可△ABC图形

r.4．在△ABCa、bA时，解的状况如下：A为锐角 A为钝角或直角关系式

一解

bsinA<a<b两解[难点正本

a≥b一解

a>b一解在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，>?>?sin>sintanA+tanB+tanC=tantantancosA<sinB,cosA<sin·依据所给条件确定三角形的外形，主要有两种途径：化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1．在ABCc10A45oC30o，解三角形.思路点拨:先将条件表示在示意图形上〔如图，可以确定先用正弦定理求出边aB，最终用正弦定理求出边b.c解析：Q

sinC，∴a

csinA

10sin45o

10 2，sinC sin30o∴B180o(AC)105o，c又sinBsinC，∴b

csinB 10sin105o 6 2 20sin75o20 5 65 2．sinC sin30o 4总结升华：正弦定理可以用于解决两角和一边求另两边和一角的问题；数形结合将条件表示在示意图形上，可以清楚地看出与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：1】在ABCA32.00B81.80a42.9cm，解三角形。【答案】依据三角形内角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；basinB42.9sin81.8080.1(cm)；sinA sin32.00casinC42.9sin66.2074.1(cm).sinA sin32.002】在ABCB750C600c5，求aA.A1800BC)1800(750600)450，a依据正弦定理

5 ，∴a5 6.sin45o sin60o 33】在ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求abca b c【答案】依据正弦定理sinA

sinCabcsinA:sinB:sinC1:2:3.例2．在ABC中，b 3,B60o,c1，求：a和A，C．思路点拨:〔如图CA，最终用正弦定理求出边a.b c解析：sinB

sinC，∴sinC

b

1sin60o1，3 2〔方法一〕∵0oC180o，∴C30o或C150o，当C150o时，BC210o180o〔舍去；当C30o时，A90o，∴a b2c22．〔方法二〕∵bcB60oCB，C60o即CC30oA90o∴a b2c22．总结升华：

正弦定理也可用于解决两边及一边的对角，求其他边和角的问题。在利用正弦定理求角C时，由于sinCsin(1800C)，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.一般依据大边对大角或三角形内角和进展角的取舍.类型二：余弦定理的应用：例3．ABC中，AB3、BC 37、AC4，求ABC中的最大角。思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：∵三边中BC 37最大，∴BC其所对角A最大，cosA

AB2AC2BC2

3242( 37)2

1，2ABgAC 234 2∵0oA180o，∴A120o故ABCA120o.总结升华：2.用余弦定理时，要留意公式中的边角位置关系.举一反三：1】ABC中a3b5c7,求角C.【答案】cosC

a2b2c2

523272

1，2ab 235 2∵0oC180o，∴C120o2】在ABCAB,C所对的三边长分别为abc，假设abc

6:2: 3，求ABC的各角的大小．【答案】设a

6k，b2k，c31k，k06cosB2

31 422 2231 6 20oB180oB45o；A60o；∴C180oAB75o3】在ABC中，假设a2b2c2bcA.b2c2a2 1【答案】∵b2c2a2bc，∴cosA 2bc 2∵0oA180o，∴A120o类型三：正、余弦定理的综合应用例4．在ABC中，a2 3，c 6 2，B450，求b及A.思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后连续用余弦定理A.解析：⑴由余弦定理得：=(2 3)2( 6 2)222 3( 6 2)cos450=12( 6 2)24 3( 31)=8∴b2 2.A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：〔法一：余弦定理〕∵cosAb2c2a2(2 2)2( 6 2)2(2 3)21，2bc

22 2( 6 2) 2∴A600.〔法二：正弦定理〕∵sinAasinB2 3sin450 3b 2 2 2又∵6 22.41.43.8，2 321.83.6ac，即00A900,∴A600.总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：1】在ABC中，b3c4A1350B和C.【答案】a2

32

42

234cos135o

2512 2，∴a 2512 26.48sinB

sinA

3sin135o

0.327由正弦定理得： a a ，A1350BB1907/.∴C1800(AB)25053/.【变式2】在ABC中，角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，假设a2，b2 2，c 6 2A和sinC【答案】依据余弦定理可得：∵0oA180o，∴A30o；csinA

6 6 2∴由正弦定理得：sinC a 其他应用题详解

2 4 .一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)akm，AC的北偏东20°，灯塔B在观看站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )C.akmakm利用余弦定理解△AB.易知∠AC＝120°，在△ACBA2＝A2＋B2－2A·Bcos120°＝22－22×＝32，答案B张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的大路行驶，在点A处望见电视塔电动车在点B时与电视塔S的距离是( )2kmC．3km

3kmD．2km解析ABS答案B轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )C．35海里

B．35海里D．70解析CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝＝＝70.答案D4．(2014·ABAB20mA的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )0mC．20(1＋)m

0mD．30m解析CBMDRt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DMtan30°＝(m)．∴AB＝AM＋MB＝＋20＝20(m)．答案A)B.C. D.A2＝A2＋B2－2A·Bcos∠AB＝2＋32－2××3×＝5，A＝，再由正弦定理：sin∠BAC＝·BC＝＝.答案C6．(2014·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度AB50km/hBCh小( )A. B．1C. D．2解析如下图，设A，摩托车由B，则由余弦定理，得D2＝B2＋B2－2B·Bcos60°＝(200－80)2＋25002－(200－80)·50t＝129002－42000＋40000.t＝时，DE最小．答案C3515两地的距离为 km.解析 如右图所示，由余弦定理可得：A2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，答案10如以下图，一艘船上午9：30AS30°处，之后它连续沿正北方向匀速航行上午10：00到达B处此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处且与它相距8nmile.此船的航速是 nmile/h.解析 由正弦定理得：＝，∴v＝32(nmile/h)．答案32如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得60°，C15°10D，测得∠BDC＝45°，AB的高是 米．解析BC＝＝10(米)．Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BCtan60°米)．答案10三、解答题(本大题共3小题，每题10分，共30分)15°的看台的60°30°，第一排50升旗手应以多大的速度匀速升旗？解 11.5(3＋)A45°，B60°DB60°B20海里的C30/D点需要多长时间？解 ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得＝，＝＝＝10(海里)．在△DBC中，由余弦定理，得C2＝B2＋B2－2B·B·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900.故需要的时间t＝＝1(小时)，12.(2013·ACA沿直CABBC.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲动身2min后，乙ABB1minBC.假设缆车匀速直线运行的速度为经测量，cosA＝