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文档简介
高考风向2.3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等学问点进展综合考察.学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合.根底学问梳理=等形式,解决不同的三角形问题.2.余弦定理:2=2+2-2bcos_,2=2+2-2acos_,2=2+2-2acos_.余弦定理可△ABC图形
r.4.在△ABCa、bA时,解的状况如下:A为锐角 A为钝角或直角关系式
一解
bsinA<a<b两解[难点正本
a≥b一解
a>b一解在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,>?>?sin>sintanA+tanB+tanC=tantantancosA<sinB,cosA<sin·依据所给条件确定三角形的外形,主要有两种途径:化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.1.在ABCc10A45oC30o,解三角形.思路点拨:先将条件表示在示意图形上〔如图,可以确定先用正弦定理求出边aB,最终用正弦定理求出边b.c解析:Q
sinC,∴a
csinA
10sin45o
10 2,sinC sin30o∴B180o(AC)105o,c又sinBsinC,∴b
csinB 10sin105o 6 2 20sin75o20 5 65 2.sinC sin30o 4总结升华:正弦定理可以用于解决两角和一边求另两边和一角的问题;数形结合将条件表示在示意图形上,可以清楚地看出与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式.举一反三:1】在ABCA32.00B81.80a42.9cm,解三角形。【答案】依据三角形内角和定理,C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20;basinB42.9sin81.8080.1(cm);sinA sin32.00casinC42.9sin66.2074.1(cm).sinA sin32.002】在ABCB750C600c5,求aA.A1800BC)1800(750600)450,a依据正弦定理
5 ,∴a5 6.sin45o sin60o 33】在ABC中,sinA:sinB:sinC1:2:3,求abca b c【答案】依据正弦定理sinA
sinCabcsinA:sinB:sinC1:2:3.例2.在ABC中,b 3,B60o,c1,求:a和A,C.思路点拨:〔如图CA,最终用正弦定理求出边a.b c解析:sinB
sinC,∴sinC
b
1sin60o1,3 2〔方法一〕∵0oC180o,∴C30o或C150o,当C150o时,BC210o180o〔舍去;当C30o时,A90o,∴a b2c22.〔方法二〕∵bcB60oCB,C60o即CC30oA90o∴a b2c22.总结升华:
正弦定理也可用于解决两边及一边的对角,求其他边和角的问题。在利用正弦定理求角C时,由于sinCsin(1800C),所以要依据题意准确确定角C的范围,再求出角C.一般依据大边对大角或三角形内角和进展角的取舍.类型二:余弦定理的应用:例3.ABC中,AB3、BC 37、AC4,求ABC中的最大角。思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角,然后用余弦定理求解.解析:∵三边中BC 37最大,∴BC其所对角A最大,cosA
AB2AC2BC2
3242( 37)2
1,2ABgAC 234 2∵0oA180o,∴A120o故ABCA120o.总结升华:2.用余弦定理时,要留意公式中的边角位置关系.举一反三:1】ABC中a3b5c7,求角C.【答案】cosC
a2b2c2
523272
1,2ab 235 2∵0oC180o,∴C120o2】在ABCAB,C所对的三边长分别为abc,假设abc
6:2: 3,求ABC的各角的大小.【答案】设a
6k,b2k,c31k,k06cosB2
31 422 2231 6 20oB180oB45o;A60o;∴C180oAB75o3】在ABC中,假设a2b2c2bcA.b2c2a2 1【答案】∵b2c2a2bc,∴cosA 2bc 2∵0oA180o,∴A120o类型三:正、余弦定理的综合应用例4.在ABC中,a2 3,c 6 2,B450,求b及A.思路点拨:画出示意图,由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b,然后连续用余弦定理A.解析:⑴由余弦定理得:=(2 3)2( 6 2)222 3( 6 2)cos450=12( 6 2)24 3( 31)=8∴b2 2.A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:〔法一:余弦定理〕∵cosAb2c2a2(2 2)2( 6 2)2(2 3)21,2bc
22 2( 6 2) 2∴A600.〔法二:正弦定理〕∵sinAasinB2 3sin450 3b 2 2 2又∵6 22.41.43.8,2 321.83.6ac,即00A900,∴A600.总结升华:画出示意图,数形结合,正确选用正弦、余弦定理,可以使解答更快、更好.举一反三:1】在ABC中,b3c4A1350B和C.【答案】a2
32
42
234cos135o
2512 2,∴a 2512 26.48sinB
sinA
3sin135o
0.327由正弦定理得: a a ,A1350BB1907/.∴C1800(AB)25053/.【变式2】在ABC中,角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,假设a2,b2 2,c 6 2A和sinC【答案】依据余弦定理可得:∵0oA180o,∴A30o;csinA
6 6 2∴由正弦定理得:sinC a 其他应用题详解
2 4 .一、选择题(本大题共6小题,每题5分,共30分)akm,AC的北偏东20°,灯塔B在观看站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )C.akmakm利用余弦定理解△AB.易知∠AC=120°,在△ACBA2=A2+B2-2A·Bcos120°=22-22×=32,答案B张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的大路行驶,在点A处望见电视塔电动车在点B时与电视塔S的距离是( )2kmC.3km
3kmD.2km解析ABS答案B轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25海里/小时,轮船B的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是( )C.35海里
B.35海里D.70解析CF=15×2=30,且∠ECF=120°,EF===70.答案D4.(2014·ABAB20mA的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是( )0mC.20(1+)m
0mD.30m解析CBMDRt△AMD中,DM=20m,∠ADM=30°,∴AM=DMtan30°=(m).∴AB=AM+MB=+20=20(m).答案A)B.C. D.A2=A2+B2-2A·Bcos∠AB=2+32-2××3×=5,A=,再由正弦定理:sin∠BAC=·BC==.答案C6.(2014·滁州调研)线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度AB50km/hBCh小( )A. B.1C. D.2解析如下图,设A,摩托车由B,则由余弦定理,得D2=B2+B2-2B·Bcos60°=(200-80)2+25002-(200-80)·50t=129002-42000+40000.t=时,DE最小.答案C3515两地的距离为 km.解析 如右图所示,由余弦定理可得:A2=100+400-2×10×20×cos120°=700,答案10如以下图,一艘船上午9:30AS30°处,之后它连续沿正北方向匀速航行上午10:00到达B处此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处且与它相距8nmile.此船的航速是 nmile/h.解析 由正弦定理得:=,∴v=32(nmile/h).答案32如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得60°,C15°10D,测得∠BDC=45°,AB的高是 米.解析BC==10(米).Rt△ABC中,tan60°=,AB=BCtan60°米).答案10三、解答题(本大题共3小题,每题10分,共30分)15°的看台的60°30°,第一排50升旗手应以多大的速度匀速升旗?解 11.5(3+)A45°,B60°DB60°B20海里的C30/D点需要多长时间?解 ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.在△DAB中,由正弦定理,得=,===10(海里).在△DBC中,由余弦定理,得C2=B2+B2-2B·B·cos∠DBC=300+1200-2×10×20×=900.故需要的时间t==1(小时),12.(2013·ACA沿直CABBC.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲动身2min后,乙ABB1minBC.假设缆车匀速直线运行的速度为经测量,cosA=
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