南京航空航天大学高等工程应用数学整理资料

--#-令P=。，P=a-抬4P，1 1 2 2(令P=。，P=a-抬4P，1 1 2 2(P,P)111P二a—%?)P—(^2P (a,P)=。aPdx=f1xdx=03 3(P,P)2(P,P)1， 21 -121 -1 ，2 2 1 1(a,P)-J1aPdx-f13 2 [32 ]-1 -1IIPJI2-(P1,P1)-J1PlP1dx-J11dx-2,-J1aPdx-J1x2dx——则P=1,P=x,P

1 -131 -1 3 1 2 3||P『-(P,P)=J1PPdx-2 2 2 1 22-1忆『-凡凡)-J1PPdx-J1x4—-x2-133 -1 3+1dx--89 45'x2一—3x，e33r\45则e1，e2,e3两两正交并且都为单位向量，下面用凑正交的方法将e1，e2,e3扩展为V的一组标准正交基。令1x1x2--1x 3e-.—,e——,e- ,a—k+kx+kx2+kx31v'22 ；23 ；_8_ 4 1 2 3 4V3 \145则(a,e)-J1aedx-0(a,e)-J1aedx-04 1 1 41 ， 4 2 1 42 ，-1 -1-k+kx+kx2+kx3

12 3 4(a4,e3)-J1a4e3dx=0；由此可得勺=0,k?-1,k--k+kx+kx2+kx3

12 3 4-158 a x-3x3Ia||2-J1a,a.dx-右，令e=，-r--，显然e,e,e,e两两正交并且都为单位向量，因此e,e,e,e为V的一组标准正4 -144 63 4a 8 1234 12344 63交基a-(a,e)e+(a,e)e+(a,e)e+(a,e)e-1+x1 1 2 2 3 3 4 4 °1、求下列由向量{a.}生成的子空间与由向量1、求下列由向量{a.}生成的子空间与由向量I{P}i生成的子空间的交与和的维数和基:(1(1)a-(1,2,1,0)t,

<1a-(-1,1,1,1)t,L2p1-(2,-1,0,1)T，解(1)设W-Span(a,a),W-Span(p,p)，则IP-(1,-1,3,7)t； 1 12 2 12W+WW+W-Span(a,a)+Span(P,P)-Span(a,a,12P,P)考虑向量组a1,a2,P1,P2的秩和极大线性无关组，对矩阵(a1，a2,P1,P2)作初等变换，(a1,噢平2)1210-11112-1011-1371000作初等变换，(a1,噢平2)1210-11112-1011-1371000-13212-5-211-3271000-110021101730则a,a,p为向量组a,a,p,p的极大线性无关组，故w+wJL 乙JL JL乙JL乙 JL 乙的维数为3,a-a2,P1是W1+W2的一组基。因为diW-diW-2,由维数定理知dim(1nW)=diriW1+出吗-dimW+W2)-1,设aeWp|W,a=xa+xa=xp+xp有1 11 22 31 42， (a,a,-p,-p)12 12x3Ix4),即-01210-1111-210-11-3(x)

1x2x3Ix4，求其通解为-0(-k,4k,-3k,k),k为任意常数则a--ka1+4ka2-k(-5,2,3,4)t,故叫口吗=&(-523,4)t|k为任意常数(-5,2,3,4)t是可QW的一组基 一定理2.1.2设G是一个群，则对任意a,beG，方程ax-b与ya-b在G中都有唯一解。证明对aeG，有a-1eG。于是a-1beG,并且有a(a-1b)=(a-1a)b-eb-b,其中e为G的单位元。上式说明a-1b为方程ax-b在G中的解，即ax-b在G中有解。设x,x都是方程ax-b在G中的解，则ax-ax由定理2.1.1得x-x。因此方程ax-b在G中有唯一解。, 1 2 1 2 1 2同理可证ba-1为方程ya-b在G中的唯一解。注意，如果G为Abel群，则定理2.1.2中的两个方程有相同解。定理2.13设G是一个半群，如果对任意a,beG，方程ax-b与ya-b在G中都有解，则G为群。证明先证G中有单位元。取beG,则方程yb-b和by-b在G中分别有解e和e。于是eb-b,be-b,则e为G的单位元。事实上，对任意aeG,方程bx-a在G中有解，即存在ceG使bc-a0于是ea=e(bc)=(eb)c=bc-a0同理可证：ae-a0从而e-ee-e,即e为G中单位元。再证G中任一元素都有逆元。对任意aeG，因为方程ax=e与ya=e在G中分别有解x和y，则y=ye=y(ax)=(ya)x=ex=x。即x=y=a-1。因此，对任意aeG都有逆元a-1eG。从而由定义2.1.5知，半群G

构成群。定理532设匕是内积空间V的一个有限维子空间，则存在匕的唯一正交补?使得丫=匕㊉?。证明设dim(匕户m，并且二82,…,：是匕的一组标准正交基。对任意。£V,4a短(a,81)8；+(a,8)82,…+(a,8Je,a2=a—a1。贝根1gV1,且2m(a〉8)=(a,8)—(a,8)=(a,8)—(匕(a,8%\8)=(a,8)-(a,8)(8m,8m=02(i=1,1,m):故/与V中每个向量2TOC\o"1-5"\h\zi I 1i i jji i iii _ 2 1都正交即a1V,从而。gV1。因为a尸ia+a,所以V=V+V1,并且由定理5.3.1知V=V㊉V,。2、再证唯一性。设V,2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 . 2V都是V的正交补，则V=V®V,V=V㊉V,对任意agV，有a=a+a,agV,agV；因为ala,贝ij3 1 1 2 1 3 2 1 3 1 1 3 3 1(a,a)=(a,a )+(a ,a)=(a ,a)=0。于是。=0；agV ；师V旦V。同理可证V 旦V。因此V =V。1 1 1 3 1 1 1 1 ； 3；' 2 3 1 3 2 1 2 3例53.1(最小二乘问题)在许多实际观测数据的处理问题中；如果已知量y与量工，元，…，元之间呈线性关系)=。元+。元++。元；1 2 n 11 22 nn(5.3.2)但不知幽择数,，C2，，C。为了确定E通常做但不知幽择数,，C2，，C。为了确定E通常做m(>n欣试验得到“组醐数据X(1)

1X⑴

2X(2)1X(2)2X1(m)；y(1)X(m)2,c使得min£Iy(j)nc.GPij=1-£cX(j)|2。iii=1(5.3.3)解：记a=iX(1)iX(2)：.(i=1,2，…,n)；b=y(1)y(2);c=<r、c1c:2；则533)化为lX(m))ily(m)jlcnj按如下意义确定系数：求C1，C2，X⑴ X(2)・・・X(m)nn n(53.4)这个问题可看成是求Pm中向量匕在sPan{a，a.，…，a}上的最佳逼近。如果记A=［a,a，…,a］；由定理53.4知，系数12 n 12 nminb-CGPn||Zcaiii=1c,c,,c满足AhAc=AHb。(5.3.5)12n定理5.3.4设V1是内积空吠的一个子空间，aGV是给定勺向量则a1GV1为a在匕上的最佳逼近的充分想条件是。-a11V1。证明必要也采用反证法。设a1GV1为a在匕上的最佳逼近；但a-a1不正交于V1；则在匕中至少有一向量P丰0且|伊||二1；使得。-。［，3)=3丰0。令丫二味+甲；则yG